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文档简介
函数对称轴为t=''3g[0,1],.:f(x)=12max【知识拓展】此类问题属于热点题型,2016年二卷(文11)、2010年和2014广西卷均出现此题型,解决方法相同,但二卷近几年不会再出了.【题目15】(2017•新课标全国I卷理15)15.等差数列{a}的前n项和为S,a=3,S=10,则nn34£丄=Sk=1k【命题意图】本题主要考查等差数列通向公式a及其前n项和以及叠加法求和,解析】解法一:常规解法*.*S=10,a+a=a+a4231a+a=523a=3,■•a=232n(a+a)•/S=—n2■n-n(n+1)2n.£12n''S=i=1n,ngN*n+1知识拓展】本题不难,属于考查基础概念,但有一部分考生会丢掉ngN*这个条件,此处属于易错点.【题目16】(2017•新课标全国II卷理16)16.已知F是抛物线C:y2二8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N•若M为FN的中点,则|FN|=•【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系,意在考查考生的转化与化归思想运算求解的能力【解析】解法一:几何法生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。【题目17】(2017•新课标全国II卷理17)17.(12分)BAABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)二8sin2—.厶⑴求cosB(2)若a+c=6,AABC面积为2,求b.【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形.B【试题分析】在第(I)中,利用三角形内角和定理可知A+C=兀—B,将sin(A+C)=8sin2转化B为角B的方程,思维方向有两个:①利用降幕公式化简sin2—,结合sin2B+cos2B=1求出cosB•,②2BBB利用二倍角公式,化简sinB=8sin2—,两边约去sin—,求得tan—,进而求得cosB.在第(II)中,利用(I)中结论,利用勾股定理和面积公式求出a+c、ac,从而求出b.(I)基本解法1】B由题设及A+B+C=兀,sinB=8sin2-2sinB=(41-cosB)上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=015解得cosB=l(舍去),cosB二一17基本解法2】BBBBB由题设及A+B+C=兀,sinB=8sin2,所以2sincos=8sin2,又sin丰0,所以22222
B
tan=2(II)B
tan=2(II)又SAABCB11一tan2—1,cosB=2=15\o"CurrentDocument"41+tan2兰172\o"CurrentDocument"158由cosB=一得sinB=一,故S\o"CurrentDocument"171717=2,贝Uac=-2AABC二1acsinB=—ac217由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2一2accosB=(a+c)2一2ac(1+cosB)TOC\o"1-5"\h\z“c1715、\o"CurrentDocument"=36-2xx(1+)\o"CurrentDocument"217所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角“”角转边”另外要注意a+c,ac,a2+c2三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎.【题目18】(2017•新课标全国II卷理18)18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量v50kg箱产量>50kg旧养殖法新养殖法0”0旳SO100.0013.8416.63510.S2830”0旳SO100.0013.8416.63510.S28n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)命题意图】概率统计,独立检验等知识的综合运用【基本解法】旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.012X5+0.014X5+0.024X5+0.034X5+0.040X5=0.62,由于两种养殖方法的箱产量相互独立,于是P(A)=0.62X0.66=0.4092旧养殖法的箱产量低于50kg的有100X0.62=62箱,不低于50kg的有38箱,新养殖法的箱产量不低于50kg的有100X0.66=66箱,低于50kg的有34箱,得到2X2列联表如下:箱产量<50kg箱产量250kg合计旧养殖法6238100新养殖法3466100合计96104200所以K2=200x(62x66-34x38)2=1225沁小96x104xlOOxlOO78・•・K2>6.635,所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。(III)根据箱产量的频率分布直方图,新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0.038X5+0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.66>0.50,不低于55kg的频率为0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.32<0.50,于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间,设新养殖法箱产量的中位数为x,则有(55-x)X0.068+0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.50解得x=52.3529因此,新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35。【知识拓展】首先,先表示事件,再写出其发生的概率,将未知事件用已知事件表示,依据事件间的关系,求出未知事件的概率•统计的基本原理是用样本估计总体•独立性检验,先填2*2列联表,再计就,与参考值比较,作出结论;中位数的计算要根据中位数以左其频率和为50%.求面积和计算频率.【题目19】(2017•新课标全国II卷理19)19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,lAB—BC——AD,ZBAD=ZABC=90o,e是PD的中点.^2证明:直线CE//平面PAB点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为45。,求二面角M-AB-D的余弦值命题意图】线面平行的判定,线面垂直的判定,面面垂直的性质,线面角、二面角的求解
标准答案】(1)证明略;2)基本解法1】证明:取PA中点为F,连接标准答案】(1)证明略;2)基本解法1】证明:取PA中点为F,连接EF、AF因为BADABC90,BC-AD所以B^-AD22因为E是PD的中点,所以EF_Z*AD,所以EF/BC所以四边形EFBC为平行四边形,所以EC//BF因为BF平面PAB,EC平面PAB所以直线CE//平面PAB取AD中点为O,连接OC、OP因为^PAD为等边三角形,所以POAD因为平面PAD平面ABCD,平面PADI平面ABCDAD,PO平面PAD所以PO平面ABCD因为AOBC,所以四边形OABC为平行四边形,所以AB//OC所以OCAD以OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图unr设BC1,则P(0,0,T3),A(0,1,0)B(1,1,0)C(1,0,0,所以pcuuur—uur设M(x,y,z),则PM(x,y,z3),AB(1,0,0)uuurudr因为点M在棱PC上,所以PMPC(01),即(x,y,z<3)uuur所以M(,0,3<3)所以BM(1,1,3\:3)r平面ABCD的法向量为n(0,0,1)因为直线BM与底面ABCD所成角为u埠,uuuurr所以isin45iicosBM,n(1,0,J3)(1,0,打)UMLjJ近uuur解得1丁,所以BM<10【基本解法2】(1)证明:取AD中点为O,连接OC、OEibmini工下至]占)25,2)uuururABmuuuururBMm12(3因为BADABC90,BC-AD所以BCJ^AD,即BC丄AO22所以四边形OABC为平行四边形,所以OC//AB
因为ABu平面PAB,OC@平面PAB所以直线OC//平面PAB因为E是PD的中点,所以OE//PA因为PAu平面PAB,OE@平面PAB所以直线PA//平面PABEDOBc因为PAIAB=A,所以平面OCE//平面PAB因为CEu平面PAB所以直线CE//平面PABEDOBc(2)同上【知识拓展】线面平行的证明一般有两个方向,线面平行的判定或面面平行的性质。角的求解多借助空间直角坐标系,需要注意两个问题:(1)题中没有现成的三条线两两垂直,需要先证明irr后建系;(2)<m,n>是指两个法向量的夹角,与二面角相等或互补,需要观察所求二面角是锐二面角还是钝二面角【题目20】(2017•新课标全国II卷理20)20.(12分)x2uur一uur设0为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=冷'2NM.(1)求点P的轨迹方程;iiiriiir⑵设点Q在直线x=-3上,且OP-PQ=1.证明:过点P且垂直于0Q的直线l过C的左焦点F.命题意图】椭圆,定值问题的探索;运算求解能力【基本解法】uuuur•-xuuuur•-x,y),NM=(0,y).00则:x=x,y=、:2y.00设M(x,y),N(x,0),P(x,y),贝y:NP=(x000uur_uuuir又NP=J2NM,所以:(x-x,y)=\2(0,y),00又Mq,y。)在椭圆C上,所以:才+yo2=1。所以:x2+y2—2.
解法二:IX=\jlcos0椭圆C的参数方程为:<・c(0为参数).[y=sin0设M(.2cos0,sin0),N('2cos0,0),P(x,y),uur(一)uuuir则:NP=Q-<2cos0,y,NM=(0,sin0).uur_uuur(一)又NP=72NM,所以:\x-J2cos0,y=(0,sin0),贝y:x=2cos0,y=2sin0.(II)解法一:设P(2cos0^2sin0),Q(-3,y),F(一1,0),则OP=C'2cos0^'2sin0),1OQ=(-3,y),PQ=(3-J2cos0,y^.2sin0),PF=C1-、2cos0,-J2sin0)11iiiriiir又OP•PQ=1,所以:C2cos0,<2sin0)•C3-J2cos0,y-J2sin0)=-3\/5cos0-2cos20+迈ysin0-2sin20=111即:3^2cos0-J2y〔sin0=-3.那么:PF-OQ=Cl-Qcos0,一运sin0)(-3,y)=3+^2cos0-迈ysin0=0.iuuuruuur所以:PF丄OQ.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F。-X1,-X1,y2-”解法二:设P(x,y),Q(-3,y),F(-1,0),则OP=(x,y),OQ=(-3,y),PQ=(-3ii2ii2iiirPF=(-1-x,-y).11iiiriiir又OP•PQ=1,所以:(x,y)•(-3-x,y-y)=-3x-x2+yy-y2=1.1112111121又P(x,y)在x2+y2=2上,所以:3x—yy=-3.11112iiiriiir又PF•OQ=(-1-x,-y>(-3,y)=3+3x-yy=0.112112iiiriiir所以:PF丄OQ.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F。【题目21】(2017•新课标全国II卷理21)21.(12分)
已知函数f(x)=ax2-ax-xInx,且f(x)>0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x,且e-2<f(x)<2-2.00【命题意图】本题考查函数的极值,导数的应用.【基本解法】(1)法一.由题知:f(x)=x(ax—a一lnx)(x>0)且f(x)>0,所以:a(x-1)-lnx>0.即当xe(0,1)时,a<也丄;当xe(1,+a)时,a>也丄;TOC\o"1-5"\h\zx-1x-1当x=1时,a(x-1)-lnx>0成立.令g(x)=x一1-lnx,g'(x)=1--=1,当xe(0,1)时,g'(x)<0,xxg(x)递减g(x)<g(1)=0,所以:x—1>lnx,即:也二>1.所以:a<1;,x-1当xe(1,+8)时,g'(x)>0,g(x)递增g(x)>g(1)=0,所以:x—1>lnx,即:也二<1.所以:a>1;,x-1综上:a=1.法二.洛必达法则由题知:f(x)=x(ax—a—lnx)(x>0)且f(x)>0,,所以:a(x-1)-lnx>0.即当xe(0,1)时,a<也兰;当xe(1,+8)时,a>也丄;TOC\o"1-5"\h\zx-1x-1当x=1时,a(x-1)-lnx>0成立.1(x—1)-lnx1—1—lnx令g(x)=,gx令g(x)=,gx-1=^(^(^F.令h(x)=1-—-lnx,h'(x)=—-—=1_x.xx2xx2当xe(0,1)时,h'(x)>0,h(x)递增,h(x)<h(1)=0;所以g'(x)<0,g(x)递减,g(x)>lim^^=lim(山气=lim1=1xt1x一1xt1(x一1)xt1x
所以:aw1;当xe(1,+8)时,h'(x)<0,h(x)递减,h(x)<h(1)=0;所以g'(x)<所以g'(x)<0,g(x)递减,()lnx(lnx)'glx丿<lim=lim()xt1x—1xt1Jx—1丿=lim丄=1xt1x所以:a>1;故:a=1.⑴由(1)知:f(x)=x(x-1-lnx)f'(x)=2x-2-lnx设0(x)=2x—2—lnx则0'(x)=2——x0(x)<0.当时,0(x)>00(x)<0.当时,0(x)>0所以0(x)在(1)、0,2丿递减,(1)在[2’+8丿递增.又0(e-2)>0申(1)、°'2丿有唯一零点(1)<2丿零点1,且当xg(0,“)时,0(x)>0;当兀g(x0,1)时,0(x)<0;当xG(1,+8)时0(x)>0又f'(x)=0(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f'(x0)=0得lnx0=2(x0一1),故f(x0)=x0(1-“)由x0g(0,1)得f(x0)<4.因为x=x0是f(x)在(0,1)的唯一极大值点,由e-1g(0,1),fO0得f(x)>f(e-1)=e-2<°,少(1)=°,所以0(x)在x0在(1)12丿有唯一所以e-2<f(x0)<2-2二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。【题目22】(2017•新课标全国II卷理22)22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C]的极坐标方程为
M为曲线C上的动点,点P在线段OM上,且满足IOMI-1OPI=16,求点P的轨迹C的直角坐标12方程;设点A的极坐标为(2,匚),点B在曲线C上,求AOAB面积的最大值.32【命题意图】坐标系与参数方程,求动点的轨迹方程,三角函数【基本解法】(1)解法一:设P点在极坐标下坐标为(P,0),代入曲线Ci的极坐标方程,得:(16、由|OM卜Op二16可得M,代入曲线Ci的极坐标方程,得:Ip丿cos0二4,即p=4cos0,两边同乘以p,化成直角坐标方程为:pX2+y2二4x,由题意知P>0,所以检验得x2+y2二4x(x丰0).解法二:设P点在直角坐标系下坐标为(x,y),曲线C的直角坐标方程为x=4,因为O,P,M三点共线,1(4y\所以M点的坐标为4,丄,代入条件|OM卜|OP|二16得:Vx丿16+•、:x2+y2=16,因为x>0,化简得:x2x2+y2=4x(x丰0).(2)解法一:由(1)知曲线C2的极坐标方程为P二4cos0,故可设B点坐标为(4cos0,0),SAOABSAOAB=1-2-4cos0-sin(-0)=|^3cos02一2sin0cos0=”'3cos20一sin20+€31=-2sin(20一专)+73由一丁<0<得S<2+*3,即最大值为2+丫3.22AOAB解法二:在直角坐标系中,A点坐标为(1a-'3),直线OA的方程为J3x-y=0.|朽x-y设点B点坐标(x,y),则点B到直线OA的距离d=1|V3x-y_所以SAOAB二2-2-d二―,又因为点B坐标满足方程(x一2)2+y2二4,由柯西不等式得:
[(x-2)2+y2丁苗2+(_1)2'[損x—2)-y]2,即_4573(x-2)-y<4即一4+2*3<J3x—y<4+2运Wx-yl由S二得,S<2+2羽.AOAB2AOAB解法三:前面同解法二,1173x-yS2-d=——,又因为点B坐标满足方程(x-2)2+y2=4,故可设AOAB22B的坐标(2+2cosa,2sina),即cosa+2、:'3-2sin-4sin(a-y)+2、汙AOAB解法四:圆心为C(2,0),点A(1,点)在圆(x-2)2+y2二4上,记C到OA的距离为d,直线OA的方程为、'3x-y二0,则d=、%,不难得到:11__S<-OA-(d+r)二--2-(启+2)二2+J3.AOAB22【题目23】(2017•新课标全国II卷理23)23.[选修4-5:不等式选讲]
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