33一阶微分方程的求解课件

电路暂态分析的目的是为了得到电路的时域响应。建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。电路暂态分析的目的是为了得到建立动态电路的状态方程，得到一阶13.3一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下，求微分方程的初值问题

基本思想：在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点、…处的函数近似值、…

3.3一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给2

当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商取代一阶导数

一.前向欧拉法令步长，则其近似值为：

近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于计算时数值舍入引起的。当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商一.前向欧拉法令3前向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。

欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，An（tn，yn），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn，yn）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。前向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线代替函数4例1.应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法又有：【思路】用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。例1.应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结5微分方程是一阶线性微分方程，

可求出其通解：则方程的解为：从而有：带入初值可得一阶非齐次线性微分方程微分方程是一阶线性微分方程，

6计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，

为精确值）n

01.000011.10.2718281830.3459198760.07401969321.20.6847555780.866642536031.2769783441.6072150790.33023673541.42.0935476882.6203595520.52681186451.53.1874451223.9676662950.78022117361.64.6208178465.7209615271.10014368171.76.4663963787.9638734791.497477101正计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，

为7分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不是很高。步长取定后，步数越多，误差越大。分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不8二、后向欧拉法用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为：对于给定初始条件的微分方程

其近似值：

二、后向欧拉法用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶9在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长终点的斜率。

后向欧拉法的几何意义：

精确值近似值在任一步长内，用一段直线后向欧拉法的几何意义：精确值近似10注：后向欧拉法的两种处理方式①前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式——须解出yk+1.②可用迭代法yk+1

(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n))n=0，1，2，…解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（结合前向欧拉法，预报）注：后向欧拉法的两种处理方式11例2.应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据后向欧拉法又例2.应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结12计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，

为精确值）n

01.000011.10.4442827750.345919876-0.09836289921.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215079-0.43374553341.43.3084097732.620359552-0.68805022151.54.9809113233.967666295-1.01324502861.67.1415858565.720961527-1.42062432971.79.8866975397.963873479-1.922824060负计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，

为精确值13三.梯形法及其预估-矫正法用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的一阶导数的平均值

梯形公式（欧拉中点公式）近似值：改进欧拉法三.梯形法及其预估-矫正法用一阶差商近似地代替函数在一个步14显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：然后将替代梯形公式等式右边出现的当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好的近似，则迭代一、二次即可预报校正迭代次数显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代15几何意义Euler法折线法改进Euler法平均斜率折线法几何意义16例3.应用梯形预估-矫正法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法梯形预估-矫正例3.应用梯形预估-矫正法解初值问题取步长h=0.1，并把17计算结果列表（为梯形预估-矫正法计算

近似值，为精确值）k

01.000011.10.3423777890.3459198760.00354208721.20.8583145370.8666425360.00832799931.31.5927496431.6072150790.01446543641.42.5982982392.6203595520.02206131351.53.9364441143.9676662950.03122218161.65.6789071035.7209615270.04205442471.77.9092092167.9638734790.054664263计算结果列表（为梯形预估-矫正法计算

近似值，18function[TY]=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M)%odefun:微分方程a、b：计算区间%ya：初值y(a)M：等分数目%T:离散的时间变量％Y梯形公式的预估校正法解h=(ab(2)-ab(1))/M;％步长T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);T=ab(1):h:ab(2);Y(1)=ya;forj=1:Mk1=feval(odefun,T(j),Y(j));k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);endFunctiony=euler_3_3_2(t,x)y=2/t*x+t^2*exp(t）[TY]=Trapezia_reckon('euler_3_3_2',[12],0,10)function[TY]=Trapezia_reckon19求解器求解问题特点说明ode45非刚性一步算法；4，5阶Runge-Kutta算法大部分场合的首选算法ode23非刚性一步算法；2，3阶Runge-Kutta算法使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法；变阶次的Adams-Bashforth-Moulton算法计算时间比ode45短ode23t刚性采用梯形算法适合中度刚性问题的求解ode15s刚性多步法；采用了数值差分算法若ode45失效时，可尝试使用;ode23s刚性一步法；2阶Rosebrock算法当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性隐式Runge-Kutta算法当精度较低时，计算时间比ode15s短不同求解器的特点求解器求解问题特点说明ode45非刚性一步算法；4，5阶Ru20在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时，往往又包含着多个变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具有“刚性(stiff)”，描述这类过程的微分方程称为“刚性问题”。例如，电路某一变量以e-t缓慢衰减，而另一变量以e-1000t快速衰减，两变量时间常数相差很大，建立的常微分方程就具有“刚性”。刚性问题数值解的稳定性通常被最快的模式控制，刚性问题解答的难度就在于其快变子过程的干扰。当我们试图在慢变区间上求解刚性问题时，尽管快变分量的值已衰减到微不足道，但这种快速变化的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度，一般地说，隐型方法比显型方法具有更大的稳定性，因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适.在MATLAB中，ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb适合求解刚性问题。在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时，往往又包含着多个变化21电路暂态分析的目的是为了得到电路的时域响应。建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。电路暂态分析的目的是为了得到建立动态电路的状态方程，得到一阶223.3一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下，求微分方程的初值问题

基本思想：在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点、…处的函数近似值、…

3.3一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解可归结为在给23

当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商取代一阶导数

一.前向欧拉法令步长，则其近似值为：

近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于计算时数值舍入引起的。当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商一.前向欧拉法令24前向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。

欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，An（tn，yn），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn，yn）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。前向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线代替函数25例1.应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法又有：【思路】用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式，根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。例1.应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结26微分方程是一阶线性微分方程，

可求出其通解：则方程的解为：从而有：带入初值可得一阶非齐次线性微分方程微分方程是一阶线性微分方程，

27计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，

为精确值）n

01.000011.10.2718281830.3459198760.07401969321.20.6847555780.866642536031.2769783441.6072150790.33023673541.42.0935476882.6203595520.52681186451.53.1874451223.9676662950.78022117361.64.6208178465.7209615271.10014368171.76.4663963787.9638734791.497477101正计算结果列表（为前向欧拉法计算近似值，

为28分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不是很高。步长取定后，步数越多，误差越大。分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不29二、后向欧拉法用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为：对于给定初始条件的微分方程

其近似值：

二、后向欧拉法用一阶差商近似代替在一个步长终点的一阶30在任一步长内，用一段直线代替函数的曲线，此直线段的斜率等于该函数在该步长终点的斜率。

后向欧拉法的几何意义：

精确值近似值在任一步长内，用一段直线后向欧拉法的几何意义：精确值近似31注：后向欧拉法的两种处理方式①前向Euler法为显式，后向Euler法为隐式——须解出yk+1.②可用迭代法yk+1

(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n))n=0，1，2，…解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（结合前向欧拉法，预报）注：后向欧拉法的两种处理方式32例2.应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据后向欧拉法又例2.应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结33计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，

为精确值）n

01.000011.10.4442827750.345919876-0.09836289921.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215079-0.43374553341.43.3084097732.620359552-0.68805022151.54.9809113233.967666295-1.01324502861.67.1415858565.720961527-1.42062432971.79.8866975397.963873479-1.922824060负计算结果列表（为后向欧拉法计算近似值，

为精确值34三.梯形法及其预估-矫正法用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的一阶导数的平均值

梯形公式（欧拉中点公式）近似值：改进欧拉法三.梯形法及其预估-矫正法用一阶差商近似地代替函数在一个步35显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：然后将替代梯形公式等式右边出现的当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的已是较好的近似，则迭代一、二次即可预报校正迭代次数显然，梯形公式是隐式法，一般求需要解方程，常采用迭代36几何意义Euler法折线法改进Euler法平均斜率折线法几何意义37例3.应用梯形预估-矫正法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法梯形预估-矫正例3.应用梯形预估-矫正法解初值问题取步长h=0.1，并把38计算结果列表（为梯形预估-矫正法计算

近似值，为精确值）k

01.000011.10.3423777890.3459198760.00354208721.20.8583145370.8666425360.00832799931.31.5927496431.6072150790.01446543641.42.5982982392.6203595520.02206131351.53.9364441143.9676662950.03122218161.65.6789071035.7209615270.04205442471.77.9092092167.9638734790.054664263计算结果列表（为梯形预估-矫正法计算

近似值，39function[TY]=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M)%odefun:微分方程a、b：计算区间%ya：初值y(a)M：等分数目%T:离散的时间变量％Y梯形公式的预估校正法解h=(ab(2)-ab(1))/M;％步长T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);T=ab(1):h:ab(2);Y(1)=ya;forj=1:Mk1=feval(odefun,T(j),Y(j));k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);endFunctiony=euler_