2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版

第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时第一章三角形的证明【知识再现】1.证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论;(2)根据题意画出相应的_____;(3)根据题设和结论写出_________和_________;(4)分析证明思路,写出证明过程.

图形

已知

求证

【知识再现】图形已知求证2.等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做_______________.相等的两边叫做_______,另一边叫做_______

,两腰所夹的角叫做_________,底边与腰的夹角叫_________.

等腰三角形

腰

底边

顶角

底角

2.等腰三角形的定义:等腰三角形腰底边顶角底【新知预习】阅读教材P2-3的内容,回答下列问题:全等三角形的性质与判定定理:1.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_________、对应角_________.

相等相等【新知预习】阅读教材P2-3的内容,回答下列问题:相等2.全等三角形的判定:(1)_________________对应相等的两个三角形全等(SAS).

(2)_________________对应相等的两个三角形全等(ASA).

(3)_________对应相等的两个三角形全等(SSS).

两边及其夹角

两角及其夹边

三边

2.全等三角形的判定:两边及其夹角两角及其夹边三边(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(3.等腰三角形性质:性质1:等腰三角形的两底角_________(简写成“等边对_________”);

性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线_____________.(简写成“_________”)

相等

等角

互相重合

三线合一3.等腰三角形性质:相等等角互相重合三线合一【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.(2019·怀化中考)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为_________.

2.(2019·兰州中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B=_______°.

36°

70

【基础小练】36°703.如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,则∠DBC=_____

度.

253.如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,则∠DB4.如图所示,F,C在线段BE上,且∠1=∠2,BC=EF.若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF,还需要补充的条件是__________.

AC=DF

4.如图所示,F,C在线段BE上,且∠1=∠2,BC=EF.知识点一全等三角形的性质与判定(P3引例证明的拓展)【典例1】如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD (

)D

知识点一全等三角形的性质与判定DA.∠B=∠C

B.AD=AEC.BD=CE

D.BE=CDA.∠B=∠C B.AD=AE【学霸提醒】判定两个三角形全等的一般方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.【学霸提醒】【题组训练】1.如图,已知AD=BC,∠1=∠2,则下列说法正确的是

(

)A.BD=AC B.∠D=∠C

C.∠DAB=∠CBA D.以上说法都不对D【题组训练】D★2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,∠CAD=25°,则∠ABE的度数为

(

)A.30° B.15° C.25° D.20°D★2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E★3.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为点B,E,AE,BC相交于点F,AB=BC.若AB=8,CF=2,则CD=_______.

世纪金榜导学号

10

★3.如图,已知CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为点B,E,★★4.(2019·九江二模)如图,点E在AB上,∠CEB=∠B,∠1=∠2=∠3,求证:CD=CA.★★4.(2019·九江二模)如图,点E在AB上,∠CEB=证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,即∠DCE=∠ACB,∵∠CEB=∠B,∴CE=CB,∵∠2=∠3,∴∠DEC=∠B,证明:∵∠1=∠2,在△DCE与△ACB中,∴△DCE≌△ACB(ASA),∴CD=CA.在△DCE与△ACB中,知识点二等腰三角形的性质

(P3随堂练习T1拓展)【典例2】如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C=_________.

35°

知识点二等腰三角形的性质35°【学霸提醒】1.等边对等角只限于同一三角形中,若两个三角形有相等的边,则它们所对的角不一定相等.【学霸提醒】2.“三线合一”是证明角、线段相等或线段垂直的重要定理,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三者中只要满足其中一个,就可以得到另外两个.2.“三线合一”是证明角、线段相等或线段垂直的重要定理,即等【题组训练】1.(易错警示题)如果等腰三角形的一个角是80°,那么它的底角是 (

)A.80°或50° B.50°或20°

C.80°或20° D.50°A【题组训练】A★2.(2019·四平铁东区模拟)如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,AD=AC,过点D作DE⊥BC交AB于E,若△ADE是等腰三角形,则下列判断中正确的是 (

)

世纪金榜导学号B★2.(2019·四平铁东区模拟)如图,在△ABC中,点D是A.∠B=∠CAD B.∠BED=∠CADC.∠ADB=∠AED D.∠BED=∠ADCA.∠B=∠CAD B.∠BED=∠CAD★★3.(2019·重庆沙坪坝区)如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,AE∥DC交BC的延长线于点E,已知∠E=38°,求∠BAC的度数.★★3.(2019·重庆沙坪坝区)如图,在△ABC中,AB=解:∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACB,∵AE∥DC,∴∠BCD=∠E=38°,∴∠ACB=2×38°=76°,解:∵CD平分∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=76°,∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=28°.∵AB=AC,【火眼金睛】如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=68°,求∠ABD的度数.【火眼金睛】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版正解:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠C=∠ABC=68°,∴∠A=180°-∠C-∠ABC=44°.∵BD⊥AC,∴∠ABD=90°-44°=46°.正解:∵在△ABC中,AB=AC,【一题多变】已知等腰三角形的两边长分别为x和y,且x和y满足|x-3|+(y-1)2=0,则这个等腰三角形的周长为______.

7

【一题多变】7【母题变式】(变换条件)已知等腰三角形的两条边长为2cm和3cm,则这个三角形的周长为_______________.

7cm或8cm

【母题变式】7cm或8cm1等腰三角形第2课时1等腰三角形【知识再现】1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作_________,顶点和垂足间的_________叫做三角形的高.

2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的_________叫做三角形的中线.

垂线

线段

线段

【知识再现】垂线线段线段3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连接这个角的顶点与交点的_________叫做三角形的角平分线.

4.等边三角形的定义:___________都相等的三角形叫做等边三角形.

线段

三条边

3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个线段【新知预习】

阅读教材P5的内容,回答下列问题:探究:等腰三角形两底角的平分线有何关系?你能画一个等腰三角形并作出它的两底角的平分线吗?【新知预习】阅读教材P5的内容,回答下通过观察、测量,可猜想:等腰三角形两底角的平分线_________.

你能尝试证明你猜想的结论吗?已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.相等通过观察、测量,可猜想:等腰三角形两底角的平分线相等证明:∵AB=AC,∴__________=__________.

∵BD,CE为∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠3=∠1=__________,∠2=∠4=__________.∴∠3=∠4.∠ABC

∠ACB

∠ABC

∠ACB

证明:∵AB=AC,∴__________=________在△ABD和△ACE中,∠3=∠4,AB=AC,____________.

∴△ABD≌△ACE(________).∴BD=CE(____________________________).

∠A=∠A

ASA

全等三角形的对应边相等在△ABD和△ACE中,∠3=∠4,AB=AC,______归纳:等腰三角形重要线段的结论:等腰三角形两个底角的平分线_________;

等腰三角形腰上的高_________;

等腰三角形腰上的中线_________.

相等

相等

相等

归纳:相等相等相等等边三角形的性质:1.等边三角形三边_________.

2.等边三角形的三个内角都_________并且每个角都等于_________.

相等

相等

60°

等边三角形的性质:相等相等60°【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为 (

)A.50°

B.80°C.100° D.130°B【基础小练】B2.如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE=______.

3

2.如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,3.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证:OB=OC.3.如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线,∴CD=AC,BE=AB,∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB.在△EBC和△DCB中,BE=CD,∠EBC=∠DCB,证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线,BC=CB,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.BC=CB,知识点一等腰三角形中相关线段的性质(教材P5例1拓展)【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求证:DE∥BC.知识点一等腰三角形中相关线段的性质【规范解答】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.

…………等腰三角形两底角相等又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,∴∠AEB=∠ADC=90°,…………垂直的定义【规范解答】∴∠ABE=∠ACD,…………同角的余角相等∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,…………等式性质∴∠EBC=∠DCB.在△BEC与△CDB中,∴∠ABE=∠ACD,…………同角的余角相等∴△BEC≌△CDB, ……有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等∴BD=CE,……全等三角形的对应边相等∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE,…………等式性质∴∠ADE=∠AED.…………等腰三角形两底角相等又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角,∴△BEC≌△CDB, ……∴∠ADE=∠ABC,………

顶角相等的两个等腰三角形底角也相等∴DE∥BC.………同位角相等,两直线平行∴∠ADE=∠ABC,………【题组训练】1.(2019·丹江口模拟)如图,已知AD,BE分别是△ABC的中线和高,且AB=AC,∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 (

)A.18° B.20°

C.22.5° D.25°B【题组训练】B★2.下列说法: 世纪金榜导学号(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等;(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;(4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40.★2.下列说法: 世纪金榜导学号其中不正确的个数是 (

)A.1 B.2 C.3 D.4C其中不正确的个数是 ()C★★3.如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是F,E.求证:DE=DF.★★3.如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠BFD=∠CED=90°,∵BD=DC,∴△BDF≌△CDE,∴DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,【我要做学霸】等腰三角形重要线段的结论等腰三角形两底角的平分线_________,两腰上的中线_________,两腰上的高_________.

相等

相等

相等

【我要做学霸】相等相等相等知识点二等边三角形的性质(P7随堂练习T2拓展)【典例2】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.知识点二等边三角形的性质(1)求证:△ABE≌△CAD.(2)求∠PBQ的度数.(1)求证:△ABE≌△CAD.【尝试解答】(1)∵△ABC为等边三角形.∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=_________,…等边三角形的性质在△BAE和△ACD中,∴△BAE≌△ACD. …………全等三角形的判定方法

60°

【尝试解答】(1)∵△ABC为等边三角形.60°(2)∵△BAE≌△ACD,∴∠ABE=∠CAD, 全等三角形的性质∵∠BPQ为__________的外角,

∴∠BPQ=__________+__________,………外角的性质∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.…………等量代换△ABP

∠ABE

∠BAD

(2)∵△BAE≌△ACD,△ABP∠ABE∠B∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=_________.………直角三角形两锐角互余

30°

∵BQ⊥AD,30°【学霸提醒】等边三角形的每一个内角都等于60°;等腰三角形的两个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.【学霸提醒】【题组训练】1.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有___________.(填序号)

①②③【题组训练】①②③★2.如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE.若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.★2.如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.解:∵△ABC是等边三角形,★3.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由. 世纪金榜导学号★3.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为解:AE∥BC,理由如下:∵△ABC和△DEC是等边三角形,∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,∠B=60°,∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,解:AE∥BC,理由如下:在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠EAC=∠B=60°,∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.在△ACE和△BCD中,【火眼金睛】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶角的度数.【火眼金睛】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版正解:当高在内部时,顶角为90°-30°=60°;当高在外部时,得到顶角的外角为90°-30°=60°,则顶角为120°.则该等腰三角形顶角的度数是60°或120°.正解:当高在内部时,顶角为90°【一题多变】如图1,在等腰△ABC中.AB=AC=a,面积是S,点P在BC上移动,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,那么点P到两腰的距离和PD+PE等于什么?证明你的结论.【一题多变】解:PD+PE=,证明如下:连接AP,∵S△ABC=S△ABP+S△CAP,∴S△ABC=,∵AB=AC=a,S△ABC=S,∴S=,∴PD+PE=.解:PD+PE=,证明如下:连接AP,【母题变式】【变式一】(变换条件)如图2,在等边△ABC中,边长是a,面积是S,点P是△ABC内部一点,P到三边的距离之和PD+PE+PF又等于什么?证明你的结论.【母题变式】解:PD+PE+PF=.证明如下:连接AP,BP,CP,∵S△ABC=S△ABP+S△CAP+S△CBP,∴S△ABC=

解:PD+PE+PF=.∵AB=AC=BC=a,S△ABC=S,∴S=,∴PD+PE+PF=.∵AB=AC=BC=a,S△ABC=S,【变式二】(变换条件和问法)如图3,点P是等边△ABC内部一点,作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,若PD=1,PE=2,PF=4.求△ABC的边长.略【变式二】(变换条件和问法)如图3,点1等腰三角形第3课时1等腰三角形【知识再现】1.等腰三角形定义:两条边_________的三角形叫等腰三角形.

相等

【知识再现】相等2.等腰三角形性质:性质1:等腰三角形的两个_________相等;(简写成“等边对_________”)

性质2:等腰三角形的_______________、__________________、底边上的高互相重合.(简写成“三线合一”)

底角

等角

顶角平分线

底边上的中线

2.等腰三角形性质:底角等角顶角平分线底边上的【新知预习】阅读教材P8-9的内容,回答下列问题:1.探究:等腰三角形判定方法(1)用直尺和量角器或三角板画△ABC,使∠B=∠C=30°,再用刻度尺量一量线段AB,AC的长或者通过折叠你画的△ABC,观察线段AB,AC的长.得出结论:AB=_____.

AC

【新知预习】阅读教材P8-9的内容,回答下列问题:AC(2)如果∠B=∠C=60°或其他锐角度数,重复上面的操作过程,结论仍然成立.发现的规律:等腰三角形的判定:_____________的三角形是等腰三角形(定义).

如果一个三角形有两个角相等,那么______________________也相等.

两边相等这两个角所对的边(2)如果∠B=∠C=60°或其他锐角度数,重复上面的操两(3)等腰三角形的判定定理:_________________的三角形是等腰三角形.

2.反证法的一般步骤是:①假设命题的结论____________;

②从这个假设出发,经过推理论证,得出_________;

③由矛盾判定假设___________,从而肯定原命题的结论_________.

有两个角相等不成立矛盾不正确正确(3)等腰三角形的判定定理:________________【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4cm,则CD等于 (

)A.3cm

B.4cmC.1.5cm D.2cmB【基础小练】B2.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件:①OB=OC;②∠EBO=∠DCO;③∠BEO=∠CDO;④BE=CD.上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有

(

)A.2种 B.3种 C.4种 D.6种C2.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,C知识点一等腰三角形的判定(P8例2拓展)【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,FD∥AC交BC于点D.求证:△AEF是等腰三角形.知识点一等腰三角形的判定(P8例2拓展)【尝试解答】∵FD∥AC,∴∠PFD=________,∠FDB=________,

…………两直线平行,同位角相等∵AB=AC,∴________=________,…………等边对等角∠E

∠C

∠B

∠C

【尝试解答】∵FD∥AC,∠E∠C∠B∠C∴∠FDB=∠B…………等量代换∴FB=FD,…………等角对等边∵FB=FD,EP⊥BC,∴∠PFB=__________,

…………等腰三角形三线合一∠PFD

∴∠FDB=∠B…………等量代换∠PFD∵∠PFB=∠AFE,∴∠PFD=∠AFE,…………等量代换∵∠PFD=∠E,∴∠E=∠AFE,…………等量代换∴_______=_______,…………等角对等边

即△AEF是等腰三角形.…………

等腰三角形定义

AE

AF

∵∠PFB=∠AFE,∴∠PFD=∠AFE,…………等量代【学霸提醒】

牢记证明等腰三角形的方法1.证明等腰三角形的方法是求证两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形.2.角平分线+平行线=等腰三角形.【学霸提醒】【题组训练】1.(2019·上海市奉贤区二模)如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 (

)A.AE=AD B.BD=CE

C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDBD【题组训练】D★2.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 (

)A.2 B.3 C.4 D.5D★2.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠A★★3.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.

世纪金榜导学号求证:△BDE是等腰三角形.★★3.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3,知识点二反证法(P9例3拓展)【典例2】用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.知识点二反证法(P9例3拓展)【规范解答】已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°.求证:l1∥l2.【规范解答】已知:如图,直线l1,l2被l3所证明:假设l1不平行于l2,即l1与l2相交于一点P.

…………同一平面内两直线的位置关系证明:假设l1不平行于l2,则∠1+∠2+∠P=180°.

……三角形内角和定理所以∠1+∠2<180°,这与已知矛盾,故假设不成立.所以l1∥l2.则∠1+∠2+∠P=180°.【学霸提醒】利用反证法证明的“三步法”【学霸提醒】【题组训练】1.用反证法证明“a>b”时,应假设 (

)

A.a<b B.a≤b C.a≥b D.a≠bB【题组训练】B2.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一个角大于等于90°”,我们应该假设 (

)A.四个角都小于90°B.最多有一个角大于或等于90°C.有两个角小于90°D.四个角都大于或等于90°A2.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一A★★3.(用反证法证明)已知直线a∥c,b∥c,求证:a∥b.

世纪金榜导学号

略★★3.(用反证法证明)已知直线a∥c,b∥c,【火眼金睛】已知:△ABC,求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.【火眼金睛】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版正解:假设△ABC中每个内角都小于60°,则∠A+∠B+∠C<180°,这与三角形内角和定理矛盾,故假设错误,即原结论成立,在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.正解:假设△ABC中每个内角都小于60°,【一题多变】如图,在平面直角坐标系中,点B,A分别在x轴,y轴上,∠BAO=60°,在坐标轴上找一点P,使得△ABP是等腰三角形,则符合条件的等腰三角形ABP有______个.

6

【一题多变】6【母题变式】(变换问法)如图,在△ABC中,已知点D在线段AB的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E,交BC于点G,且AE∥BC. 世纪金榜导学号【母题变式】(1)求证:△ABC是等腰三角形.(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周长.(1)求证:△ABC是等腰三角形.解:(1)∵AE∥BC,∴∠B=∠DAE,∠C=∠CAE.∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE.∴∠B=∠C.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.(2)略解:(1)∵AE∥BC,∴∠B=∠DAE,∠C=∠CAE.1等腰三角形第4课时1等腰三角形【知识再现】1.等边三角形定义:_________相等的三角形叫做等边三角形.

2.等边三角形的性质:(1)等边三角形三条边都_________.

(2)等边三角形三个角都是_________.

三边

相等

60°

【知识再现】三边相等60°(3)等边三角形底边上的中线、_______________、底边上的高互相重合(三线合一).

(4)是轴对称图形,共有_______条对称轴.

顶角平分线

三

(3)等边三角形底边上的中线、_______________【新知预习】阅读教材P10-12的内容,回答下列问题:尝试说明为什么是等边三角形.方法1:∵△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又∵Rt△ABD中,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.(____________________________________________).

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【新知预习】阅读教材P10-12的内容,回答下列问题:有方法2:∵∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,∴∠B=∠C=∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形.(三个角都相等的三角形是等边三角形)发现结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的_________.

一半方法2:∵∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 (

)A.有两个内角是60°的三角形B.三边都相等的三角形D【基础小练】DC.有一个角是60°的等腰三角形D.有两个外角相等的等腰三角形C.有一个角是60°的等腰三角形2.三角形三边长分别为a,b,c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是 (

)A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形C2.三角形三边长分别为a,b,c,它们满足(a-b)2+C知识点一等边三角形的判定(P12习题1.4T1拓展)【典例1】如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由.(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程.知识点一等边三角形的判定(P12习题1.4T1拓展)【自主解答】(1)△ODE是等边三角形,理由是:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵OD∥AB,OE∥AC,∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,∴△ODE是等边三角形.【自主解答】(1)△ODE是等边三角形,(2)BD=DE=EC,理由是:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠ABO=∠OBD=30°,∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°,∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO,∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.(2)BD=DE=EC,【学霸提醒】

选用等边三角形判定方法的技巧(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.(2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定.【学霸提醒】(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定.(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形【题组训练】1.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则∠BAC等于 世纪金榜导学号(

)A.60° B.75°C.90° D.135°A【题组训练】A★2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=60°,D,E分别是边AB,BC上两点,且DE∥AC,下列结论不正确的是 (

)A.∠A=60°

B.△BDE是等腰三角形C.BD≠DE

D.△BDE是等边三角形C★2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=60°,D,E分★★3.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试说明△ABC是等边三角形. 世纪金榜导学号略★★3.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足关系式a2+c知识点二含30°角的直角三角形的性质(P11例4强化)【典例2】如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于 (

)知识点二含30°角的直角三角形的性质A.5 B.4 C.3 D.2A.5 B.4 C.3 D.2【规范解答】选B.∵在△ABC中,∠B=∠C=60°,∴∠A=60°,…………三角形内角和等于180°∴△ABC是等边三角形.∵DE⊥AB,∴∠AED=30°,………………直角三角形两锐角互余【规范解答】选B.∵在△ABC中,∠B=∠C=60°,∵AD=1,∴AE=2,……直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半∵BC=6,∴AC=BC=6,………等边三角形定义∴CE=AC-AE=6-2=4.………线段差的定义∵AD=1,∴AE=2,【学霸提醒】含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.【学霸提醒】【题组训练】1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于D,AB=a,则DB等于 (

)

C【题组训练】C★2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是 (

)

A.3cm B.6cm C.9cm D.12cmD★2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°★3.在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠ABD=30°,则CD=________________. 世纪金榜导学号

5cm或15cm

★3.在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠A【火眼金睛】如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,CD=4cm,求BC的长.【火眼金睛】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版正解:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°.即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,∴∠ABD=∠DBC=30°.又∵∠C=60°,∴△BDC是直角三角形(∠BDC=90°).又∵CD=4cm,∴BC=2CD=2×4=8(cm).正解:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180【一题多变】如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD.求证:△DEF是等边三角形.【一题多变】证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC,∴∠EAF=∠EBD=120°,∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,证明:∵△ABC为等边三角形,在△AEF和△BDE中,∴△AEF≌△BDE(SAS),∴EF=ED,同理可得△AEF≌△CFD,∴EF=FD,∴EF=ED=FD,∴△DEF为等边三角形.在△AEF和△BDE中,【母题变式】(变换条件)如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.求证:△PMN是等边三角形.【母题变式】略

略2直角三角形第1课时2直角三角形【知识再现】1.三角形的分类:锐角三角形,_________三角形,_________三角形.

2.直角三角形定义:有一个内角是_________的三角形叫直角三角形.

直角

钝角

直角

【知识再现】直角钝角直角3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的_________.

一半

3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所一半【新知预习】

阅读教材P14-16,回答下列问题1.直角三角形的性质(1)角:直角三角形的两个锐角_________.

(2)边:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的_________.

互余

平方

【新知预习】阅读教材P14-16,回答下列问题互余平2.直角三角形的判定问题1:勾股定理:直角三角形_____________________

等于_______________;

它的条件:如果一个三角形是直角三角形;结论:那么它两条直角边的平方和等于斜边的平方.

两条直角边的平方和

斜边的平方

2.直角三角形的判定两条直角边的平方和斜边的平方将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件,其内容是:如果___________________________________,那么________________________.三角形两边的平方和等于第三边的平方这个三角形是直角三角形将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件,其内容三角形两边的问题2:证明上述命题:已知:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.得出定理:如果三角形两边的___________等于第三边的_________,那么这个三角形是直角三角形.

平方和平方问题2:证明上述命题:平方和平方3.互逆命题、逆定理互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_______________,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.

结论和条件

3.互逆命题、逆定理结论和条件互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是____________,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理.其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

真命题

互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是_______真命【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.(2019·重庆九龙坡区期中)如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数是 (

)C【基础小练】CA.85°

B.90°C.95° D.100°A.85° B.90°2.下列命题:①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;②若a>b,则ac2>bc2;③全等三角形对应角相等;④直角三角形两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是 (

)B2.下列命题:BA.①②④ B.①④C.③④ D.④A.①②④ B.①④3.(2019·北京延庆区期末)直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_________.

30°

3.(2019·北京延庆区期末)直角三角形中,一个锐角等3知识点一直角三角形的性质【典例1】已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm. 世纪金榜导学号知识点一直角三角形的性质(1)求证:CD⊥AB.(2)求该三角形的腰的长度.(1)求证:CD⊥AB.【规范解答】(1)∵BC=20cm,CD=16cm,BD=12cm,∴BD2+CD2=122+162=400,BC2=400,……数的运算∴BD2+CD2=BC2,…………等量代换∴∠BDC=90°,…………勾股定理逆定理即CD⊥AB.…………垂直定义【规范解答】(1)∵BC=20cm,CD=16cm,BD(2)设腰长为xcm,则AD=x-12,由勾股定理得AD2+CD2=AC2,即:(x-12)2+162=x2,…………列方程解得x=, …………方程的解法∴腰长为cm.(2)设腰长为xcm,则AD=x-12,【学霸提醒】

直角三角形的性质(1)在求角度时,用到直角三角形两锐角互余,有时利用角平分线或者折叠转化角度.【学霸提醒】(2)利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边,利用面积相等可以求出斜边上的高;有时结合方程思想解决问题.(2)利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边,利用面积相等可【题组训练】1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是 (

)A.75° B.65° C.55° D.45°C【题组训练】C★2.(2019·惠州惠城区期末)如图,正方形面积是

(

)

A.16 B.8 C.4 D.2B★2.(2019·惠州惠城区期末)如图,正方形面积是B★3.(2019·武汉东西湖区期末)在正方形ABCD中,E是CD上的点.若BE=30,CE=10,求正方形ABCD的面积和对角线长.★3.(2019·武汉东西湖区期末)在正方形ABCD中,E是解:连接BD.

∵四边形ABCD为正方形,∴∠A=∠C=90°.解:连接BD.在Rt△BCE中,由勾股定理得:BC2=BE2-CE2=302-102=800.在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD2=BC2+CD2=800+800=1600,∴BD=40,∴S正方形ABCD=BC2=800.在Rt△BCE中,由勾股定理得:★★4.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=12cm,BC=5cm,AB=13cm,过点C作CD⊥AB于点D. 世纪金榜导学号★★4.如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=1(1)找出图中相等的锐角,并说明理由.(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离.(1)找出图中相等的锐角,并说明理由.解:(1)∵CD⊥AB(已知),∴∠CDA=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2(同角的余角相等).同理可得,∠1=∠B.解:(1)∵CD⊥AB(已知),(2)点A到直线BC的距离为12cm.点C到直线AB的距离为线段CD的长度.S△ABC=AC×BC=AB×CD.∵AC=12cm,BC=5cm,AB=13cm,代入上式,解得CD=cm.(2)点A到直线BC的距离为12cm.知识点二勾股定理逆定理的应用【典例2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,求△ABC的面积.知识点二勾股定理逆定理的应用【规范解答】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,∴a-5=0,b-12=0,c-13=0,…………非负数的性质∴a=5,b=12,c=13,…………解一元一次方程∵52=25,122=144,132=169.…………平方数∴52+122=132,即a2+b2=c2.【规范解答】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0∴△ABC是直角三角形,a,b为直角边,c为斜边. 勾股定理逆定理∴S△ABC=ab=×5×12=30.…………直角三角形的面积公式∴△ABC是直角三角形,a,b为直角边,c为斜边. 勾股定【学霸提醒】由三边判定直角三角形的“三步法”1.确定:确定三角形的最大边.2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和.3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状.【学霸提醒】【题组训练】1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是

(

)A.3,4,5 B.2,3,4C.4,6,7 D.5,11,12A【题组训练】A★2.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的中线长为 (

)A.3.6 B.4C.4.8 D.5D★2.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角D★3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是_________三角形. 世纪金榜导学号

直角★3.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2★★4.如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识,判断△ABC是什么形状?并说明理由.★★4.如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,解:△ABC是直角三角形.理由如下:AB2=32+22=13;AC2=82+12=65;BC2=62+42=52;∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.解:△ABC是直角三角形.理由如下:知识点三互逆命题以及互逆定理【典例3】下列命题中,与“同旁内角互补,两直线平行”成为互逆定理的是 (

)A.同旁内角不互补,两直线平行

B.同旁内角不互补,两直线不平行

C知识点三互逆命题以及互逆定理CC.两直线平行,同旁内角互补

D.两直线不平行,同旁内角不互补C.两直线平行,同旁内角互补【题组训练】1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 (

)A.互为逆命题 B.互逆定理

C.公理 D.假命题A【题组训练】A★2.指出下列命题的逆命题能否成为逆定理:(1)如果a=b,那么a2=b2.(2)如果三角形有一个内角是钝角,那么它的另外两个内角一定是锐角.(3)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等.★2.指出下列命题的逆命题能否成为逆定理:解:(1)逆命题是:如果a2=b2,那么a=b是假命题,故不能成为逆定理.(2)逆命题是:如果一个三角形的两个内角是锐角,那么三角形另一个角是钝角,是假命题,故不能成为逆定理.解:(1)逆命题是:如果a2=b2,那么a=b是假命题,故不(3)逆命题是:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的两个角相等,是真命题,能成为逆定理.(3)逆命题是:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对【火眼金睛】在Rt△ABC中,BC=3,AB=4,求AC的长.【火眼金睛】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版正解:∵Rt△ABC中,BC=3,AB=4,∴当AC为斜边时:AC==5,当AB为斜边时:AC=,故AC的长为5或.正解:∵Rt△ABC中,BC=3,AB=4,【一题多变】如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.求四边形ABCD的面积.【一题多变】解:连接AC,∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC=2,∵AD=1,CD=3,∴AD2+AC2=12+(2)2=9,CD2=9,解:连接AC,2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版∴AD2+AC2=CD2,∴△ADC是直角三角形,∴∠DAC=90°,在Rt△ABC中,S△ABC=BC·AB=×2×2=2,在Rt△ADC中,S△ADC=AD·AC=×1×2=,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+.∴AD2+AC2=CD2,【母题变式】如图,网格中每个小正方形的边长都是1,且A,B,C,D都在格点上.(1)求四边形ABCD的面积.(2)求∠ABC的度数.【母题变式】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版略略2直角三角形第2课时2直角三角形【知识再现】三角形全等的判定方法:SSS,__________,ASA,________.

SAS

AAS

【知识再现】SASAAS【新知预习】阅读教材P18-19,回答下列问题探究:“HL”定理.已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.【新知预习】阅读教材P18-19,回答下列问题求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC2=AB2-BC2(______________).

同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).

∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(________).

勾股定理勾股定理

SSS

证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC2=AB2-B归纳:(1)斜边、直角边定理(HL):______________________分别相等的两个直角三角形全等.

(2)符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,斜边和一条直角边归纳:(1)斜边、直角边定理(HL):___________∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL(3)判断两个三角形全等的方法:①________________、②边角边(SAS)、③______________、④角边角(ASA)、⑤_____________________.

边边边(SSS)

角角边(AAS)

斜边、直角边(HL)

(3)判断两个三角形全等的方法:①_____________【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列可使两个直角三角形全等的条件是 (

)A.一条边对应相等

B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等

D.两个锐角对应相等B【基础小练】B2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是

(

)A2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版3.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______.

7

3.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线知识点一斜边、直角边定理(HL)【典例1】如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.(1)求证:△ABC≌△DCB.(2)△OBC是何种三角形?证明你的结论.知识点一斜边、直角边定理(HL)【规范解答】(1)在Rt△ABC和Rt△DCB中,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).……直角三角形全等的判定【规范解答】(1)在Rt△ABC和(2)△OBC是等腰三角形.理由是:∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,………………全等三角形对应角相等∴OB=OC,…………等角对等边∴△OBC是等腰三角形.(2)△OBC是等腰三角形.【学霸提醒】

直角三角形全等应用的思路1.由题目已知中的垂直或直角找出两个直角三角形.2.分析条件,证明两个直角三角形全等.3.由全等三角形的性质得角或线段的相等关系.【学霸提醒】【题组训练】1.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=30°,则∠BAD的度数是 (

)

A.90° B.60° C.30° D.15°B【题组训练】B★2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是(

)A.AE=DF B.∠A=∠DC.∠B=∠C D.AB=DCD★2.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL★★3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说明理由. 世纪金榜导学号★★3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°解:AE⊥BF,理由如下:∵AE=BF,AB=AC,∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF,∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠CAE+∠AFB=90°,∴∠ADF=90°,即AE⊥BF.解:AE⊥BF,理由如下:知识点二直角三角形全等的判定方法【典例2】如图,AB=12,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P,Q两点同时出发,运动

分钟后△CAP与△PQB全等.

知识点二直角三角形全等的判定方法【规范解答】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,∴∠A=∠B=90°,…………垂直定义设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m,………………未知量设法【规范解答】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,分两种情况:………………分类思想①若BP=AC,则x=4,AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,…………线段和差运算∴△CAP≌△PBQ; …………全等三角形判定分两种情况:………………分类思想②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时△CAP与△PQB不全等;综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.答案:4②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠A【题组训练】1.(2019·广州海珠区模拟)下列判断一定正确的是

(

)A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等A【题组训练】AC.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等★2.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等的直角三角形有世纪金榜导学号(

)A.4对 B.5对 C.6对 D.7对C★2.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥★3.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,DE⊥AC,若想判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是___________________________. 世纪金榜导学号

DB=AB(或DE=AC或BE=BC)

★3.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,DE⊥AC,若想判定★★4.如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过点C,BE⊥EF于E,DF⊥EF于F,BE=DF.求证:Rt△BCE≌Rt△DCF.世纪金榜导学号★★4.如图:AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,EF过证明:连接BD,

证明:连接BD,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC,∵BE⊥EF,DF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,在Rt△BCE和Rt△DCF中,∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,【火眼金睛】已知,如图,在△ABC中,DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,求证:AD平分∠BAC.【火眼金睛】2020版八年级数学下册全一册课件（打包45套）（新版）北师大版正解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,在Rt△AED与Rt△AFD中,AD=AD,DE=DF,正解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴∠DAE=∠DAF,∴AD平分∠BAC.∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),【一题多变】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A,过点B作BD⊥MN于点D,过点C作CE⊥MN于点E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)若BD=12cm,DE=20cm,求CE的长度.【一题多变】解:(1)∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,又∵BD⊥MN,CE⊥MN,∴∠BDA=∠AEC=9