《广义变分原理》第0章课件

GeneralizedVariationalPrinciplesinElasticityandPlasticityGeneralizedVariationalPrinci第三节主要参考文献第一节主要内容第四节变分问题简例第二节本课程的目的第五节变分法的预备知识第三节主要参考文献第一节主要内容第四节变分问题1、弹塑性力学中系列问题的变分描述

§0-1主要内容

第0章前言主要内容a、小位移弹塑性静力问题b、有限位移问题c、稳定问题d、动力问题以及场问题1、弹塑性力学中系列问题的变分描述§0-1主要内容第0第一节主要内容主要内容从自然变分原理到广义变分原理及各种修正变分原理。2、主要变分原理的推证3、数值计算模型和计算方法的建立第一节主要内容主要内容从自然变分原理到广义变分原1、固体力学的任务

§0-2本课程的目的

第0章前言目的给出考察体的变形和应力，分析该结构的强度、刚度和稳定性，确定结构的安全、经济和实用。

量化描述结构的变形和应力状态：（1）解析求解方法；（2）物理模型试验；（3）数值模型分析。1、固体力学的任务§0-2本课程的目的第0章前言目第二节本课程的目的研究方法（1）传统方法；（2）现代数值方法。例岩石力学研究方法：第二节本课程的目的研究方法（1）传统方法；例岩石力传统方法：第二节本课程的目的传统方法（a）岩体试验由于岩体的不连续和非均匀引起试样明显的尺寸效应；实际岩体的强度和刚度较室内试验值小得多；对各向异性岩体，其规律性尚不清楚。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（a）岩体试验传统方法：第二节本课程的目的传统方法（b）物理模型试验物理模型的力学参数与原型结构的力学参数之间的相似关系不清楚；各物理量比尺难以相容和统一；模型试验成本高。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（b）物理模型试验传统方法：第二节本课程的目的传统方法（c）岩体现场试验受地形、地质、施工条件的限制，试验分析结果不具代表性，很难推广到其它工程；耗费巨大、也影响工期。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（c）岩体现场试验传统方法：第二节本课程的目的传统方法（d）工程经验类比基于大量实例工程，估计岩体对岩层条件、支护型式等的影响，但对地下工程围岩的变形和稳定性机理一般无法确定。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（d）工程经验类比现代数值方法：第二节本课程的目的现代数值方法（1）灵活性；（2）利用个别基本物理模型试验效准数值模型的本构关系、破坏准则与物理参数，用计算机的数值模型试验代替或补充物理模型试验；（3）基于现场原型或试验手段的实测与反演分析，效准复杂岩体的等效力学模型。现代数值方法：第二节本课程的目的现代数值方法（1）2、传统弹塑性力学教科书存在的问题第二节本课程的目的存在问题偏重于微分描述和偏微分方程组求解的研究。现代工程数值方法的弹塑性力学理论基础，主要为弹塑性力学中的广义变分原理。2、传统弹塑性力学教科书存在的问题第二节本课程的目的存在3、现代数值方法与变分原理第二节本课程的目的数值方法与变分原理（1）现代数值方法有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）有限单元法（FiniteElementMethod,FEM）边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）离散元法（DiscreteElementMethod,DEM）无单元法（ElementFreeMethod,EFM）不连续变形分析（DiscontinuousDeformationAnalysis,DDA）流形元法（NumericalManifoldMethod,NMM）3、现代数值方法与变分原理第二节本课程的目的数值方法与变第二节本课程的目的数值方法与变分原理

现代数值方法的突出代表为有限单元法，而有限单元发的诞生、发展和强大有赖于变分原理的发展。（2）现代数值方法与变分原理变分原理的可靠性、开拓性为有限元的建立和持续发展提供了理论基础和拓宽了应用空间。

有限元法中丰富的单元类型及计算方法的发展必须系统地了解广义变分原理的理论知识。第二节本课程的目的数值方法与变分原理现代数值方法§0-3主要参考文献

第0章前言参考文献1、卓家寿，《弹塑性力学中的广义变分原理》，中国水利水电出版社，1989年第一版，2002年第二版。2、钱伟长，《变分法及有限元法》（上册），科学出版社，1980年。3、胡海昌，《弹性力学中的变分原理及其应用》，科学出版社，1981年。4、熊祝华、刘子庭，《弹性力学变分原理》，湖南大学出版社，1984年。5、钱伟长，《广义变分原理》，知识出版社，1985年。§0-3主要参考文献第0章前言参考文献1、卓家寿，《§0-4变分问题简例

第0章前言简例问题1、过两点连线长度最短问题。

连接P0，P1两点曲线有无数条，对应弧长L为无数个，求出使弧长L是最短的哪一条。

问题归结为求容许函数中使为极值的特定函数。§0-4变分问题简例第0章前言简例问题1、过两点连线第四节简例变分问题

设有一放在弹性地基上的梁，承受分布横向荷载的作用，已知梁的一端（x=0）是固定的，另一端（X=l）自由，问梁取怎样的挠度使这个系统的总势能取极小值。问题2、弹性基础梁问题。问题归结为在区间内找一个函数，使满足边界条件（**），并使（*）取最小值。（*）边界条件：（**）第四节简例变分问题设有一放在弹性地基上的梁，承受第四节简例变分问题

质点沿曲线由A点滑到B点所需的时间为：问题3、重力场最速降落问题。问题归结为在通过两点的函数族，求出能使（*）取得极值的哪个函数。因：（*）有：第四节简例变分问题质点沿曲线由A点滑到B点第四节简例变分问题上述三例中或满足端点条件的可变函数族（容许函数），称为宗量（或自变函数）。而或或称为宗量的泛函。变分命题：实质上就是求泛函的极值（驻值）问题。第四节简例变分问题上述三例中或满足§0-5变分法预备知识

第0章前言预备知识一、函数与泛函函数：对应于自变量x在某一区域上的每个值，均有一个因变量y的值与之对应，这种自变量与因变量的对应关系称为函数。记为：；（数集）定义域（数集）值域函数是实数空间到实数空间的映射。

§0-5变分法预备知识第0章前言预备知识一、函数与泛第五节预备知识泛函泛函：如果对于某一类函数中的每一个函数，就有一个变量I的值与之对应，则称I为依赖于函数的泛函。记为：泛函是函数空间到实数空间的映射。简称泛函就是函数的函数。；（函数集合）定义域（实数集合）值域称为自变函数（宗量）（function)；称I为泛函（functionary)。第五节预备知识泛函泛函：如果对于某一类函数中的每第五节预备知识函数的变分二、函数的微分与变分显然也是x的函数。可用图示给出微分和变分的几何意义。函数的微分：由于自变量x有微小增量dx，函数也有对应的微小增量dy，则增量dy称为函数的微分。记为：函数的变分：若函数形式发生改变为新函数，函数与之差称为函数的变分。记为：第五节预备知识函数的变分二、函数的微分与变分显然第五节预备知识泛函的变分三、泛函的变分一般情况下，泛函具有下列形式：若函数具有变分时，导数也将有变分。被积函数按泰勒级数展开，其增量可表示为：第五节预备知识泛函的变分三、泛函的变分一般情况下，第五节预备知识泛函的变分定义上式的主部为被积函数的变分：泛函的增量为：定义泛函变分为，有：第五节预备知识泛函的变分定义上式的主部为被积函数的第五节预备知识函数的极值四、函数和泛函的极值问题函数的极值问题：若函数在的邻近任一点上的值均不大于或均不小于，即：则称函数在处达到极大值或极小值。必要条件为或。第五节预备知识函数的极值四、函数和泛函的极值问题函第五节预备知识泛函的极值泛函的极值问题：若泛函在的邻近任一函数的值均不大于或均不小于，即：则称使泛函取极大值或极小值。必要条件为。而曲线称为的极值曲线。第五节预备知识泛函的极值泛函的极值问题：若泛函第五节预备知识变分问题

凡是研究泛函的极值（或驻值）问题，称为变分问题。研究如何求解泛函极值（或驻值）的方法，称为变分方法。第五节预备知识变分问题凡是研究泛函的极值（或驻第五节预备知识变分法问题五、欧拉方程与自然边界条件设函数曲线被指定通过A、B两点，也就是具有边界条件。试由泛函的极值（驻值）条件求出函数所应满足的方程。第五节预备知识变分法问题五、欧拉方程与自然边界条件第五节预备知识变分法问题因任意，由得到极值或驻值条件：（EulerEquation）第五节预备知识变分法问题因任意，由第五节预备知识变分问题一般情况下，由泛函的极值（或驻值）条件，即，推出的自变函数所应满足的方程和边界条件，分别称为欧拉方程（EulerEquation）和自然边界条件（NaturalBoundaryCondition）。而自变函数事先必须满足的边界条件称为本质边界条件（或称基本边界条件、或称固定边界条件）。第五节预备知识变分问题一般情况下，由泛函的极值（第五节预备知识变分问题就本质而言，要把力学中的微分方程定解问题，变为求泛函的极值（驻值）问题；而在求解问题的近似解时，泛函的极值（驻值）问题进而变成函数的极值（驻值）问题；最后把问题归结为求解代数方程组的问题。

变分方法的实质：第五节预备知识变分问题就本质而言，要把力学中的微第五节预备知识变分问题力学中的微分方程定解问题（找到对应的泛函）泛函的极值（驻值）问题。问题的转化：泛函的极值（驻值）问题（经变分运算）函数的极值（驻值）问题；求解线性代数方程组问题。求近似解时：第五节预备知识变分问题力学中的微分方程定解问题（找第五节预备知识变分问题1、人们可从欧拉方程求解或从变分法直接求近似解（例有限元法、立兹法、伽辽金法等），其效果是一样的。但从泛函变分求近似解并不困难，这也是变分法被重视的一个原因。关于泛函的驻值问题与欧拉方程的边值问题2、力学问题的微分方程（即欧拉方程）可从泛函求极值得到。但也有一些问题，微分方程是已知的，但求解很困难，若把它们化成相当的泛函变分求极值问题，求其近似解，则就能解决。3、值得指出，并不是所有微分方程都能找到相当的泛函，对这类问题只能借助于其它方法（如伽辽金法、最小二乘法、加权余量法等）求近似解。第五节预备知识变分问题1、人们可从欧拉方程求解或第五节预备知识变分问题注1：变分法与欧拉方程代表同一问题，但微分方程求解难，而变分求近似解易。注3：微分方程给定，但难以找到相当的泛函伽辽金法、最小二乘法、加权余量法等求近似解。注2：微分方程（欧拉方程）由泛函求变分得到已知的（但求解难）相当的泛函极值（驻值）问题用近似解解决。第五节预备知识变分问题注1：变分法与欧拉方程代表同一问题GeneralizedVariationalPrinciplesinElasticityandPlasticityGeneralizedVariationalPrinci第三节主要参考文献第一节主要内容第四节变分问题简例第二节本课程的目的第五节变分法的预备知识第三节主要参考文献第一节主要内容第四节变分问题1、弹塑性力学中系列问题的变分描述

§0-1主要内容

第0章前言主要内容a、小位移弹塑性静力问题b、有限位移问题c、稳定问题d、动力问题以及场问题1、弹塑性力学中系列问题的变分描述§0-1主要内容第0第一节主要内容主要内容从自然变分原理到广义变分原理及各种修正变分原理。2、主要变分原理的推证3、数值计算模型和计算方法的建立第一节主要内容主要内容从自然变分原理到广义变分原1、固体力学的任务

§0-2本课程的目的

第0章前言目的给出考察体的变形和应力，分析该结构的强度、刚度和稳定性，确定结构的安全、经济和实用。

量化描述结构的变形和应力状态：（1）解析求解方法；（2）物理模型试验；（3）数值模型分析。1、固体力学的任务§0-2本课程的目的第0章前言目第二节本课程的目的研究方法（1）传统方法；（2）现代数值方法。例岩石力学研究方法：第二节本课程的目的研究方法（1）传统方法；例岩石力传统方法：第二节本课程的目的传统方法（a）岩体试验由于岩体的不连续和非均匀引起试样明显的尺寸效应；实际岩体的强度和刚度较室内试验值小得多；对各向异性岩体，其规律性尚不清楚。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（a）岩体试验传统方法：第二节本课程的目的传统方法（b）物理模型试验物理模型的力学参数与原型结构的力学参数之间的相似关系不清楚；各物理量比尺难以相容和统一；模型试验成本高。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（b）物理模型试验传统方法：第二节本课程的目的传统方法（c）岩体现场试验受地形、地质、施工条件的限制，试验分析结果不具代表性，很难推广到其它工程；耗费巨大、也影响工期。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（c）岩体现场试验传统方法：第二节本课程的目的传统方法（d）工程经验类比基于大量实例工程，估计岩体对岩层条件、支护型式等的影响，但对地下工程围岩的变形和稳定性机理一般无法确定。传统方法：第二节本课程的目的传统方法（d）工程经验类比现代数值方法：第二节本课程的目的现代数值方法（1）灵活性；（2）利用个别基本物理模型试验效准数值模型的本构关系、破坏准则与物理参数，用计算机的数值模型试验代替或补充物理模型试验；（3）基于现场原型或试验手段的实测与反演分析，效准复杂岩体的等效力学模型。现代数值方法：第二节本课程的目的现代数值方法（1）2、传统弹塑性力学教科书存在的问题第二节本课程的目的存在问题偏重于微分描述和偏微分方程组求解的研究。现代工程数值方法的弹塑性力学理论基础，主要为弹塑性力学中的广义变分原理。2、传统弹塑性力学教科书存在的问题第二节本课程的目的存在3、现代数值方法与变分原理第二节本课程的目的数值方法与变分原理（1）现代数值方法有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）有限单元法（FiniteElementMethod,FEM）边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）离散元法（DiscreteElementMethod,DEM）无单元法（ElementFreeMethod,EFM）不连续变形分析（DiscontinuousDeformationAnalysis,DDA）流形元法（NumericalManifoldMethod,NMM）3、现代数值方法与变分原理第二节本课程的目的数值方法与变第二节本课程的目的数值方法与变分原理

现代数值方法的突出代表为有限单元法，而有限单元发的诞生、发展和强大有赖于变分原理的发展。（2）现代数值方法与变分原理变分原理的可靠性、开拓性为有限元的建立和持续发展提供了理论基础和拓宽了应用空间。

有限元法中丰富的单元类型及计算方法的发展必须系统地了解广义变分原理的理论知识。第二节本课程的目的数值方法与变分原理现代数值方法§0-3主要参考文献

第0章前言参考文献1、卓家寿，《弹塑性力学中的广义变分原理》，中国水利水电出版社，1989年第一版，2002年第二版。2、钱伟长，《变分法及有限元法》（上册），科学出版社，1980年。3、胡海昌，《弹性力学中的变分原理及其应用》，科学出版社，1981年。4、熊祝华、刘子庭，《弹性力学变分原理》，湖南大学出版社，1984年。5、钱伟长，《广义变分原理》，知识出版社，1985年。§0-3主要参考文献第0章前言参考文献1、卓家寿，《§0-4变分问题简例

第0章前言简例问题1、过两点连线长度最短问题。

连接P0，P1两点曲线有无数条，对应弧长L为无数个，求出使弧长L是最短的哪一条。

问题归结为求容许函数中使为极值的特定函数。§0-4变分问题简例第0章前言简例问题1、过两点连线第四节简例变分问题

设有一放在弹性地基上的梁，承受分布横向荷载的作用，已知梁的一端（x=0）是固定的，另一端（X=l）自由，问梁取怎样的挠度使这个系统的总势能取极小值。问题2、弹性基础梁问题。问题归结为在区间内找一个函数，使满足边界条件（**），并使（*）取最小值。（*）边界条件：（**）第四节简例变分问题设有一放在弹性地基上的梁，承受第四节简例变分问题

质点沿曲线由A点滑到B点所需的时间为：问题3、重力场最速降落问题。问题归结为在通过两点的函数族，求出能使（*）取得极值的哪个函数。因：（*）有：第四节简例变分问题质点沿曲线由A点滑到B点第四节简例变分问题上述三例中或满足端点条件的可变函数族（容许函数），称为宗量（或自变函数）。而或或称为宗量的泛函。变分命题：实质上就是求泛函的极值（驻值）问题。第四节简例变分问题上述三例中或满足§0-5变分法预备知识

第0章前言预备知识一、函数与泛函函数：对应于自变量x在某一区域上的每个值，均有一个因变量y的值与之对应，这种自变量与因变量的对应关系称为函数。记为：；（数集）定义域（数集）值域函数是实数空间到实数空间的映射。

§0-5变分法预备知识第0章前言预备知识一、函数与泛第五节预备知识泛函泛函：如果对于某一类函数中的每一个函数，就有一个变量I的值与之对应，则称I为依赖于函数的泛函。记为：泛函是函数空间到实数空间的映射。简称泛函就是函数的函数。；（函数集合）定义域（实数集合）值域称为自变函数（宗量）（function)；称I为泛函（functionary)。第五节预备知识泛函泛函：如果对于某一类函数中的每第五节预备知识函数的变分二、函数的微分与变分显然也是x的函数。可用图示给出微分和变分的几何意义。函数的微分：由于自变量x有微小增量dx，函数也有对应的微小增量dy，则增量dy称为函数的微分。记为：函数的变分：若函数形式发生改变为新函数，函数与之差称为函数的变分。记为：第五节预备知识函数的变分二、函数的微分与变分显然第五节预备知识泛函的变分三、泛函的变分一般情况下，泛函具有下列形式：若函数具有变分时，导数也将有变分。被积函数按泰勒级数展开，其增量可表示为：第五节预备知识泛函的变分三、泛函的变分一般情况下，第五节预备知识泛函的变分定义上式的主部为被积函数的变分：泛函的增量为：定义泛函变分为，有：第五节预备知识泛函的变分定义上式的主部为被积函数的第五节预备知识函数的极值四、函数和泛函的极值问题函数的极值问题：若函数在的邻近任一点上的值均不大于或均不小于，即：则称函数在处达到极大值或极小值。必要条件为或。第五节预备知识函数的极值四、函数和泛函的极值问题函第五节预备知识泛函的极值泛函的极值问题：若泛函在的邻近任一函数的值均不大于或均不小于，即：则称使泛函取极大值或极小值。必要条件为。而曲线称为的极值曲线。第五节预备知识泛函的极值泛函的极值问题：若泛函第五节预备知识变分问题

凡是研究泛函的极值（或驻值）问题，称为变分问题。研究如何求解泛函极值（或驻值）的方法，称为变分方法。第五节预备知识变分问题凡是研究泛函的极值（或驻第五节预备知识变分法问题五、欧拉方程与自然边界条件设函数曲线被指定通过A、B两点，也就是具有边界条件。试由泛函的极值（驻值）条件求出函数所应满足的方程。第五节预备知识变分法问题五、欧拉方程与自然边界条件第五节预备知识变分法问题因任意，由得到极值或驻值条件：（EulerEquati