武汉科技大学-信号与系统-上册-习题答案

第1章信号及信号的时域分析1.1本章要点本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法：了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础。1、信号的分类(1)连续信号与离散信号一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，筒称离散信号。(2)确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值。随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号。(3)周期信号与非周期信号对于连续信号f(t),若存在T>0,使得f(t+rT)=f(t),r为整数，则称/(f)为周期信号；对于离散信号/(")，若存在大于零的整数N,使得/5+rN)=/(〃)，7•为整数，则称/(〃)为周期信号。不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。①几个周期信号相加而成的信号的周期问题几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数以周期分别为7；、T2(角频率分别为。「。2)的两个信号相加产生的信号为例，如果2=々=区=有理数，%,%均为整数，则/«)为周期信号，其周期为T[〃2TOC\o"1-5"\h\z一一一27r 27r"==n2^2=n\=% (1-1)②离散正(余)弦信号的周期问题时域连续的正(余)弦信号一定是周期信号，但时域离散的正(余)弦信号不一定是周\o"CurrentDocument"2 2期信号，要求周期N为正整数。例如：sinfm为周期信号，周期N为5,sin*〃为非周5 5期信号，因为5%不是整数。(4)能量信号与功率信号归一化能量为有限值，归一化功率为零的信号为能量信号，即满足0<W<oo,P=0o归一化功率为有限值,归一化能量为无限大的信号为功率信号，即满足Wf8,0<P<OO。一般，周期信号为功率信号。（5）实信号与复信号在各时刻/（或〃）上的信号幅值为实数的信号为实信号，信号幅值为复数的信号称为复信号。2、常用连续信号及其性质（1）.单位阶跃信号用“Q）表示，定义为：（2）单位冲激信号用演。表示，其狄拉克（Dirac）定义为：TOC\o"1-5"\h\z.L5{t}dt=X （1-3）b（f）=0,「HO冲激信号的性质：1）筛选性=fW（t） （14）0）=/优顺-o） （1-5）2）取样性二/。）6。）力=「/（0）6。劝=/（0）£>（。力=/（0） （1-6）-外力=二/（幻5«-外力=//）£/«-外力=/（幻 <1-7）3）尺度变换S（af）=（1-8）同3'（at）= （1-9）\a\a以及s（ar）的n阶导数为=即⑺ （1-10）\a\an4）奇偶性利用式（1-10）来分析5（。的奇偶性是比较方便的。令。=-1,得6（"）（-。=（-11（叩）〃为偶数时，有*(-.)=尔啕〃=0,2,4,… (1-12)〃为奇数时，有S(")(—r)=—5(")(f) 〃=1,3,5，•一 (1-13)这样，得到S(-t)=S(t) (1-14)t)=S'(t) (1-15)即必)是偶函数，而b'(f)是奇函数。3(f)与“«)互为微分与积分的关系，u(t)=^KS(r)dr (1-16)^(r)=—«(/) (1-17)dt6)复合函数形式的冲激信号对于形如皿/(f)]的冲激信号，若/«)=0有m个互不相等的实根(如果/(。=0有重根，兄/(可没有意义)，则有TOC\o"1-5"\h\z4/'«)]='合｝死-力 (口8)(3)单位冲激偶函数1)单位冲激偶函数的定义单位冲激偶函数可通过对矩形脉冲求一阶导数再取极限引出其定义。脉宽为7、幅度为I T T 1 T T-的矩形脉冲为/(0=-[«(/+-)-w(r--)]，其导数为f\t)=-[3(t+-)-8(t--)],t r 2 2 r 2 2图i-i对矩形脉冲求导的波形可见/'«)是一正一负两个强度均为上的冲激信号。lim/'("=£(，)称为单位冲激偶函数。

T r->02)单位冲激偶函数的性质：①因为£⑺是奇函数，所以r3\t)dt=0 (1-19)J'fS'(7)d7=b(f) (1-20)/(rW)=/(0W)-/W(^) (1-2D推广，有/(网―°)=//)£(…。)-/'(幻演一°) (1-22)口/(丽)力=-尸(0) (1-23)推广，有R/。)尔")⑺力=(-1)"/20) (1-24)匕/QH("外力=一/&) (1-25)口⑺即(0)力=(-1)"严(幻 (1-26)(4)斜坡信号

单位斜坡信号用r(f)表示，其定义为：

/、卜t>0r(t)=tu(t)=l(<o (1-27)r(f)与“(f)之间的关系为：r(/)=£xu(r)Jr (1-28)—r(r)=w(f) (1-29)dt(5)符号函数sgn(f)符号函数用sgn(f)表示，其定义为：

flr>0

sgn(r)=<0t-0 (1-30)fl-1 z<0(6)取样信号取样信号用Sa(。表示，其定义为：Sa(r)=，由L—co</<co (1-31)取样信号有如下性质：lim皿=1 (1-32)f->0t5〃(左))=0, 左=±1,±2,±3,… (1-33)匚；吧/=乃 (1-34)3、常用离散信号及其性质(1)单位序列必I)单位序列用5(a)表示，其定义为：n=06(”)=4 (1-35)0 “HO单位序列性质：fW(n)=/(0)5(n) (1-36)2)y(/?)J(M-rt02)y(/?)J(M-rt0)=/(阳)5(n-n0)(1-37)(2)单位阶跃序列“(〃)单位阶跃序列用“⑹表示，其定义为:(1-38)1u(n)=<(1-38)0若将“⑺移位〃0,得fln>nn

u(n-nQ)=< (1-39)[0nv%单位阶跃序列与单位序列之间的关系：S(n)=u(n)-u(n-1) (1-40)“(〃)=£s(j) (1-41)j=9或者/, _0一 _8_“(〃)=工5(力=工5(〃一')=工5(〃一') (1-42)y=—00 j=QO i=04、连续信号的基本运算(1)信号的相加和相乘信号的运算从数学意义上来说，就是将信号经过一定的数学运算转变为另一信号。两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。刖=川)+力《) (I®两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。/(，)=/◎•力⑺ <1-44)(2)信号的平移将信号沿时间轴作平移，得到一个新的信号。对于连续信号/(f),若有常数f0>0,信号是将原信号沿正t轴平移/0时间，而/«+/0)是将原信号沿负t轴平移小时间。(3)信号的尺度变换与反转将信号/⑺的横坐标的尺寸展宽或压缩称为信号的尺度变换。可用变量。为非零常数)替代原信号/(，)的自变量f,得到信号/(at)。如果a为正数，当。>1时，/(〃)是将/(f)以原点为基准，横轴压缩到原来的‘倍；a当0<a<1时，/(ar)是将/(/)横轴展宽至原来的-倍。a信号的反转是将信号/⑴中的自变量f换为-f,即将信号绕纵轴作180。反转。把原信号/«)在，时刻的值变换为-，时刻的值。(4)信号的导数和积分信号的导数定义为：刈=3 (1-45)dt信号的积分定义为：y(t)=[j(r)dT (1-46)(5)信号的时域分解1)信号的奇偶分解信号的偶分量用力(。表示，其定义为：/{)=〃—) (1-47)信号的奇分量用表示，其定义为：/0(Of(―) (38)任意一个信号都可以表示成奇分量和偶分量之和：川)=川)+〃。 449)则有〃/)=；[加)+/(-理 (1-50)图1-2信号及信号的奇、偶分量2)信号的脉冲分解任意一个连续信号都可以用脉冲信号相叠加来近似表示，如图l-3(a)所示。图1-3信号/(，)分解成窄脉冲每个矩形脉冲可以表示为fk(t)=f(姐"W-kAt)_u(t~(k+l)Ar)]则/(/)«y-)[£"一女加)一£"一.加一4)14£0 Nt当Ar—>0时，kNt—>t,NtTdr,则£(f—k\t)—£(f—kM—Az) . Az/«)=t/(T»("7)d7 (1-52)这就是在时域中任意信号可以分解为无限多个冲激信号相叠加，如图l-3(b)所示。式(1-52)的积分称为卷积积分。(6)信号的卷积积分1)卷积积分的定义一般而言，两个信号力《)，人《)的卷积积分定义为/“)=£c/i(7)/2(—r)d7 (1-53)简称卷积，记作/«)=/《)*%⑴。2)卷积积分性质①交换律设有力⑺和力«)两个信号，则/1(0*/2(0=/2(0*/1(0 (1-54)②分配律设有力⑺、人⑺和八⑴三个信号，则/1⑴*[/2(0+/3(01=/|(0*/2(f)+f\⑺*力⑴ (I-55)③结合律设有力⑺、人⑺和人⑺三个信号，则力⑺*[力⑴*力⑺]="«)*%⑴1*力⑴ <1-56)④卷积积分后的微分性质两个信号卷积积分后的导数等于两个信号中之一的导数与另一信号的卷积积分。即枭⑺沙⑴卜力⑺*翠=琴*人⑴ <1-57)at atat⑤卷积的微积分性质如果/(，)=力0/20，则A%)"%)**-%) (1-58)式中当i或，取正整数时表示导数的阶数，取负整数时为甫积分的次数。⑥卷积的平移性质两个信号平移后的卷积积分，等于两个信号卷积积分后平移，其平移量为两个信号分别平移量的和。即

如果则有 力。一。)*/2。-，2)=/"-。-，2)⑦与冲激信号或阶跃信号的卷积积分信号/⑺与单位冲激信号6⑴卷积积分的结果是信号/(f)本身。即/(r)*6(r)=f(t)利用卷积的平移性质，有利用卷积的微积分特性，可以得到以下一系列结论。对于冲激偶b'(f),有推广到一般情况，可得/«)**(-。)=厂>(一%)对于单位阶跃信号”(f),有/(/)*«(/)=rf(r)dTJ-<x)对于两个因果信号，有力*f2(t)u(t)=£/i(r)/2(r-r)Jr表1-1列出了常用的卷积积分性质，以供查阅。(1-59)(1-60)(1-61)(1-62)(1-59)(1-60)(1-61)(1-62)(1-63)(1-64)(1-65)(1-66)序号性质公式1交换律/(0=/1(0*/2(0=/2(0*/,(#)2分配律/(0=/,⑴*[f2(n+/3(0]=力0)*%⑺+力⑺*力⑴3结合律/(O=/i(O*[/2(r)*A(/)]=[/.(r)*f2(t)]*f3(t)4微分性质/,(0=//(0*/2(0=/1(0*/；(05积分性质(r)=/；-'>(r)*f2{t)=/,(/)*/2-1)(t)6微积分性质f(t)=A-"⑺*月⑴=f；[t)*f尸，⑺7平移性质fSt-a)*f2(t-b)=f(t-a-b)8与冲激信号/(O=/(O*s”)，f,k\t)=f⑺*Sa,(t)9与阶跃信号f(t)*u(t)=[Bf(r)clr>ft(r)ff(r)♦«(0=£Z(r)dr1()持续时间f(t)的开始时间=力(r)的开始时间+力。)的开始时间/(/)的结束时间=力(r)的结束时间+/,(/)的结束时间/⑴的持续时间=力(/)的持续时间+f2{t}的持续时间11面积性质f(t)的面积=/,(r)和人⑺的面积的乘积5、离散信号的基本运算

(1)序列相加 /(«)=/,(«)+/2(/l)(1-67)(2)序列相乘 /(〃)=力(〃>/2(〃)(1-68)(3)序列/(〃)的平移/(〃一〃。)：当〃口〉。，信号/(〃一〃。)是将/(〃)序列沿正“轴平移〃0个单位，称为/(〃)的超前序列，/(〃+〃0)是将/(〃)序列沿负〃轴平移〃0个单位,称为/(〃)的延迟序列。(4)序列f(n)的尺度变换当ImI〉1时，f(mn)是/(〃)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴〃压缩了加倍；当lml<l时，/(m〃)是/(〃)序列每两点之间插入5个零，相当于时间轴〃扩展了切倍当胆=-1时，/(-〃)是将/(〃)序列绕纵轴作180。反转，称为/(〃)的反转序列。(5)序列差分：一阶前向差分 纣(〃)=f[n+\)-f{n) (1-69)二阶前向差分A2/(n)=△["(〃)]=Af(n+1)-纣(〃)=f(n+2)-2/(〃+1)+f(n)(1-70)一阶后向差分W(n)=/(n)-/(n-1) (1-71)二阶后向差分V2/(«)=V[W(〃)]= 一D=/(〃)-2/(n-1)+f{n-2)(1-72)/(〃)=(1-73)/(〃)=(1-73)力(，)=〃(〃)力(，)=〃(〃)(1-74)(1-74)(1-75)(1-75)(1-76)〃1(1-76)〃1_〃M+,

VtZZW(/)= 〃(〃)QW11一。(1-77)(7)序列的时域分解1)序列的脉冲分解任意离散序列/(〃)可用单位序列及其移位序列表示，即/(«)=-+/(-2)<J(n+2)+/(-1W+1)+”0)6(〃)+/⑴6(〃-1)+…+f(i}8{n-/)+•••=Z/(i)b(〃-i) (1-78)可见任意离散序列在时域可表示为5(〃-/)的线性组合。

2）序列的奇偶分解对于无限长序列，用了,（〃）表示共规对称序列，有。（〃）=力（一〃） （1-79）用力（〃）表示共腕反对称序列，有/„（«）=-/；（-«） （1-80）一般序列都可用共轨对称序列和共腕反对称序列之和表示，即/（〃）=£•（〃）+/"（〃） <1-81）所以I *，（〃）=/（〃）+/（-«）］ （1-82）/“（〃）=（"（〃）-/*（-〃）］ （1-83）对于有限长序列，用/；/〃）表示有限长共筑对称序列，有A（〃）=/e；（N-〃），0<n<N-l （1-84）用人,（〃）表示有限长共规反对称序列，有,0<n<N-I （1-85）任何有限长序列都可表示成共加对称序列和共筑反对称序列之和表示，即/（〃）=（（〃）+%（〃），0<»<^-1 （1-86）所以1*（⑺二］"（〃）+/（N-n）l （1-87）/卬（〃）=，/（〃）-7*（N-〃）］ （1-88）1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6原序列共飘对称序列共筑反对称序列54320 1 2 3 4 5 6图1-4有限长序列及其共扼对称、共枕反对称序列（8）卷积和1）卷积和的定义一般而言，两个序列工（〃）与力（〃）的卷积和定义为/（〃）=2/⑴小〃-，）"（〃）*/2（〃） （1-89）如果力(〃)与力(〃)均为因果序列，则有：工(〃)*72(〃)=£力(0/2(«-0 (1-90)/=04)卷积和的性质①离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即工(〃)*/2(〃)=/2(")*力(〃) <1-91)力(〃)*[f2(n)*&(〃)]=[力(〃)*扭〃)]*启〃) (1-92)£(〃)*伉(〃)+力(〃)]=/(〃)*力⑺+工(〃)*力(〃) (1-93)任一序列/(〃)与单位序列6(〃)的卷积和等于序列/(〃)本身，即/(〃)**〃)=5(〃)*/(〃)=f(n) (1-94)/(〃)**〃一〃J=/(〃-〃) (1-95)若/(〃)=〃〃)*启〃)，则工(〃一〃1)*/2(〃一〃2)=/(〃一〃1一〃2) (1-96)1.2精选例题例1画出下列信号波形。(1)f(t)=[<5(cos^r)!/r (2)/(〃)=〃“(〃)-4:,〃(〃-4k)A=1解：/(r)=J(j(cos=[[死-0.5)+比-1.5)+比-2.5)+・・・卜r=p(r-0.5)Jr+p(r-1.5>/r+p(r-2.5)6/r4---=u(t—0.5)+u(t—1.5)+u(t—2.5)+…波形如例1解图(a)所示。f(n)=nu(n)-4^u(n-4k)k=l=nu(n)-4u(〃-4)-4〃(〃-8)-4〃(〃-12) 波形如例1解图(b)所示。

例1解图例2判断下列信号是否为周期信号？若是周期信号，则确定其周期T。/](/)=l+3sin(乃f)+sin(2R)f2(t)=cos(2^-/)-cos(5f)⑶力⑺=2sin(：〃+.)解：(1)及=2=工=1n2Q22兀224 27r因此，公共周期"=lx'=2,C1 7T基频人=-L=L=0.5”z"2(2)由于两个分量的频率比值旦="是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期Q25的。(3)按定义，周期序列£,(〃)应满足A(〃)=/3(〃+N)，其中满足定义式的最小正整数N称为序列的周期。欲使/3(〃+N)=2sin—(n+JV)+—62si-N+工=A")N不是正整数，故N不是正整数，故力(〃)不是周期序列。,应该满足一N=2;r,即N4例3判断下列信号哪些是能量信号，哪些是功率信号。(1)/](/)=e~^(2)fAt)=e"⑶f3(n)=2ej2nn,4解：与=lim~制)力=je2'dt+je^'dt=-(1-0)--(0-1)=1J-r -®o2 2Pi=0所以力(f)是能量信号。TE2=limj(e-z\dt=£e~2tdt=oofR-r[T=lim——[(e1=oo2r_82TEsin(?Esin(?卜〃-2)解：(1) [^0Sin2r=工28。^^力=£23(t\\dt=2所以人t)既非能量信号，又非功率信号。(3)人(〃)是一个周期为N=4的复数周期信号，其功率为TOC\o"1-5"\h\z1N-I2 13 2 [P=(X/3(〃)二力户1=：(4+4+4+4)=4卬N”=o 4〃=。 4例4计算八、产“\sin2r,] dt(2)「8f(t-2)cos(tdtL亦-4%8y1)m=x>[3(t2-l\lt因为对于形如皿/(r)]的冲激信号，若/。)=0有小个互不相等的实根，有儿""4而"f)又--1) =±2t=±l所以£3(t2-4M=[躯f+1)+冲-l)]t〃=gx2=13cV(j(n-m)=u(-n-l)+w(n)；n="oo⑸£sin]-2)=3{n-2)rt=-a>I4J例5已知信号的波形如例5图所示，分别画出/(。与或3的波形。dt4(2-2。-2 -101/例5图解：f(2-2t)-/[-2(—)]t/[-2(r-l+1)庄移1/(-2。反转f⑵膜坐标扩展一倍/(；x2r)=/(r)/'(f)的波形如例5解图(d)所示。例6计算下列各题的卷积<•>已知/1(/)=e-2,u(z), f2(t)=tu(t),求：/，(^)*/,(/)解：力(。*汝)=工*/20<-"=»(/)*[e-2rdr=u(t)*；(1 )]=Ig(l-e")打=；(丁+；62,)=&r+e"»(/)(2)已知/1(/)=〃([-1), f2(f)=u(t+2),求：/,(/)*/2(0解法1：/]<||(z)=Jzu(r-l)^r=|o/r=^r2||=—(z2-l^(r-l)/£〃)=冲+2)/3*人⑺=9)⑴*以尸=*-1》(-1)*即+2)[卜+2)2—心+2-1)=((/+4r+3)(，+1)解法2：/(，)*.(，)=-1)*W+2)=(r_1+l＞，(r-1)*+2)=[(/-1)*〃(1-1)+1• -1)]*u(t+2)=必-1)+)* -1)]*〃(r)*必+2)=\tu(/)*8(t—1)*w(z)*3(t+2)+〃(/)* —1)*〃(r)* +2)]=/〃(，)*〃(，)**，+1)+〃(，)*〃(，)*+1)=-t*3(t+1)+t*3(t+1)=—(t+1)"u(t+1)+(t+l)w(f+1)=g(f2+4f+3)«+1)(3)已知力(〃)=3"“(〃一1) /2(〃)=2"〃(〃+l)，求力(〃)*，2(〃)解：力(〃)*72(〃)=3-3"m(z?)*3(n-1)*」2"“(〃)*5(〃+1)Q=一・3"〃(〃)*2nu(n)33n+,-2n+,z、 u\n)2 3-2 ''=|(3川_2吗(〃)1.3习题精解.判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，求出它的基频和公共周期。f(t)=4-3sin(5^r)+sin(30^Z)f(t)=cos(10r)cos(30tz7)f(t)=cos(lO^r)-cos(20r)f(t)=cos(2r)-V2cos(2z--)4解：(1)zl=IL=_L=J.n2Q23062乃 2乃2因此，公共周期'=lx'Q, 545基频1Zo=；=l2.5//z，oZ(2)f(t)=cos(l0^-r)cos(30^)=0.5(cos20加+cos40^r)〃i_A_20_1n2Q24022乃 27r I因此，公共周期〃=〃1==lx上％=」-s° 1Q, 20乃10基频人=J_=10"zA)(3)由于两个分量的频率比值&>=W工是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期% 20的。(4)两个分量是同频率的，基频4=1/71Hzo因此，公共周期T=_L=%s。/0.指出并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能二任口一里信节。〃(/)+5〃(r—1)—2〃(，—2)〃(/)+5〃(f—1)—6〃(r—2)⑶e-5'u(t)(e-5'+l)u(/)解：(1)波形如题2解图(a)所示。显然是功率信号。P=lim—[\f(t)\~dt=lim—Ff\dt+[36dt+fI6dt=16WT-xx2T Ji J2(2)波形如题2解图(b)阴■不。显然是能量信号。E=fl2Jr+f62^=lxl+62xl=37J⑶能量信号E=lim[T(e-5')2dt=f^-|0,Jr=-—^10'Z=0.1JT—>ooJO J0 jQ0(4)功率信号，显然有P=1W.周期信号如题图3所示，试计算信号的功率。题3图解：周期T=7,一个周期的能量为 E=(4?力+£(-2)2力=16x3+4x2=56)信号的功率为 尸=互=史=8WT7.画出下列信号的波形。.(f)=3节⑵-2)=2w(z)4-8[t—2)f3(t)=2u(t)8(t-2)解：力(f)J2(r)，力(r)的波形分别如题4解图(a)、⑹、(c)所示。题4解图.完成下列信号的计算。(4产+2)5(3； (2)e-“凤4一2，)；sin(2r+y)^(r+1)； (4)e^uit^t-4).解：⑴(4产+2%)=65(f)：(2)"阳4-2t)=036”2)=0.5^(/-2)sin⑵+y)^(r+y)=sin(-^+y)5(r+乡=一*5«+乡e«2%c-4)=e~28(t-4).求下列积分。「(4+3)力； (2)「(4一户)5。+4)力；TOC\o"1-5"\h\zJ-oo J-3r6、 rio-sin3tf(6-t2)[3(t+4)+23(2t+4)]dt; (4)f3(t)--dt.J-3 J-oo 1解：「(4一产)b(r+3)dr=「(4一9)6。+3)力=—5J-oo J-00]：(4--)6"+4)山=0(因f=-4不在积分范围(-3,6)内)「(6-产)®t+4)+26⑵+4)]力=[6[-10^(/+4)+2S(t+2)]dt=2*-3 J-3(4)『5(。^^力=J'°5(f)•3Sa(3t)dt=3。 (Sa(3t)=lim^^=1)(4)解:7.画出题图7中的信号的•阶导数波形。A欣)♦(U£(f)，£(f)的波形分别如题7解图6)、(b)、(c)所示•⑴⑵⑶(4)⑸(6)⑴⑵⑶(4)⑸(6)题7解图8.对于题8图中的信号/«),为以下各式作图。》”)=/(，+3)x(t)=f(2t-2)g(t)=f(2-2t)h(t)=f(-0.5t。⑴(偶分量)4(0(奇分量)解：各波形如题8解图所示。.周期信号如题9图所示，试计算信号的功率。解:周期T=7,y(r)=y+L5其能量为酊力=戊5+i5山音/信号的功率为.用基本信号或阶跃信号表示题10图中的信号，并求出它们的能量。解：/,(r)=2G6(r-3)+2G3(r-3),可以看成三个矩形。能量为 E]=4x2+16x2+4x2=48J/2(r)=2G6a-3)+2(2la-3).可以看成一个矩形和一个三角形相加。能量为 £=4x6+-x4x2+2xix2x4=34.67J3 2/3(0=62,0-3)-20,^-3).可以看成一个矩形和两个三角形相加。能量为 E,=16x2+^x16x4=53.33J3(2)f2(2)f2(t)= +2)-u(t-2)];⑷/4(0=G2(r)sgn(r)；(6)f6(t)=u(2-\tl)sin(R)f1(t)=w[cos^z];f3(t)=sin7rt[u(-t)-u(2-1)];⑸/5=G6a)e2a-2)；解：各信号的波形如题ii解图所示。

12.求下列积分。12.求下列积分。Pcos-t[3\t)-3(t)]dt;J-00 4(3)]：(4一产)6'«-4)力；解：f[3(t+2)-3(t-2)]dtJ—8(4)p8(.t-2)8(x-t)dtJ-<0[cos—4夕⑺一8(t)]dt=-l;J-00 4f[J(r+2)-^t-2)]dt=u(t+2)-u(t-2)J-ao(c)/3(4-〃)6«-4)力=8/」\1 —2)x=2(d)\3(t-2)3(x-t)dt=\J-8 0xw213.画出下列各信号的波形。/1(n)=(n+l)u(n)f2(n)=〃[〃(〃)-〃(〃-5)]/,(〃)=(-0.5)"”(〃)/,(«)=2-nM(n)解：各波形如题13解图所示。题13解图.对于题14图中的信号/«),为以下各式作图。㈤/⑴=/。+3)；⑹/2(/)=/(2/-2)；⑹^(0=7(2-20；(d)/；(/)=/(-0.5/-1)；(e)九⑴(偶分量)；(f)f0(t)(奇分量)。解：各波形如题14解图所示。题14解图.求下列函数的卷积积分力(。*f2(t)(1)/,(/)=e~3,w(r),⑵川)=/20=e%(r)⑶工(0=砒)，/2(，)="'则/!(r)=M(r-l),f2(t)=u(t-5)现求解如下：⑴fl(t)=e'3,u(t\/2(r)=M(z)；解：/1(0*/2(0=^e-3ru(T)xu(t-T)dT=[e-3rdT=~e~3T=1(l-e-3,}/(r)Jo3解：/«)*然)==卜3,〃=e-3,pr^M(r)⑶工(。=仅(“/j(r)=e-,w(O解：=k+e1：=G+efl(t)=u(t-l),/2(r)=u(/-5)解：工。)*俄)=“(fT)*W-5)=(r_6)w(f-6)/)(/)=tu{t\〃/)=w(/-l)-u(t-2)解：6-%)=；产响， £(r)=施-1)-W-2)/3*%*[WT)-咏-2)]=；(r-1丫”(r-1)-g(r-2)讪-2)16.已知(1)/(1)*W=(f+UT⑵工9)*卜W)]=(l-e")-(l-e-g)M.l)求工Q)现求解如下：(1)/[(r)*r〃(r)=(r+eT求工(。解：把力《)*♦”")=(，+"'-»，«)求导2次力(。*汕=(1-/)=e'u(t)⑵川)*卜响]=(1-6-)(/)-求川)解：左式：{/1(O*『“(加=川)*[e"(f)_/〃“)]=工(D*[^(r)-e-,M(O]=力(，)-/(，)*/〃")右式：—[(1-(1-1*"-1)]=用)+ g-1)-D(r-1)+”7%-1)=必)+ "。冲)-必-1)- -1)+r(1)咏-1)=e~'u(t)-e~^'~^u(t-1)所以力(，)-力(，)*"'"(。=0-'〃(。-"('-炖-1)把力(，)*卜”(川=(1一屋)0—(1—e—1)代入上式，得-(1-/M，)-(1-eyt"_0=e'u(t)- -1).已知下列/।(〃)/(〃)的值，求”〃)*力(“)。(1)/(〃)=/2(〃)=〃(〃)⑵/(〃)="(〃>以〃)=6(〃)-6(〃-1)现求解如下：⑴/(〃)=/2(〃)="(〃)解：/1(〃)*/2(〃)=〃(〃)*“(〃)=(〃+1〉(〃)⑵工(")="(〃)/?(〃)=6(〃)_6(〃T)解：/(〃)*%(〃)=〃(〃)*同〃)一5(〃-1)]=〃(〃)一〃(〃一1).已知](〃)=优*〃(城f2(n)=bnu(n),求工(九)*%(〃)。解：/1(〃)*，2(〃)=废”(〃)*/(〃)=£储。"T1=0工(〃)*/2(〃)=废〃(〃)*匕"(〃)="51=3”图/J(力产"1ab-ab当。=/?时[(〃)*/2(〃)=优"(〃)*。"(〃)=£。％~'=(〃+1»”i—Q i=0上二式在〃NO成立，故得!b〃+l_优+1b-a"G"(〃+"〃〃(〃)a=b当。=b=1时〃(〃)*〃(〃)=(n4-l)w(n)19.已知1/；(〃)=sinn^,f2(n)=anu{n),f3(n)=3{n}-a3(n-\),求力(〃)*/2(〃)*力(〃)。解：/(〃)*—(〃)*〃几)=sin〃万*优〃(〃)*[6(M)-。5(〃―1)]=sin〃万*a"〃⑺-1)]=sin〃1*a"u(n)-a,,+]u(n)*3(n-1)=sin*anu(n)-〃"”〃(〃)*方(〃-1)=sin〃;r*a〃“(〃-1)]=sin〃1*小[b(〃)+u(n-1)]-anu(n-1)}=sin〃乃*»)=sin这里用到性质：〃(〃)=b(〃)+〃(〃-1)an3(n)=a03(n)=3(n)第2章时域连续信号的频域分析2.1本章要点信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的一是掌握信号领域特性的分析，二是为系统的频域分析方法作准备。从本章开始由时域转入变换域分析，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。1、信号的正交分解若〃个函数g](r),g2«),…,g“(r)构成一个函数集，当这些函数在区间(I”.)内满足.fOi手jTOC\o"1-5"\h\zfg,Q)gj(M=｛, c.. (2-1)& #0 1=j式中，尤为一常数。则称此函数集为在区间(。12)上的正交函数集。在区间&/2)内相互正交的n个函数构成正交信号空间。当匕=1时，上述函数集就称为是归一化正交的。如果在正交函数集｛g,(r),g2⑺，…，g"Q)｝之外，不存在任何函数(p(r)(*0)满足[%«)9*(。力=0(z=l,2,-,n) (2-2)则称此函数集为完备正交函数集。也就是说，如能找到一个函数例r)使得式(2-6)成立，即以r)与函数集｛g,(。｝的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然不包含(pit)的集是不完备的。设有n个函数8](，)送2(/)「一常〃(1)在区间(/1/2)上构成一个正交函数集，将任一函数/⑴用这〃个正交函数的线性组合来近似，可以表示为：/(ONC|g|«)+C2g2。)+…+ciSi⑺+…+c”g〃⑺=Ecg(r) (2-3)i=\应选取系数Cj使得实际函数与近似函数之间误差在区间8/2)内最小。这里“误差最小”不是指平均误差最小，因为平均误差很小甚至等于零时，也可能出现较大的正误差与较大的负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值最小。误差的均方值也称为均方误差，用符号/表示：可求得”=占口加一立局⑴『力(2-4)⑺g,⑺力⑺g,⑺力c,= = (2-5)£g；Q)dt£g,“)g：⑺力2、周期信号的频谱分析一傅里叶级数周期信号/Q)，周期信号/Q)，周期为T，基波角频率为27r=—,在满足狄里赫利条件时，可展T(2-6)/(，)=U+Z(《，cos〃。()，+b“sin)

2w=i(2-6)称为三角形式的傅里叶级数，由正、余弦正交条件及式(2-5)可得三角函数型傅里叶系数:直流分量：a0=2”7...,tIfWt(2-7),M+7余弦分量的幅度：an直流分量：a0=2”7...,tIfWt(2-7),M+7余弦分量的幅度：an=-J"/(OcosnQordr〃=1,2,3,…(2-8)正弦分量的幅度：bn+T/(r)sin；TQordf〃=1,2,3,・・・(2-9)利用欧拉公式，则得到傅里叶级数的复数形式/(o=X工*=n=-oo(2-10)(2-11)三角函数型和指数型傅里叶系数之间的关系。工T工Ie用।工，〃=；业+6；(b}(pn=-arctan—<an>M=A“COS%=£,+£“2=-A“sin%=，(工一£“)(2-12)(2-13)/(r)cosnilnt/(r)cosnilntdt(2-14)n=1,2,3,…(2-15)以各谐波的振幅4“或虚指数信号的幅度I工1为纵坐标，画出的图形，称之为幅度(或振幅)频谱，简称幅度谱。画出各谐波初角外与频率(或角频率)的线图，称之为相位频谱。如果F“是实的，则可以用Fn的正负来表示必为0或乃，这时将幅度谱和相位谱画在一个图上。3、非周期信号的频谱分析——傅里叶变换(2-16)(2-16)前者是由信号的时间函数变换为频率函数，称为傅里叶正变换式；后者是由信号的频率函数变换为时间函数，称为傅里叶反变换式。也可简记为F(M)=/{〃/)}

.)=/"(用)}(2-17)或f(t)<->F(jQ) (2-18)非周期信号的傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在。这种条件类似于傅里叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于时间范围从一个周期扩展为无限区间，条件，即要求信号/⑺在无限区间内绝对可积。但这仅是充分条件，而不是必要条件，自从引入了广义函数的概念以后，对于许多并不满足绝对可积条件的函数(如阶跃信号、符号函数及周期信号等),其傅里叶变换可以有确定的表示式。一般情况下，频谱函数是一个复函数，它可以写成F(jf2)=\F(jn)\eiv(n) (2-19)I尸(JC)I亦称为幅度频谱，它是频率的函数，它代表信号中各频率分量的相对大小，而各频率分量的实际幅度是于"0M0,它是一无穷小量。例。)称为相位频谱，它也是24频率的函数，它代表有关频率分量的相位。非周期信号也和周期信号一样，可以分解为许多不同频率的正弦分量。所不同的是，由

于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率就趋于无限小，因此组成信号的分量的频率包含了从零到无穷大之间的一切频率。同时随着周期的无限增大，组成信号的分量的振幅则无限减小,所以频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函数来作出。2万密度函数的模量IF(/Q)I对频率Q作出的连续曲线代表信号的幅度频谱；密度函数的相角火0)对频率。作出的连续曲线则是信号的相位频谱。

0(。)」4n2jtrrnn.uu°—— crr5^函数/(力11j tsgn(Z)=，-1 tIF(；Q)I103(。)'Q2〃0 •~103LTl6单位“流信号加，1/(f)=1—00</<00F(jC)=2痴(Q)（2乃）0/0Q7单位冲激信号b()Ji⑴M)=()j/()=1[10t0Q8阶跃信号〃(力1iz11 .、w(0=~+—sgn(r)%〃2)=响/2)+工jC1Fg)2L.ot0n

信号的特性可以在时域中用时间函数/（，）完整地表示出来，也可以在频域中用频谱函数尸（，0）完整地表示出来，而且两者之间有着密切的联系，即傅里叶正反变换已经给出了信号的时域特性与频域特性之间的一般关系。但是，如果进一步研究一下傅里叶正反变换式,还可以得出两者之间的若干特定对应关系。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。表2-2傅里叶变换的基本性质性质时域/”）频域尸（〃2）定义尸（阳）=「/（f）e"力X

尸(M)=R(C)+jX(C)线性的⑴+牡⑺西（M）+W（W）奇偶性/（，）是实函数R(0)=/?(—/2)，X(Q)=-X(-0,Fg=F*(-j。)/(0=/(-0X(Q)=0,F(JC)=R(。)RCQ)=0,F(jA)=jX(A)/«）是虚函数R(0)=-R(-。)，X(O)=X(-。)Fg=-F*(-jC)对称性F(jt)2兀以-6时移特性尸（必必巧频移特性%）e士阳F[；(/2+Q())]尺度变换1十.0、时域微分dfSdt⑴dtnjCF(jC)(JC)"F(jC)时域积分£/(r)Jr^^+；rF(02(Q)jC频域微分(-Jr)V(OdF(jC)dCd"F(j。)d。"频域积分万〃0)M)+j3tF(jx)dx-8时域卷积/.(0*/2(0耳行。再(M)频域卷积；虫间)*6(阳)2万帕斯瓦尔定理力IFOY2)I2de2%山4、周期信号的傅里叶变换设周期信号/(，)的周期为工)，则角频率^>=276=上,可以将/«)展开成指数形式的傅里叶级数")=£匕*卬 (2-20)n=—oo将上式两边取傅里叶变换,可求出周期信号/(f)的傅里叶变换00/(/。)=阳/(r)]=21X工次Q一〃A) (2-21)n=—oo其中，工是/«)的傅里叶级数的系数，它等于Fn=—f°/2/(f)eTG'力 (2-22)()J~%/2式(2-21)表明，周期信号/(f)的傅里叶变换尸()。)是由一系列的冲激信号所组成。这些冲激位于信号的各次谐波频率处(0,士R,,±2Q,每个冲激的强度等于/(f)的指数形式的傅里叶级数的系数工的2乃倍。还可以推导出周期信号/Q)的傅里叶变换尸(_/0)与对应的单脉冲信号人。)(即周期信号/⑺在原点附近的一个主周期)的傅里叶变换外(j。)之间的关系，一般周期信号f(t)可以用周期单位冲激序列斗⑴来表示，即/«)=£启"〃户人⑺*可⑺ (2-23)“=-00根据时域卷积定理可得♦%)]=—见-⑺]得周期信号/(f)的傅里叶变换的/«)]=用(M) b(Q-〃R)=")X线(加5项。-〃")) (2-24)27r由此可见，将A")波形进行以T为周期的周期延拓，等效于在频域对其进行为周期的等距离冲激采样。5、时域采样定理在许多实际问题中，常常需要将连续时间信号变成离散时间信号，这就要对信号进行采样(或称取样、抽样)。例如，对于测量温度、位移和速度等一些连续变化的量可以每隔一定时间进行测量一次，取得这些连续时间信号在各离散时刻的一系列数据。离散信号可以通过对连续信号采样得到，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题：1)采样间隔T如何确定？2)原信号能否由样本点恢复？若能，如何恢复？要恢复原信号的必要条件是，采样信号频谱中两相邻的组成部分不能相互重叠，否则即使使用了理想低通滤波器，也无法取出与原信号相同的频谱。因此，要使频谱中相邻组成部分不相重叠，则必须满足如下条件：首先，原信号/«)的频谱尸(，。)的频带是有限的，即原信号/(f)频谱中存在最高频率分量Q,；其次，采样频率Q至少等于最高频率Q的两倍,即Q>2Q, (2-25)或fs>2fc (2.1-26)也就是说，要恢复原信号则最低采样频率f1nhi=2刀。一般将最低采样频率/.in称为奈奎斯特(Nyquist)采样频率(简称奈奎斯特采样率),其倒数Tsmin=1/fsmin称为奈奎斯特采样间隔。若采样频率Q不满足(2.1-25)式时，即Q<2Q.时，工(〃2)将产生混度(aliasing),此时不能从乙()。)中取出尸(〃2)，也即信号/«)不能由采样信号工⑺完全恢复。也就是说，采样的间隔时间过长，即采样太慢，将丢失部分信息。时域采样定理(samplingtheorem)：一个频带受限的信号/«),如果频谱只占据-Q&的范围，则信号/(，)可以用时间间隔不大于」一的采样值惟一地确定。当这样fsmin的采样信号通过其截止频率R满足条件R"A 的理想低通滤波器后，可以完全恢复原信号。

在满足采样定理的条件下，为了从频谱冗（，。）中无失真地选出尸（/Q）,可以将采样信号通过一理想低通滤波器，其频率特性为(2-27)其中，Q<^）<Qt-Q«因为滤波器的输出频谱为尸（，C）=〃（_/0） 由时域卷积定理知(2-28)若取，Q=2Q，%=Q,，则/«)=工/(〃7；/«)=工/(〃7；加[。«-〃乃)](2-29)上式说明，连续信号/（r）可以展开成正交采样函数（Sa函数）的无穷级数，级数的系数等于采样值/（〃（）。也就是说，若在采样信号£”）的每个样点处，画出一个峰值为力（〃（）的Sa函数波形，那么其合成波就是原信号/（f）。因此，只要已知各采样值£（〃?；）就能惟一地确定原信号/«）。2.2精选例题例1.证明下面四个多项式在区间（-1,1）内是正交函数集：fJ(f)舄⑺力=1举1533V x+-tvit=4 8)0[3«)〃⑺力=[但5.44--t3 =02 4)，■⑺6⑺力=1/吗<1661254392 /+—t-16 16-得卜=0[△⑺乙⑺力=1烙(167255510537 r+——r16 16一3)=0又因为函数集满足"(3⑺力=02dt=23二鸟。）鸟。）力=£I}"32nl2-t+—\dt=—2 5"«出"）力=（停J.15?+9/2Y=2 4727二2«）2«）力=£等8_525r6+555?16 16一竺产+2116 647288可知这四个多项式在区间＜M,1)内是正交函数集。例2.将例2图中的方波信号/«）展开为傅里叶级数。例2图解：首先解出cos(nQ(/)dz⑴cos(〃Q(/)t/r〒西卜si"]P2「cos(nQ(/)dz⑴cos(〃Q(/)t/r〒西卜si"]P2「 ]—11—cos(m^)]=<n7r0,4n=2,4,6-•,.〃乃n=1,3,5-••t+g3[sin(〃。。川修y2/?£20又因为。0=半，可得a=0bn==工L(-l)sin(〃Qof)+2gsin(〃Q(jW2bn=则傅里叶级数的展开式为。、4.八、1. 1. _n=1,3,5,-••/(z)=-sin(Q0^)H—sin(3f20Z)H—,H—sin(nf20/)4-,n=1,3,5,-••~ 3 n例3.求出例3图周期函数的频谱。解:27r周期7=2,Qo=—=^,则有/(0=/(0=sin(M,2k<t<2k-^-12k+1<t<2k+2由此可得

1工 1A 14_0一””n=0,±1,±2,…Fn=-月/(”小力,ff⑴e-jR'dt=n=0,±1,±2,…“丁4 211 2^-(1-n2)可知周期信号的频谱是离散的。例4.求下列信号的傅里叶变换f(t)=e-J'3(t-2) (2)/(f)=e-3"T)£(f-i)解：(1)已知6(。cl由时频性质可得 8(t-2)^e~i2n再由时频性质可得f⑴的傅里叶变换 -2)c0-问。+|)即F(jn)=e-J2(n+i)/")的傅里叶变换为/«)=e-3(i—«_1)=§(r-i)-(-3)(J(r-l)=£(1)+3必—1)又6(f)-1,S(f)cj。，最后可得/(〃2)=(/。+3-。例5.根据傅里叶的对称性求出下列函数的傅里叶变换sin[2^-(/-2)1f(t)=— ,-oo<r<00万('-2)、〃/、2af(t)=~~-,-oo</<ooa+t解：由门函数的频谱密度，即gr(0<->rSa(^-)取r=2,幅度为上，根据傅里叶变换有2；g2(，)cSa(C)又g2“)是偶函数，根据时称性可得根据时移性和尺度变换可知Sa[2"-2)]c；g4.(C)eT2°最后可得「(汹)={\n\<2^「(汹)={\n\<2^苗〉2开(2)由于e一州 2a滔+。可知—：——7—2兀e11a+〃即/。)=_三方,_8</<8的傅里叶变换为2乃丁“四a+t例6.若已知/(r)cF(jC),求下列函数的频谱:(2)ej,f(3-2t)⑶如」dt7Ut解：(1)由频域的微分性质可得丁⑺cj二尸(阳)

as2由反转特性可得 -tf--j2一FGjC)dC又由时移性质可得(T+1)/(-/+1)<->-je~,n-^―F(-j0dL2(2)由尺度变换特性可得107(-2/)<->—F(-j—)由时移特性可得1T彳 Qf(3-2t)^-e2F(-弓又由频移性质可得1.产e? 1.nej'f(3-2t)<^-e 2F(-J-)(3)由时域微分特性可得3f⑴cjCF(j。)dt又有一c-jsgn(Q)n则由时域卷积定理可得华*工6阳)•(-j)sgn(Q)=|。|F()。)dtnt例7.试用下列方法求例7图中的余弦函数的频谱函数。(1)利用傅里叶变换的定义。解：(1)由傅里叶定义可得F(jH)=£f(t)e-jn,dt=£cos(日年力借力cos12一(92”(2)由/(f)的波形可知TTf(t)=co又有cos(—/)<->n<5(r+—)+^(/--)g2(，)c2Sa(Q)则由频域卷积定理得/(0的频谱函数/卜卜(，+y)+^(^~y)*2Sa(Q)]=Sa(。4—)+Sa(C)万cos。一白)S

2例8.求下列函数的傅里叶反变换。(1)尸(〃2)=6(a+q)-b(a-q)(2)/(〃2)=2cos(30)解：(1)因为 1<->2乃5(/2)由于频移性质可得65(。土Q)

27r则有/(/)=—("网一代)=sm(Q"

271 J7T(2)反变换为/(/)=—[：2cos(30B@d。=—£[eiin+e~iin)ein,dQ=—£[e—+/。”斗。由6(r)cl,得必)=:[,e,则有/«)=&+3)+5(-3)例9.对时域采样定理和频域采样定理解释。解：时域采样定理：一个频谱受限的信号/(f),如果频谱只占据-Q,+Q”的范围，则信号/Q)可以用等间隔的采样值唯一地表示，而采样间隔必须不大于」一(其中f7|以=2万，)，或者说最低采样频率为2fmo频域采样定理：若信号/⑺是时间受限信号，它集中在T,”+号的时间范围内，若在频域中以不大于一!一的频率间隔时/（，）的频谱尸（Q）进行采样，则采样后的频谱片（@）可以2,1n唯一的表示原信号。例10.有限频带信号f（f）=5+2cos（2加工f）+cos（4%l，），其中ft=IkHz»用£=5k”z的冲激函数序列名⑴进行采样。画出/⑴及采样信号£«）在频率区间（-10k〃z,10k”z）的频谱图。解：由F（；2^/）=10婿（27/）+2乃［3（27/+2乃工）+3Q兀f-27£）］+乃忸（2万7+4万力）+5（2乃/-4万［）］又因为S（j2乃/）=2乃Z/2万/一〃21力由卷积定理可得采样信号的频谱函数F,（j2兀f）=：F（j2nf）*S（j2兀于）171=£Z"0/（2万f-n2兀f$）+2zrJ（2zr/+ -〃2/rf）+2妨（2乃f-2万/-〃2万£）+%6（27/+4方/一〃2%/,）+%5（2%/-4万/一"27/,）］画图为例10解图2.3习题精解.前四个勒让德（Legendre）多项式

《⑺=1*）=（"）产《）=自二3证明它们在区间（-1,1）内是正交函数集。解：在区间（-1,1）内，有［绍0）*1*«）力=1/力=52匕=0［综⑴*8(')力=工+，■⑺*耳⑺八，（/-/）力=（，-$，■⑺*耳⑺八，（/-/）力=（，-$2）11=。［却。*8（力力=「（|z2-l)j/=(_z4-l/2)|［却。*8（力力=「（|2 8 4 1口⑺噌⑺力=。（|/［1⑴*耳⑴山=口|「一，|「口⑺噌⑺力=。（|/［1⑴*耳⑴山=口|「一，|「=夕-孑汉=0月）力=（2斤+#）匕=0在（-1,1）区间内满足［/（f）耳⑺力=0（i#/）.它们在区间（-1,I）内是正交函数集。.证明｛85“05（2。,...,以》（川）（11为正整数）｝,是在区间（0,2万）的正交函数集。它是否是完备的正交函数集?证明：0T~2在区间（0,20T~2•2”cos(mQ0r)cos(z?Q(/)d，=<当m=〃=0｛cosr,cos（2r）,...,cos（〃r）（n为正整数）｝是在区间（0,2万）的正交函数集。但不是完备的。因为：在正交函数集｛cost,cos（2rcos（〃r）（n为正整数）｝之外，存在函数sin（/”Qr）（m丰0）满足：finIsin(7??Q0r)cos(nQ0r)dr=0,对于所有的 和〃。题3图解：工=)①”)个卬力4TOC\o"1-5"\h\zTo2 41 8*0n=-aoa0=—,aH=—Tyj2(^(r)cosnC^tdt=—,因为偶函数/?〃=0T0 T02 T0c/、 1 2/八,.h„ 2万%(r)=—i—>.cos，上述得=—4.(1)直接用定义求题4图所示三角波/⑺的三角傅里叶级数。(2)利用3题的结果求题2.4图所示三角波f⑴的三角傅里叶级数。解：1)利用直接法求解:因为信号为去直为奇函数,所以4因为信号为去直为奇函数,所以4t=0；,2.0A.,2.0A.小,A

么二兀L一亍9吟藐%)=[+S则处，上述",=竽

2nn 102)利用3题的结果求解：A令/⑴=(A-—t)[u(t)-u(t-T0)]TOC\o"1-5"\h\z则/Q)=Z Z«"+1)珀｝■"+1)珀｝■aA/[")=/")=X--lu^-nT())-u(,t-(n+1)TO)]+】/c⑴=r£Lcosn^idT=4£s1n-Q'Z10„=1 nn=l力=4,所以/(。=。+力=4,所以/(。=。+4寸山5f

2 27rn_15.已知周期信号/⑴的前_L周期波形如题5图所示。根据下列各种情况的要求，画出了⑴在4一个周期的波形(-1~二(22/⑺是偶函数，只含有偶次谐波；/⑴是偶函数，只含有奇次谐波；〃。是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波;(4)门。是奇函数，只含有偶次谐波；(5)八。是奇函数，只含有奇次谐波。(6)/Q)是奇函数，含有偶次谐波和奇次谐波。解：1)解：1)/⑴是偶函数，只含有偶次谐波题5图2)/«)是偶函数，只含有奇次谐波题5图题5图(b)题5图(a)3)/Q)是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波

5)/⑺是奇函数,/(，)题5图5)/⑺是奇函数,/(，)题5图(d)只含有奇次谐波题5图(e).周期信号/⑺的双边频谱如题6图所示，求其三角函数表示式。-2-10解:根据勺="+£“，b“=j(F,-F_“)求得a.=F.+F,=21I—14=，解一心)=—2,f(t)=2cosr-2jsin3t.已知周期矩形信号力⑺及人⑺如题7图所示。求：(1)力⑴的参数为r=0.5ns,T=Ws,A=\V,则谱线间隔和带宽为多少？(2)人⑺的参数为t=L5rs,7=3然，A=3V,则谱线间隔和带宽为多少?

(3)力⑺与人⑴的基波幅度之比为多少？(4)力⑴基波幅度与人⑴的三次谐波幅度之比为多少？(1)(2)(3)(巧(巧=T\T、T]1\TTT“仪(1)(2)(3)(巧(巧=T\T、T]1\TTT“仪(黄)472刀Sa(空■)lx0.5x3xSa(^Y^)3xl.5xlxSa(^^)(4)7TT.A/iASa(下1■)lx0.5x3xSa(^y^)4MSa(噜)723xl.5xlxSa(^^)题7图解：、Ar2At/° 八/(0=—+ Xcosnflt/ 1n=l/27r谱线间隔为Q,=7=2x106万(rad/s)或工=1000K〃z带宽为Bg=—=4、106T(「。(//5)或5=—=2000KHZG 4同理可求：谱线间隔为R=［：=gxl06万(wd/s)或X=#带宽为及,，=女=±xl()6乃(md/s)或82='=型史K〃z3 7r23.求题8图所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。题8题8图解:/(/)=£[«(/+--1)]cos—/TOC\o"1-5"\h\zr t C2t3'{ H—)—u(j—)]}—EtSci( )2 2 2兀 、rc/八 万、c/c 冗、、iF\cos—t]—乃[5(/2H—)+ )]T T TT T TT/F[/(0]=—^{E[u(t+-)-u(t—一)]}*ZF[cos-r]2乃 2 2 rCt 71cn=——ErSa{——)*加演。+—)+ ——)]21 2 T TclCt「 c c 2£Tcos=旦.(0+马+S.(生/)]=一片2 22 22加_(0)2]冗.计算下列信号的傅里叶变换。(3)e2'u(-t+l)(1)ej,sgn(3-2r)(3)e2'u(-t+l)TOC\o"1-5"\h\z(4)|cos(—), \t\<\ ⑸_2_[0, |r|>l /+4解：2 2-j-n(1)牙*[sgn(f)]= =于"[sgn(3—2r)]= e~jC jiln/[e"sgn(3-2r)]=-2jn/[e"sgn(3-2r)]=-2j(。一1)(2)_1-2(5“(川-j72<TIe_2<，_1,M(/)]=jQe1SAe-2'u(t}]=e2dr jC+2(3)歹[〃«)]=•(/?)+-!-="Z“(T+1)6e-"d2)[.(c一2) 1—]j。 /(C-2)Jj 1 J2-M)0"一见力=‘一"一期’——V 2-jCr2-jC(4),九7、cos(—),0,CLA。2Ercos 2^-[1-(—)2]71r=2£=14cosA -乃_71 ——=So(a+—)+Sa(Q——)41-(—)2] 2 2n（5）因为——。+4吟坤4沙2年—10.试分别利用下列几种方法证明u(t)―7t5(Q)+看o(1)利用符号函数〃(r)=；+gsgn(r):(2)利用矩形脉冲取极限(Tf8)；(3)利用积分定理u(t)=[8[r)dr：J—oo(4)利用单边指数函数取极限[M(0=lime"/>0]a->0解：(1)略ttQt 〃Ct(2)w(f4~~)—w(/——) tSci{—―—) w(/)—u(t—r) tSa(-~c.Cli-J^nJ>in(-)T..sin(Qr)2j.2Qt

rSa(——)e2=t——[cos—0-jsin——1= -sin——2 Cr2 2QQ2~T_sin(/2r)2j1-cos/2r_sin(12r)jcosQr-QQ2-QQj。、-)\o)sin(/2r)1cosQthmvSa(——)e2=hm--——-+ hm 38 2 TT8Cj。28jCTOC\o"1-5"\h\z1.sin(0r)1 £/c、 1=^lim + =9(0)+ re冗Q j£l jC(3)略(4)- i iF[w(r)]=limlimfe'aTe-ii}rdr=limlim[ 1"如”]J->8"TOJ) l8Of。a+j。Cl+jil=———lim—e2=———lim—(cosQt-jsinQt)jC-jCjC-j。 ，..sin/2rcosilt 1sinQ1 、= 4-lim lim = +兀hm = +愁(<2)jC —Q -j。 j。 -Mi jC11.若")的傅里叶变换为尸(〃2)」©。口-R,)+62“(。+5)]，如题11图所示，求/(f)并画图。1/2 *) .":—>+a。A-a Q

题11图解:题11图解:通(。)一asin。， =>2乃at:［G”8-％）+G?”（。+Q,）］cf吧”g冲+/冲）2 z.natac/、八sin。，_

=—Sa（a，）cosRj= cosRj7t 7Vt题11解图.已知信号工⑴c《〃2)=R(A)+jX(a),力⑺的波形如题12图(a)所示，若有信号人⑺的波形如题12人⑺的波形如题12图(b)所示。求工(〃2)。题12图(a) 题12图(b)解：人⑺=，/(；)+/(-，］-%2用)+£(-2阳)外(阳)=五。阳)+五：(2阳)=2R(2Q).若已知/(，)一/(JO),确定下列信号的傅里叶变换:(1)/(1-。 (2)(1-r)/(l-r) (3)/(2-5)解：(2)(1-0/(l-0=/(l-0-/f(l-00^1/(I-o]=F{-jQ)e~=F{-jQ)e~iadC dC⑶f(2—5)c；F(j£)e*Q.已知三角脉冲工⑴的傅里叶变换为耳g4Sa?]竽>试用有关定理求办⑴=Ka-2z)cos(卬)的傅里叶变换F式jC)。解：/2(0<->I用工(I-27)]*网cos(gt)]L71=；^Sa2(华，M*nb(Q+L(C-R)]乙"乙 \ <JSa](A+5)”卜小9+5)।Sa2((QQ)1c-，2-)= sa2((。：l乃卜2叫+sa2((0^12f卜2a.若已知/⑴6F(〃2),确定下列信号的傅里叶变换。⑴)⑵) (2)(r-2)/(0(3)(/-2)/(-20 (4〃或3dt解：, d「1 1 jdF(j号dco aL2\^Z J2a£2(2)(4)(t-2)/(r)—火"Q)]-汨/⑺]=j叱邛)_2/(。)(2)(4)CIL2fC(t-2)/(-〃)cntf(-2t)1-2^1f(-2t)]=《——^―F(-j—)2 d£2 2'孥”•/吃[必尸(用)b-《[。"冏)]=-A隼F"。)atdl2 aL2 d12.分别利用线性性质、时域枳分性质和时域卷积定理求题16图所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出r=2%情况下该脉冲的频谱图。

题16图解：（1）利用线性性质TOC\o"1-5"\h\zT7］， Z Z2FT T T人⑺=—（uT"）［〃a+《）一〃（’一支］

r-T12 2 2Er*2,Er*2,9"⑴-伏）叫力（叶织伙）］=而F”8E。2（丁一々）8E。2（丁一々）…赞=占"誓》（誓叩昨。./2(r+r.).12(r-r.)cos(W)c;r[5(a+A)+5(A-q,)]；sin(Qj)6步[5口+Q))-5(a-R,)]cos(W)c;r[5(a+A)+5(A-q,)]；sin(Qj)6步[5口+Q))-5(a-R,)]。求单边正弦;in(Q)r)M(O和单边余弦cos(卬)“(，)的傅里叶变换。解:sin(卬)〃(，)cji[3(a+R))-b(。-1)]*7^+痴(/2)2乃 )£22[j(Q+R)j(。-2)+加5(。+只))一5(。-Q))]=芍廨(。+%)-5(。一%)]+7T函-母)同理可求:cos(Q)/)m(/)<-> ))函-母).求尸(〃2)= ?_的傅里叶反变换。3+j功解:(a+We-a,u(t)(a+WQ+jCAF(j0=:~~(a+j0另一种解法：f(t)=e-a'u(t)*e-a'u(t)=^e-ar-e-^dT=te-a'u(t).求信号/«)=ZU"2nT)a(r-(2n+l)T)]的傅氏变换。解：TT信号周期为：27,则［=下,f/(0-2T— n=2.k+\^i..=仔 其中壮[o n=2k24工f(r)c^Z5(a-(2k+l)R))* &=-00题19图.信号"r)=Sa(100m)U+Sa(100M]，若对其进行冲激采样，求使频谱不发生混叠的最低采样频率X。解：令R=100万，则/a)=Sagf)[l+Sa(Q/)]=Sa(Q/)+Sa(Qr)Sa(Qz)=三(29一问[u(C+2Q.)i(a-2Q)]+二[“(Q+a)-u(a-Q)]c c所以Q〃=2Q./；旦=出=%=200“z27TTC7T.有限频带信号/⑴的最高频率为100HZ,若对下列信号进行时域采样，求得最小采样频率£。(D/(3r) ⑵尸⑺(3)/(r)*/(2r) (4)/(r)+/2(0解：/C=1OOHZ,fs>2fc=20QHz设：/(r)cF(〃2)TOC\o"1-5"\h\z(1)〃3£)»，尸(/竺)，频域信号扩展，频带增大，£=3£.=300〃2,/22力'=600此3 3 '⑵尸⑴6,频域信号扩展，频带增大为尸(〃?)的两倍，2nf=2A=200HZ, =400〃z(3)也)*〃2,)64/8)*：尸"当,尸(M)的f=100HZ,F(j当的2乃 2 2 2f=200//Z,蹄—F(；/2)*-F(y—)的f=f'+f=1OOHZ+200HZ=300HZ,2^r 2 2f>2fc=600%-1(4)f(t)+f2(t) F(j/2)+—F(j/2)*F(j/2),频带增大为尸(阳)的两倍，确271f=24=200HZ，f>2f；=400Hz第3章时域连续信号的复频域分析3.1学习要点.拉普拉斯变换的定义TOC\o"1-5"\h\zF(s)=[j(t)e-s'dt (3-1)f(t)=-^-rirF(S)es'ds (3-2)27j式(3-1)和(3-2)称为双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换时。/⑸力 (头3)/")=-~~：f F(s)e，dsu(t) (3-4)2tvj石-J8式(3-3)和(3-4)称为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示，即尸(s)=L[/(/)] (3-5)/(/)=L1[F(5)] (3-6)也可用双箭头表示复变函数尸(s)称为/«)的象函数，时间函数/")称为尸(S)的原函数。Laplace变换则建立了连续信号时域和复频域(s域)间的联系。.拉普拉斯变换的收敛域对于单边信号/(，)，当时，若存在一个5)值使得＜7＞生时，/。)0一6的极限等于零，则在。＞5)的全部范围内满足绝对可积，Laplace变换存在。这一关系可表示为limf(t)e~at=0,er＞cr (3-7)Too气与/⑺的特性有关，它给出了Laplace变换存在的条件。一般而言，/(s)的收敛域如图3-1所示。在以O■为横坐标，为纵坐标的s平面匕这一区域称为Laplace积分的收敛域或象函数尸(s)的收敛域。横坐标外称为收敛坐标，直线b=bo称为收敛轴。而双边Laplace变换可以看成两个单边Laplace变换的叠加，其收敛域一般有两个有限边界：一个边界决定于1＞0时的工(f),是收敛域的左边界，用表示；另一个边界决定于，＜0时

的力(f),是收敛域的右边界，用<7表示。如果(T>cr+,有公共收敛域，双边Laplace变换存在。反之，双边Laplace变换就不存在。图3-1单边Laplace变换收敛域一般而言，凡是定义在有限区间上的能量信号，不管b取何值，都能使信号的Laplace变换存在，其收敛域为整个s平面。如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如阶跃信号、正弦信号，只要乘以衰减因子""(tr>0)就可以使之收敛，因此其收敛域为s右半平面。对于任何随时间成正比的r的正基次信号，其增长