33多元随机变量函数nnnn课件

§33随机向量的函数的分布与数学期望一、离散型随机向量的函数的分布二、连续型随机向量的函数的分布

三、随机向量的函数的数学期望

四、数学期望的进一步性质

§33随机向量的函数的分布与数学期望一、离散型随机向今日要点1.二元离散型随机变量的计算3.二元连续型随机变量的计算4.二元最大最小值的计算2.二元离散型随机变量的导出5.二元随机变量的期望性质与计算EXYE(X+Y)今日要点1.二元离散型随机变量的计算3.二元连续型随机变量的33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件本节内容简介：Z=g(X,Y)分布函数密度函数求解复习部分：1.连续二元分布的联合边缘条件概率独立性等正态分布举例2.离散型Z=g(X),Z=g(X,Y)的分布求解方法eg3.13Z=g(X)的分布求解方法？2.5节方法P(Y≤y)新授1.Z=g(X,Y)分布的公式推理；公式体系；雅科比法;2.实践应用1)无界区间公式法2)有界区间传统分布函数法3)Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)求解及应用3.期望的性质及其应用举例，最优进货量模型本节内容简介：Z=g(X,Y)分布函数密度函数求解复习部分：一、离散型随机向量的函数的分布

设(X

Y)是二维离散型随机向量

g(x

y)是一个二元函数则g(X

Y)作为(X

Y)的函数是一个随机变量

如果(X

Y)的概率分布为

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

记zk(k12

)为Zg(X

Y)的所有可能取值则Z概率分布为P{Zzk}P{g(X

Y)zk}一、离散型随机向量的函数的分布设(XY)Page90例312(1)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

1

0

1

2

3

4

的概率分布为

解

P{1}P{XY1}P{X0

Y1}01

P{0}P{XY0}P{X0

Y0}P{X1

Y1}05

P{1}P{XY1}02

P{X1

Y0}P{X2

Y1}P{2}P{XY2}P{X0

Y2}P{X2

Y0}0

P{3}P{XY3}P{X1

Y2}01

P{4}P{XY4}P{X2

Y2}01

Page90例312(1)已知(XY)的概率分布

例312(2)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

2

1

0

4

的概率分布为

解

P{2}P{X2

Y1}015

P{1}P{X1

Y1}03

P{0}P{X0

Y1}P{X0

Y0}P{X0

Y2}P{X1

Y0}P{X2

Y0}035

P{2}P{X1

Y2}01

P{4}P{X2

Y2}01

例312(2)已知(XY)的概率分

P{k}P{XYk}

例313设X

Y是两个相互独立的随机变量分别服从参数为1和2的泊松分布求XY的分布

解

可见XY服从参数为12的泊松分布进货/原料/产品……实际应用1:苏宁/国美电器大卖场，根据每天/周的销售状况估计一个月的销售X1,X2…～P(λ1),P(λ2)…→∑Xi～P(∑λi)实际应用2:某类型产品的分布，eg电视21寸，25，29，33…P{k}P{XYk}离散型分布的公式法求解步骤+离散卷积公式1小结：联合分布P(X=xi,Y=yj)=Pij,Z=g(X,Y)→Z的分布:P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yj)=zkP{X=xi,Y=yj}P(Z=zk)=∑g(xi,yj)=ZkPij例1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,其中i,j=0,1,…,若X,Y相互独立，则Z=X+Y的分布为:P(Z=k)=P(X+Y=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k-i)=∑i=0kP(X=i)P(Y=k-i)=a0bk+a1bk-1+…+akb0→P(Z=X+Y=k)=a0bk+a1bk-1+…+akb0例2:X～b(n,P),Y～b(m,P)→X+Y～b(n+m,P)理解:二项分布n次试验+m次试验=n+m次试验2小结:二项分布+二项分布=二项分布泊松分布+泊松分布=泊松分布正态分布+正态分布=正态分布离散型分布的公式法求解步骤+离散卷积公式1小结：联合分布P二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)fz(3)=P(X+Y=3)zZfz(1)=P(X+Y=1)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123fz(2)=P(X+Y=2)fz(z)=P(X+Y=z)fZ(z)=P(Z=z)

=P(X+Y=z)FZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZ二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=33多元随机变量函数nnnn课件二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123X+Y=z二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=二、连续型随机向量的函数的分布

０、Zg(X

Y)的分布:设(X

Y)是二维连续型随机向量

其概率密度函数为f(x

y)令g(x

y)为一个二元函数则Zg(X

Y)的分布函数为FZ(z)∫−∞zfZ(z)dz

P{Zz}P{g(X

Y)z}P{(X

Y)Dz}其中Dz{(x

y)|g(x

y)

z}

继而其密度函数fZ(z)对几乎所有的z有Z(z)

(337)

fZ(z)F

GZ(z)

二、连续型随机向量的函数的分布０、Zg(XY)１、X+Y分布：例314(随机变量的和)设(X

Y)的联合密度函数为f(x

y)求XY的密度函数

对任意z令Dz{(x

y)|xyz}则

解1

FZ(z)P{Zz}P{XYz}解2

FZ(z)P{Zz}P{XYz}=∫−∞∞dy∫−∞z-yf(x,y)dx=G(z)

→fZ(z)=d[∫−∞∞∫−∞z-yf(x,y)dxdy]dz=∫−∞∞f(z-y,y)dy１、X+Y分布：例314(随机变量的和)设(X

例314(随机变量的和)设(X

Y)的联合密度函数为f(x

y)求XY的密度函数

对任意z令Dz{(x

y)|xyz}则

解

FZ(z)P{Zz}P{XYz}于是有易见交换积分次序我们亦可得到特别地如果X与Y是相互独立的随机变量则例314(随机变量的和)设(XY)

证明:可以只证明标准正态分布即可，其余同理可得证明:可以只证明标准正态分布即可，其余同理可

证明证明独立正态随机变量之和的分布则其任意非零线性组合仍服从正态分布且其中a

b不全为0

这一结论还可以推广到n个随机变量的情形

不变:泊松分布,正态分布,x2(1)分布;↔应用到进货生产领域变:指数分布,均匀分布练习：设某商品每周需求量X～f(x)=xe-x,x>0,如果各周需求量相互独立，求2周需求量的概率密度函数。设Z=X+Y分析：fX(x)=xe-x,x>0;fY(y)=ye-y,y>0

→z≤0,fZ(z)=0

0,x≤00,y≤0→z>0,fZ(z)=z3•e-z/6fZ(z)=∫−∞∞f(z-y,y)dy=∫−∞∞f(x,z-x)dx=∫−∞zf(x,z-x)dx=∫−∞zfX(x)fY(z-x)dx=∫−∞zxe-x

(z-x)e-(z-x)dx=z3•e-z/6独立正态随机变量之和的分布则其任意非零线性组合仍服从正态分

例316设二维随机向量(X

Y)的密度函数为f(x

y)求ZX/Y的密度函数

解于是Z的密度函数为２、Ｚ=X/Y随机变量的商的分布例316设二维随机向量(XY)的密

３、Ｚ＝XY的分布：例318

设二维随机向量(X

Y)在矩形G{(x

y)|0x20y1}上服从均匀分布试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s)

解

令F(s)为S的分布函数则当s0时

F(s)P{Ss}0

于是当0s2时有当s2时

F(s)P{Ss}1

３、Ｚ＝XY的分布：解

例317(1)设X

Y的分布函数分别为F(x)

G(x)密度函数分别为f(x)

g(x)且X与Y相互独立求Mmax{X

Y}的分布函数与密度函数

FM(z)P{Mz}

解P{Xz

Yz}P{Xz}P{Yz}F(z)G(z)(346)于是M的密度函数为f(z)G(z)F(z)g(z)(347)fM(z)F

M(z)F

(z)G(z)F(z)G(z)4、随机变量最大值与最小值的分布:Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

M的分布函数为例317(1)设XY的分布函数分别

N的分布函数为FN(z)P{Nz}P({Xz}∪{Yz})1P{Xz

Yz}1P{Xz}P{Yz}1[1F(z)][1G(z)](348)于是N的密度函数为4、随机变量最大值与最小值的分布Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

例317(2)设X

Y的分布函数分别为F(x)

G(x)密度函数分别为f(x)

g(x)且X与Y相互独立求Nmin{X

Y}的分布函数与密度函数

解f(z)[1G(z)]g(z)[1F(z)](349)fN(z)F

N(z)N的分布函数为FN(z)P{Nz}P({Xz}实践举例109吴赣昌人大理工版案例：设某电子设备系统征集设计方案，系统L是由两个独立子系统L1,L2连接而成，连接方式分别为串联、并联、备用(开关控制L1损坏则运行L2)，a,b>0且a≠b,求寿命Z?X～fX(x)=ae-ax,x>0;X～fY(y)=be-by,y>0;0x≤0;0y≤0;分析:Z1=min(X,Y);Z2=max(X,Y);Z3=X+YFmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-e-(a+b)z,z>0→fmin(z)=(a+b)e-(a+b)z,z>0Fmax(z)=FX(z)FY(z)=[1-e-az][1-e-bz],z>0→fmax(z)=ae-az•be-bz-(a+b)e-(a+b)z,z>0fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z-y)fY(y)

dy=∫0zae-a(z-y)•be-bydy=ab[e-az-e-bz]/(b-a),z>0实践举例109吴赣昌人大理工版案例：设某电子补充附录1-雅克比行列式确定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy||J||的求解方法1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W)Z=g(X,Y)→X=WorZ=g(X,Y)→Y=WW=X→Y=g-1(w,z)W=Y→X=g-1(w,z)②积分变换:∫∫f(x,y)dXdY=∫∫f(z,w)||J||dzdw||J||=|Xw’Xz’|=Yz’同理||J||=Xz’

|Yw’Yz’|补充附录1-雅克比行列式确定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g补充附录1-雅克比行列式确定-举例

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy应用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②积分变换:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy补充附录1-雅克比行列式确定-举例

fZ(z)=∫-∞∞f(补充附录2-什么时候用什么方法

当被积区间有限-

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy应用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②积分变换:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy补充附录2-什么时候用什么方法

当被积区间有限-fZ(z)一、离散型分布：1，联合概率分布/边缘分布表随机向量(XY)概率分布P{XxiYyj}pijij12

可用表格形式表示(如下表)并称之为联合概率分布表一、离散型分布：1，联合概率分布/边缘分布表三、随机向量的函数的数学期望

设随机向量(X

Y)的函数Zg(X

Y)的数学期望存在

(1)设(X

Y)是二维离散型随机向量其概率分布为

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

(2)设(X

Y)是二维连续型随机向量

其密度函数为f(x

y)

三、随机向量的函数的数学期望设随机向量(X

例320已知随机向量(X

Y)的概率分布求EXY

EXY

解

0

22012002(1)0151201100051(1)0302000020(1)01例320已知随机向量(XY)的概率

例319设(X

Y)的密度函数为求EXY

解例319设(XY)的密度函数为求

例321一商店经销某种商品每周进货量X与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量且都服从区间[1020]上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润1000元若需求量超过进货量商店可从其他商店调剂供应这时每单位商品获利润为500元试计算此商品经销商经销该种商品每周所获平均利润

设Z表示商店每周所获利润由题设有

解由于(X

Y)的密度函数为例321一商店经销某种商品每周进货设Z表示商店每周所获利润由题设有

解由于(X

Y)的密度函数为所以有1416667(元)

设Z表示商店每周所获利润由题设有解(×已经讲过)一元离散型随机变量函数的数学期望应用举例

先求概率分布，再求期望（平均数）案例1：已知某电子集团产品，X=维修次数X=0123P(X=k)0.90.070.020.01盈利10005000-5000问题1平均维修次数？2每台产品平均利润案例2：某部机器一天内发生故障的概率0.2,机器发生故障时全天停止工作。若一周五天上班期间无故障，可获利10万；发生一次故障获利5万，发生二次获利为0，三次以上亏损2万，求平均利润？分析：先求故障概率分布！练习：保险公司，10000人投保，每人50元，死亡率为P，每死亡一人赔付10万元，求平均收益？(×已经讲过)一元离散型随机变量函数的数学期望应用举例

-实际案例--电冰箱的利润：小天鹅/海尔规定，出售的电冰箱若在一年内损坏，则可以调换。若工厂出售的电冰箱每台盈利300元，调换一台则厂方需要花费700元，问1:平均寿命?2:厂方出售的电冰箱平均每台盈利多少？该集团生产的电冰箱的寿命X（年）服从指数分布，密度函数为：(×已经讲过)混合题型之3—期望的综合应用理论分析先计算一台电冰箱在一年内损坏/无损的概率为

故厂方出售的电冰箱平均每台盈利(即盈利的数学期望)为：300×0.9048-400×0.0952=233.36元实际案例--电冰箱的利润：小天鹅/海尔规定，出售的电冰箱若在一元连续型分布+期望的综合应用

均匀分布案例：约会问题/候车问题/进货量问题例:某集团的某种商品/原材料月需求量X～U[10,30],即进货量为[10,30]的某一整数，商店每销售一件商品可获利500元。若供大于求则降价，每处理一件亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，每件获利300元。问题1，为达到最大利润，需要进多少货？2，为使得平均获利≥9280，求最小进货量设a为进货量，则利润为：一元连续型分布+期望的综合应用均匀分布案例：约会问题/候车连续型分布+期望的综合应用案例1：最佳进货量问题某大型商场统计发现顾客对某种商品日需求量X～N(μ,σ2),且知道日平均需求量μ=40，根据销售记录，销售30-50件之间的概率为0.5。如进货不足，每件损失利润70元，如进货过量每件损失100元，求最优进货量。(1)设进货量为Q,需求量为X,损失函数L(X,Q)L(X,Q)=70(X-Q),X≥Q；100(Q-X),X<QX～N(40,σ2),P(30<X<50)=0.5→P(-10/σ<X-40/σ<10/σ)=2ф(10/σ)-1=0.5→10/σ=0.68→σ=14.7→X～N(40,14.7)(2)L(Q)=EL(X,Q)=∫Q∞70(x-Q)φ(x)dx+∫-∞Q100(Q-x)φ(x)dxL’(Q)=100-170∫Q∞φ(x)dx=0→1-ф(Q)=10/17→Q=40-0.22σ≈37改均匀分布?案例2：98-4某种商品每周需求量X与X～U[10,30],而商店进货数量为[10，30]之间任意整数，商店每售出一件商品获利500，如供给>需求,消价处理，每处理1单位损失100元，如需求>供给，商店从其他商店调货供应，这时每单位利润300，求该商店每周利润的期望值？为使得商店期望利润>9280，确定最小进货量。同理可改天河电脑城/苏宁/国美电器笔记本销售商等向市民出售笔记本.98-3某商店经营某种商品，每周进货量X与顾客对该商品需求量Y相互独立，且X,Y～U[10,20],商店每售出一件商品获利1000，如需求>供给，商店从其他商店调货供应，这时每单位利润500，求该商店每周利润的期望值？同理可改电信设备供应商—华为中兴西门子贝尔等向英国出售电信程控网络，进货量X需求量Y，利润1000万/件，如供货不足须从法兰西调剂，盈利500万/件，求利润的期望需要联合分布，第三章连续型分布+期望的综合应用案例1：最佳进货量问题四、数学期望的进一步性质

性质1对任意两个随机变量X

Y

如果其数学期望均存在

则E(XY)存在且

E(XY)EXEY

(353)

性质2设X

Y为任意两个相互独立的随机变量数学期望均存在则EXY存在且

EXYEXEY(354)上述两个性质可以推广到n个变量情形

四、数学期望的进一步性质性质1对任意两§33随机向量的函数的分布与数学期望一、离散型随机向量的函数的分布二、连续型随机向量的函数的分布

三、随机向量的函数的数学期望

四、数学期望的进一步性质

§33随机向量的函数的分布与数学期望一、离散型随机向今日要点1.二元离散型随机变量的计算3.二元连续型随机变量的计算4.二元最大最小值的计算2.二元离散型随机变量的导出5.二元随机变量的期望性质与计算EXYE(X+Y)今日要点1.二元离散型随机变量的计算3.二元连续型随机变量的33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件33多元随机变量函数nnnn课件本节内容简介：Z=g(X,Y)分布函数密度函数求解复习部分：1.连续二元分布的联合边缘条件概率独立性等正态分布举例2.离散型Z=g(X),Z=g(X,Y)的分布求解方法eg3.13Z=g(X)的分布求解方法？2.5节方法P(Y≤y)新授1.Z=g(X,Y)分布的公式推理；公式体系；雅科比法;2.实践应用1)无界区间公式法2)有界区间传统分布函数法3)Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)求解及应用3.期望的性质及其应用举例，最优进货量模型本节内容简介：Z=g(X,Y)分布函数密度函数求解复习部分：一、离散型随机向量的函数的分布

设(X

Y)是二维离散型随机向量

g(x

y)是一个二元函数则g(X

Y)作为(X

Y)的函数是一个随机变量

如果(X

Y)的概率分布为

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

记zk(k12

)为Zg(X

Y)的所有可能取值则Z概率分布为P{Zzk}P{g(X

Y)zk}一、离散型随机向量的函数的分布设(XY)Page90例312(1)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

1

0

1

2

3

4

的概率分布为

解

P{1}P{XY1}P{X0

Y1}01

P{0}P{XY0}P{X0

Y0}P{X1

Y1}05

P{1}P{XY1}02

P{X1

Y0}P{X2

Y1}P{2}P{XY2}P{X0

Y2}P{X2

Y0}0

P{3}P{XY3}P{X1

Y2}01

P{4}P{XY4}P{X2

Y2}01

Page90例312(1)已知(XY)的概率分布

例312(2)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

2

1

0

4

的概率分布为

解

P{2}P{X2

Y1}015

P{1}P{X1

Y1}03

P{0}P{X0

Y1}P{X0

Y0}P{X0

Y2}P{X1

Y0}P{X2

Y0}035

P{2}P{X1

Y2}01

P{4}P{X2

Y2}01

例312(2)已知(XY)的概率分

P{k}P{XYk}

例313设X

Y是两个相互独立的随机变量分别服从参数为1和2的泊松分布求XY的分布

解

可见XY服从参数为12的泊松分布进货/原料/产品……实际应用1:苏宁/国美电器大卖场，根据每天/周的销售状况估计一个月的销售X1,X2…～P(λ1),P(λ2)…→∑Xi～P(∑λi)实际应用2:某类型产品的分布，eg电视21寸，25，29，33…P{k}P{XYk}离散型分布的公式法求解步骤+离散卷积公式1小结：联合分布P(X=xi,Y=yj)=Pij,Z=g(X,Y)→Z的分布:P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yj)=zkP{X=xi,Y=yj}P(Z=zk)=∑g(xi,yj)=ZkPij例1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,其中i,j=0,1,…,若X,Y相互独立，则Z=X+Y的分布为:P(Z=k)=P(X+Y=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k-i)=∑i=0kP(X=i)P(Y=k-i)=a0bk+a1bk-1+…+akb0→P(Z=X+Y=k)=a0bk+a1bk-1+…+akb0例2:X～b(n,P),Y～b(m,P)→X+Y～b(n+m,P)理解:二项分布n次试验+m次试验=n+m次试验2小结:二项分布+二项分布=二项分布泊松分布+泊松分布=泊松分布正态分布+正态分布=正态分布离散型分布的公式法求解步骤+离散卷积公式1小结：联合分布P二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)fz(3)=P(X+Y=3)zZfz(1)=P(X+Y=1)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123fz(2)=P(X+Y=2)fz(z)=P(X+Y=z)fZ(z)=P(Z=z)

=P(X+Y=z)FZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZ二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=33多元随机变量函数nnnn课件二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123X+Y=z二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)二连续型Z=g(X,Y)的分布规律FZ(z)=P(Z≤z)=二、连续型随机向量的函数的分布

０、Zg(X

Y)的分布:设(X

Y)是二维连续型随机向量

其概率密度函数为f(x

y)令g(x

y)为一个二元函数则Zg(X

Y)的分布函数为FZ(z)∫−∞zfZ(z)dz

P{Zz}P{g(X

Y)z}P{(X

Y)Dz}其中Dz{(x

y)|g(x

y)

z}

继而其密度函数fZ(z)对几乎所有的z有Z(z)

(337)

fZ(z)F

GZ(z)

二、连续型随机向量的函数的分布０、Zg(XY)１、X+Y分布：例314(随机变量的和)设(X

Y)的联合密度函数为f(x

y)求XY的密度函数

对任意z令Dz{(x

y)|xyz}则

解1

FZ(z)P{Zz}P{XYz}解2

FZ(z)P{Zz}P{XYz}=∫−∞∞dy∫−∞z-yf(x,y)dx=G(z)

→fZ(z)=d[∫−∞∞∫−∞z-yf(x,y)dxdy]dz=∫−∞∞f(z-y,y)dy１、X+Y分布：例314(随机变量的和)设(X

例314(随机变量的和)设(X

Y)的联合密度函数为f(x

y)求XY的密度函数

对任意z令Dz{(x

y)|xyz}则

解

FZ(z)P{Zz}P{XYz}于是有易见交换积分次序我们亦可得到特别地如果X与Y是相互独立的随机变量则例314(随机变量的和)设(XY)

证明:可以只证明标准正态分布即可，其余同理可得证明:可以只证明标准正态分布即可，其余同理可

证明证明独立正态随机变量之和的分布则其任意非零线性组合仍服从正态分布且其中a

b不全为0

这一结论还可以推广到n个随机变量的情形

不变:泊松分布,正态分布,x2(1)分布;↔应用到进货生产领域变:指数分布,均匀分布练习：设某商品每周需求量X～f(x)=xe-x,x>0,如果各周需求量相互独立，求2周需求量的概率密度函数。设Z=X+Y分析：fX(x)=xe-x,x>0;fY(y)=ye-y,y>0

→z≤0,fZ(z)=0

0,x≤00,y≤0→z>0,fZ(z)=z3•e-z/6fZ(z)=∫−∞∞f(z-y,y)dy=∫−∞∞f(x,z-x)dx=∫−∞zf(x,z-x)dx=∫−∞zfX(x)fY(z-x)dx=∫−∞zxe-x

(z-x)e-(z-x)dx=z3•e-z/6独立正态随机变量之和的分布则其任意非零线性组合仍服从正态分

例316设二维随机向量(X

Y)的密度函数为f(x

y)求ZX/Y的密度函数

解于是Z的密度函数为２、Ｚ=X/Y随机变量的商的分布例316设二维随机向量(XY)的密

３、Ｚ＝XY的分布：例318

设二维随机向量(X

Y)在矩形G{(x

y)|0x20y1}上服从均匀分布试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s)

解

令F(s)为S的分布函数则当s0时

F(s)P{Ss}0

于是当0s2时有当s2时

F(s)P{Ss}1

３、Ｚ＝XY的分布：解

例317(1)设X

Y的分布函数分别为F(x)

G(x)密度函数分别为f(x)

g(x)且X与Y相互独立求Mmax{X

Y}的分布函数与密度函数

FM(z)P{Mz}

解P{Xz

Yz}P{Xz}P{Yz}F(z)G(z)(346)于是M的密度函数为f(z)G(z)F(z)g(z)(347)fM(z)F

M(z)F

(z)G(z)F(z)G(z)4、随机变量最大值与最小值的分布:Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

M的分布函数为例317(1)设XY的分布函数分别

N的分布函数为FN(z)P{Nz}P({Xz}∪{Yz})1P{Xz

Yz}1P{Xz}P{Yz}1[1F(z)][1G(z)](348)于是N的密度函数为4、随机变量最大值与最小值的分布Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

例317(2)设X

Y的分布函数分别为F(x)

G(x)密度函数分别为f(x)

g(x)且X与Y相互独立求Nmin{X

Y}的分布函数与密度函数

解f(z)[1G(z)]g(z)[1F(z)](349)fN(z)F

N(z)N的分布函数为FN(z)P{Nz}P({Xz}实践举例109吴赣昌人大理工版案例：设某电子设备系统征集设计方案，系统L是由两个独立子系统L1,L2连接而成，连接方式分别为串联、并联、备用(开关控制L1损坏则运行L2)，a,b>0且a≠b,求寿命Z?X～fX(x)=ae-ax,x>0;X～fY(y)=be-by,y>0;0x≤0;0y≤0;分析:Z1=min(X,Y);Z2=max(X,Y);Z3=X+YFmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-e-(a+b)z,z>0→fmin(z)=(a+b)e-(a+b)z,z>0Fmax(z)=FX(z)FY(z)=[1-e-az][1-e-bz],z>0→fmax(z)=ae-az•be-bz-(a+b)e-(a+b)z,z>0fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z-y)fY(y)

dy=∫0zae-a(z-y)•be-bydy=ab[e-az-e-bz]/(b-a),z>0实践举例109吴赣昌人大理工版案例：设某电子补充附录1-雅克比行列式确定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy||J||的求解方法1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W)Z=g(X,Y)→X=WorZ=g(X,Y)→Y=WW=X→Y=g-1(w,z)W=Y→X=g-1(w,z)②积分变换:∫∫f(x,y)dXdY=∫∫f(z,w)||J||dzdw||J||=|Xw’Xz’|=Yz’同理||J||=Xz’

|Yw’Yz’|补充附录1-雅克比行列式确定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g补充附录1-雅克比行列式确定-举例

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy应用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②积分变换:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy补充附录1-雅克比行列式确定-举例

fZ(z)=∫-∞∞f(补充附录2-什么时候用什么方法

当被积区间有限-

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy应用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步骤：①列坐标变化组合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②积分变换:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy补充附录2-什么时候用什么方法

当被积区间有限-fZ(z)一、离散型分布：1，联合概率分布/边缘分布表随机向量(XY)概率分布P{XxiYyj}pijij12

可用表格形式表示(如下表)并称之为联合概率分布表一、离散型分布：1，联合概率分布/边缘分布表三、随机向量的函数的数学期望

设随机向量(X

Y)的函数Zg(X

Y)的数学期望存在

(1)设(X

Y)是二维离散型随机向量其概率分布为

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

(2)设(X

Y)是二维连续型随机向量

其密度函数为f(x

y)

三、随机向量的函数的数学期望设随机向量(X

例320已知随机向量(X

Y)的概率分布求EXY

EXY

解

0

22012002(1)0151201100051(1)0302000020(1)01例320已知随机向量(XY)的概率

例319设(X

Y)的密度函数为求EXY

解例319设(XY)的密度函数为求

例321一商店经销某种商品每周进货量X与