软件学生会学习部试卷-线性代数第三章

第三章

线性空间与线性变换线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决实际问题．§3.4

线性空间、基、维数和坐标—

数域定义3.1.1

设F

是数的集合，若其满足（1）0,1

F（2）对F中任意两个a,b，总有a＋b,a-b,a×b,a÷b(b

0)

F则称F

是一个数域。条件（2）称为F对数的加、减、乘、除四种运算封闭。易证：自然数集N

与整数集Z

不是数域。有理数集Q，实数集R，复数集C是数域，分别称为有理数域，实数域，复数域。（3）Q

是最小的数域，任意数域包含Q。(4)除Q、R、C

以外，还有许多其它的数域。设F

是数域，分量取自F

的向量称为F上的向量，F上全部n

元向量的集合记为F

n

.同理，元素取自F

的矩阵称为F

上的矩阵，F上全部m

n矩阵的集合记为F

mn

.F

n

{(a1,,

an

)

|

ai

F

,

i

1,,

n}F

mn

{[aij

]mn

|

aij

F

,

i

1,2,,

m；j

1,2,,

n}F

[x]

{a0

a1

x

a2

x

an

x

|

ai

F

,2

ni

0,1,,

n；n

0,1,2,}F

[x]n

{

f

(

x)

|

f

(

x)

F

[x]

,f

(

x)的次数小于n,

或f

(

x)

0}C[a,b]

{f

(x)|

f

(x)是闭区间[a,b]上的连续函数}在数学研究的对象中,有很多类型的集合,可以在其中定义加法运算和由给定数域中的数与集合的元间定义数乘运算,使集合对两种运算封闭并且满足与向量的线性运算性质2.1.1相同的八条规则.不关心具体的对象和两种运算的具体含义,将集合对两种运算的封闭性及运算满足的规则抽象出来,就形成了抽象的线性空间的概念.定义3.4.1

设V

是一个非空集合，F

为数域．在V中定义了两种运算，一种运算称为加法：如果对于任意两个元素

,

∈V，总有唯一的一个元素

∈V

与之对应，称为元素与的和，记作

另一种运算称为数量乘法：若对于任一数k∈F与任一元素

∈V，总有唯一的一个元素

∈V与之对应，称为k与的数量积，记作

k二

线性空间的定义如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么

V

就称为数域F上的线性空间：对

,

,

V

,

,

F，总有(1)

;(2)

;(3)

在V中存在零元素

,

对任何

V

,

都有

;对任何

V

,都存在

的负元素

(

)

;1

;(6)

;(7)

;(8)

V

,使线性空间中的元素也称为向量.线性空间中的向量不一定是有序数组．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条规则的任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算．（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加、乘运算，则只需检验对运算的封闭性．线性空间的判定方法例3.4.1F

n

对向量的加法及数与向量的数量乘法，构成数域F上的线性空间，称为向量空间。例如实向量空间Rn，复向量空间Cn

，零空间{

}。平面空间就是R²

， 空间就是R³

。例3.1.2

设

A∈Fm×n,

则齐次线性方程组

AX

=

0的全部解向量的集合构成

F

上的向量空间，称之为齐次线性方程组

AX

=

0

的解空间，也可称之为矩阵

A

的零空间，记为

N(A). 显然

N(A)

Fn

.

Amn

Bmn

Cmn

,Fmn是一个线性空间.Amn

Dmn

,例3.4.2F

m×n对矩阵的加法及数与矩阵的数量乘法，构成数域F上的线性空间,称为矩阵空间。例如实矩

阵空间Rm×n。例3.4.3

F[x]对多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域F上的线性空间，称为多项式空间。特别地，

F[x]n对多项式的加法及数与多项式的乘法，也构成数域F上的线性空间，也称为多项式空间。通常的多项式加法、数与多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．(an1xn1

a1x

a0

)

(bn1xn1

b1x

b0

)

(an1

bn1)xn1

n

(a1

b1)x

(a0

b0

)

F[x](an1xn1

(an1)xn1

n

a1x

a0

)

(a1)x

(a0

)

F[x]F[x]对运算封闭.n例3.4.4

C[a,b]对函数的加法及实数与函数的乘法，构成实数域R上的线性空间,称为函数空间。例令V

{(a1,,

an

)

Rn

|

a1

an

1}则V

不构成向量空间。Q[

x]n

{an

xn

an

,例

n次多项式的全体

a1x

a0

|,a0

R且an

0}对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间.n0(an

xn

a1x

a0

)

0xn

0x

0

Q[

x]Q[x]n

对运算不封闭.(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加、乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．例3.4.5正实数的全体，记作R

，在其中定义加法及乘数运算为a

b

ab,

a

a

,

R,

a,

b

R

.验证R

对上述加法与乘数运算构成线性空间．证明a,

b

R

,

a

R,

a

R

,

a

a

R

.所以对定义的加法与乘数运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：(1)

a

b

ab

ba

b

a;(2)(a

b)

c

(ab)

c

(ab)c

a

(b

c);(3)

R中存在零元素1a

1

a

1

a;(4)

a

R

,有负元素a1

R

,使a

a1

a

a1

1;(5)

1

a

(6)

a

a

a

a

a;(7)

a

a;(8)

(a

b)

(a

a

b

a

b.所以R

对所定义的运算构成线性空间．零元素是唯一的．负元素是唯一的．0

0;

1

;

0

0.4．如果

0，则

0

或

0.线性空间的性质1．零元素是唯一的证明

假设01

,02

是线性空间V中的两个零元素，则对任何

V

，有

01

,

02

由于

01

,02

V

,所以02

01

02

, 01

02

01

01

01

02

02

01

022．负元素是唯一的证明假设 有两个负元素

与

，那么

0,

0

0

0

则有元素 的负元素记为

。

1

;

0

03．

0

0;证明

0

1

0

1

0

0

0（零元素的唯一性）

1

1

1

1

1

0

0

1

（负元素的唯一性）0

1

0

04．如果

0，则

0

或

0证明若

0,

那么1

1

0

0

。

1

1

，故

0

。

又若

0

,

则有

0

0

。三线性子空间定义3.5.1设V是数域F

上的线性空间，W是V

的一个非空子集。若W

对V

的两种线性运算也构成F

上的线性空间，则称W

是V

的线性子空间，简称子空间。定理3.5.1设V

是数域F

上的线性空间，W是V

的一个非空子集。若W

满足(1)对任意

,

∈W,均有

+

∈W；(2)对任意

∈W

以及任意k

∈F，均有k

∈W，则W

是V

的子空间。如何证明W是V的子空间：(1)W是V的非空子集;(2)W对加法与数乘运算封闭.

311

2

3

1

2

3x

,

x

,

x(1)

W

R

x

x

x

0;(2)

W

2

x1,

x

2,

x

3

R

x

x

x

1.31

2

3解

(1)

构成子空间.

（2）不构成子空间。例3.1.3设V是线性空间，则V一定包含零向量。同时,V本身及{

}都是V的子空间,称它们为V的平凡子空间。V的其它子空间，如果还有的话，均称为非平凡子空间。例3.1.4

R3

的下列子集是否构成R3的子空间？为什么？构成V

的子空间，称为由1,2,…,m

生成的子空间，记为L(1,2,…,m)。定理3.1.1

设

V

是数域

F

上的线性空间,1,2,…,m

是V

中m

个向量，则V

的子集合k11

k22

...

kmm

k1

,k2

,...,km

F证显然V

是非空的。任取数c∈F

以及L(1,2,…,m)中的两个向量

=k11+k22+…+kmm

,

=l11+l22+…+lmm

,有

(k11

k22

kmm

)

(l11

l22

lmm

)=(k1

l1

)1

(k2

l2

)2

(km

lm

)m

L(1

,2

,

,m

)例3.1.5设X1

,X2

,...,Xt

是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则N

(A

)

L(X

1,

X

2,

...,

X

t

)c

c(k11

k22

kmm

)=(ck1

)1

(ck2

)2

(ckm

)m

L(1

,2

,

,m

)故由定理3.5.1,

L(1,

2,

…,

m)

构成线性空间，亦即为V的子空间。例3.1.6设A

F

m

n

，把A按列分块A

1,2

,...,n

则

L(1,2

,...,n

)

是

F

m的列空间，记为R(A)。的子空间，称之为矩阵A结论：线性方程组AX

b

有解

b

R(A)。此外，R(AT

)是由A

的行向量组生成的子空间，也称为矩阵A

的行空间。例3.5.2

设1

,,

s与1

,,t

是线性空间V

的两组向量，则L(1

,2

,,

s

)

L(1

,2

,,t

)的充分必要性是{1

,2

,,

s

}

{1

,

2

,,

t

}.证

充分性

设

{1

,2

,,

s

}

{1

,

2

,,

t

}.任取

L(1

,2

,,

s

),则可由1

,2

,,

s

线性表出。又1

,2

,,

s

可由1

,2

,,t

线性表出，故可由1

,2

,,t

线性表出。所以

L(1

,2

,,t

)由此得L(1

,2

,,s

)

L(1

,

2

,,

t

)同理可证

L(1

,

2

,,

t

)

L(1

,2

,,s

).L(1

,2

,,s

)

L(1

,

2

,,

t

).必要性

设L(1

,2

,,s

)

L(1

,

2

,,

t

)因故1

,2

,,

s

L(1

,2

,,

s

)

L(1

,

2

,,

t

)可由线性表出。同理1

2

,

,1

2

s

,

,,1

2

t

,

,,

,

t

也可由

1

,2

,,

s

线性表出。所以{1

,2

,,

s

}

{1

,

2

,,

t

}.于是定理3.5.2设W1

,W2是线性空间V的两个子空间，则W1

W2也是V

的子空间。称之为W1与W2的交空间。证明因W1

,W2是V

子空间，故V

的零向量同时属于W1

,W2

，即

W1

W2

。所以W1

W2

是V

的非空子集。任取

,

W1

W2

，则

,

W1。因W1

是子空间，故 。同理，故。

W

W1

2

1

2

W

W任取

W1

W2

,k

F

,

则由

W1

可得k

W1

.同理可证k

W2

。所以k

W1

W2。根据子空间的判别定理，可知W1

W2

是子空间。定理3.5.3

设

W1

,W2

是线性空间V的两个子空间，则下列集合也是V

的子空间,称之为W与W

的和空间,记为W

W

.1

2

1

2{1

2

|1

W1

,2

W2

}因

，故

W1

W2

.证

说明W1

W2

是V的非空子集。里1,1

W1,2

,2

W2。因1

1

W1,2

2

W2

,故

1

2

1

2

1

1

2

2

W1

W2任取

,

W1

W2,则

1

2

,

1

2

,这任取

W1

W2

,k

F,则

1

2

,k

k(1

2

)

k1

k2

W1

W2

.于是

W1

W2

是子空间。其中

1

W1

,

2

W2

。又k1

W1

,

k2

W2

,故2注

一般W1

W

不再是子空间。为了便于利用第二章关于向量组线性相关性的概念与结论，以后把线性空间的元素也称为向量。已知在Rn中，线性无关的向量组最多由n

个向量组成，而任意n+1个向量都是线性相关的。并且Rn中任一个向量均可由（线性无关的）基本向量组{1,2

,…,n}线性表出,而表出的系数就是该向量的分量。四 线性空间的基、维数与坐标问题性空间V

中，最多能有多少线性无关的向量？---维数线性空间的向量可否由其中的一组线性无关的向量线性表示?

---

基向量由基表示的系数----坐标注意第二章第1,2节的概念与结论均可推广到线性空间中。定义3.4.2如果能从线性空间V

中找到有限个向量1,2

,,m，使V

中任一向量均可由1,2

,,m线性表出，则称V是有限维线性空间。否则，就称V是无限维线性空间。结论线性空间V

是有限维的充要条件是V

中线性无关向量的最大个数是有限的。例3.4.6向量空间F

n，矩阵空间Fmn，多项式空间F[x]n都是有限维的,而F[x]与函数空间C[a,b]都是无限维的。1.基、维数证明

令则有。对任意

a11

a22

ann所以F

n

是有限维的。令Iij

(i

=1,2,

…,m;j

=1,2,…,n)表示(i,j)-元为1、其余元素均为零的m×n矩阵，则这些矩阵均1

1,0,,0,2

0,1,,0,,n

0,,0,1nn1,

2

,,

Fnn1

2a

,a

,,a

F

在

Fm×n中。对任意

A=[aij]m×n有A

aij

Iiji

,

j，故Fm×n是有限维的。令f1

1,

f2

x,

f3

x2

,,

fn

xn1则对任意f

x

a0

a1

x

a2

x2

an1

xn1

Fx

n均有f

x

a0

f1

a1

f2

an1

fn所以Fx

n

是有限维的。对任一正整数N，考虑F[x]中的N个多项式1,x,x2

,,x

N

1

，显然对于任意N个不全为零的数a0

,a1,a2

,,aN

1

，多项式a0

a1

x

a2

x2

aN

1

x

N

1不是零多项式，即

a0

a1

x

aN

1

x

N

1

0

，所以1,x,x2

,,x

N

1

线性无关。于是F[x]是无限维的。同理可证，Ca,b

也是无限维的。定义3.4.3

设V

是数域

F

上的线性空间，如果V

中存在

m

个向量

1

,2

,,m

,

满足：(1)(2)

V

中任一向量

均可由1

,2

,,m线性表出，即存在m

个数a1,a2

,,am

F，使

a11

a22

amm则称1

,2

,,m

是线性空间V

的一个基。结论有限维线性空间一定存在基，并且每个基包含的向量个数相同。1

,2

,,m

线性无关；定义3.4.4有限维线性空间V的任一个基所包含的向量个数称为V

的维数，记为维(V

)或

dim(V

)。维数为n的线性空间称为n

维线性空间,记作Vn.若1

,2

,,n为Vn的一个基,则Vn可表示为x1

,

x2

,

x22

xnnVn

x11

,

xn

F

例3.2.1

设F

是数域，在向量空间F

n

中考虑n元基本向量组1

(1,0,,0),2

(0,1,0,,0),,n

(0,0,,1)因

(a1,a2

,,an

)

Fn，均有

a11

a22

ann且

1,2

,,n

线性无关，故1,2

,,n是向量空间F

n

的一组基（称之为

F

n

的自然基），同时维(

F

n)

=

n。

0

1

0

0

1

00

0

0

1,0

0

0

0

1

022I

2112I11I,

I,

,

k3

k4

k

k2

k4

I

22k3

I

21k2

I12k1

I111有例所有二阶实矩阵组成的集合V

，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域R上的一个线性空间。对于V

中的矩阵

,000

O

0k2

I12

k3

I

21

k4

I

22k1

I11因此12

V

,a22

11

a21a

aA

k1

k

2

k

3

k

3

0,即I11,I12

,I

21,I

22线性无关.对于任意二阶实矩阵因此I11,I12,I21,I22为V的一组基.A

a11

I11

a12

I12

a21

I

21

a22

I

22有例3.4.7F

n的维数是n,Fn[x]的维数是n.F

n

有基

,

,,1

2

nF

mn

有基F

mn的维数是m

n,F[x]n有基1,x,x2

,,xn1

,自然基例3.2.2

（齐次线性方程组解空间的基和维数）设

A

F

m

n

，秩(

A)

r

(1

r

n)

，则N

(A)是F

n

的子空间。任取齐次线性方程组AX

0的一个基础解系

X1,

X2

,...,

Xnr

，容易看出它们就是N

(A)的一个此维[N

(A)]=n

r。例求齐次线性方程组xxx0xxx0

xxxx0

x5xx

043的解空间的一个基和维数。解已知该方程组有基础解系X1

（

2，1，0，0，0）,2因此，其解空间维数是2。的一个基为，且其N

(

A)21X

,

X例3.2.3

（向量组生成的向量空间的基和维数）（1）向量组1,2

,,m

的极大无关组都是生成子空间

L(1,2

,...,m

)

的基；（2）维[L(1,2

,,m

)]=秩{1,2

,,m

}定理3.2.1

设A

F

mn

，则维(N

(A))+维(R(AT

))=n注

未知数的个数＋秩(A)＝未知数的个数定理3.4.1

n维线性空间

V

中任意

n个线性无关的向量均构成

V的基。例3.2.6

已知R4

中的三个向量1

(1,2,求L(1,2

,3

)的一个基及维数，并将这个基扩充为R4

的一个基。解令A

[1

,由此得向量组1,2

,3的秩为2，且1,2

是一个极大无关组。于是，生成子空间L(1,2

,3

)的维数是2，且1,2

是它的一个基。构造向量4

(0,

0,1,

0),

5

(0,

0,

0,1)，由于1

2

4

5

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

2

1

0

0

0

1

1

10

0

1

0

[

,

,

,

]

00

00

01

12

行逆向

1

,2

,4

,5

线性无关，即可作为R4

的一个基。因此，只需取4

(0,0,1,0),5

(0,0,0,2)，则2.向量关于给定基的坐标定义3.2.2

(3.4.5)设1,