106差分与差分方程的概念-12课件

特征方程特征根解：∴通解为:

课前练习代入通解得所求特解：将代入以上两式，得：特征方程特征根解：∴通解为:课前练习代入通解得所求特解：将安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.6差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构一、差分的概念二、差分方程的概念微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFin§10.6差分与差分方程的概念微分方程差分方程区别未知函数为连续型未知函数为离散型两者性质相近，差分方程在经济中应用更广泛，象统计某经济量，以天、日为单位。§10.6差分与差分方程的概念微分方程差分方程区别未知函数研究函数y=f(t)在t时刻的变化速度问题.①若y=f(t)为连续函数,在点t

处的变化速度为一、差分的概念1、问题②若y=f(t)为离散函数,变化速度差商——微商研究函数y=f(t)在t时刻的变化速度问题.①若差商：——差分表示f(t)在t(整数)处变化速度的近似值。

设y=f(x),记为yx

,其中

x(通常表示时间)的取值为离散的等间隔整数值:x=0,±1,±2,…,则yx+1-yx称为函数yx在x处的差分,也称一阶差分,记为:2、差分的定义一、差分的概念差商：——差分表示f(t)在t(整数)处变化速度的近似值。例1.求下列函数的差分：⑴解：⑵⑶常数的差分为0幂函数的差分次数降低1次指数函数的差分是原指数函数的若干倍一、差分的概念例1.求下列函数的差分：⑴解：⑵⑶常数的差分为0幂函数的差分解：一、差分的概念例2

求下列函数的差分解：一、差分的概念例2求下列函数的差分3、差分的四则运算法则一、差分的概念参照导数的四则运算法则学习3、差分的四则运算法则一、差分的概念参照导数的四则运算法则学⑴二阶差分:差分△yx在x处的差分称为yx在x处的二阶差分,记为△2yx类似地有:⑵高阶差分:二阶和二阶以上的差分统称为高阶差分.4、高阶差分一、差分的概念⑴二阶差分:差分△yx在x处的差分称为yx在x解一、差分的概念例3

求解一、差分的概念例3求解：一、差分的概念例4解：一、差分的概念例4解：（公式）一、差分的概念例5解：（公式）一、差分的概念例5引例：已知电视机厂第x个月月初的库存量为Rx

，该月内生产、销售分别为m,n，则下月初库存量Rx+1为：差分方程二、差分方程的概念引例：已知电视机厂第x个月月初的库存量为Rx，该月内生定义1:

含有自变量x以及未知函数不同时期值的函数方程,称为差分方程。未知函数下标的最大差值称为该差分方程的“阶”。二阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程1、两种定义与阶一般形式:反映了未知函数不同时期值二、差分方程的概念定义1:含有自变量x以及未知函数不同时期值的函数方程定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。如：二阶差分方程三阶差分方程其中未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。一阶差分方程1、两种定义与阶一般形式:二、差分方程的概念定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。如：二阶差分方差分方程的两种形式可以相互转化,但“阶数”可能会不等价。如：二阶差分方程转化为另一种形式：即：一阶差分方程⑵约定以定义1为准，今后遇到第二种形式的差分方程要展开，化为第一种形式后再定它的阶数(∵经济领域中只讨论形如定义1型的差分方程)2、对定义的说明与约定⑴对定义的说明二、差分方程的概念差分方程的两种形式可以相互转化,但“阶数”解例6

下列等式是差分方程的有().二、差分方程的概念解例6下列等式是差分方程的有()解例7

确定下列方程的阶解例7确定下列方程的阶若将已知函数y=

(x)代入差分方程，使得方程两边成为恒等式，则称此函数为差分方程的解.3、解的定义二、差分方程的概念若将已知函数y=(x)代入差分方程，使得4、通解、特解与特注⑴通解:含有独立的任意常数,且常数个数与差分方程的阶数相同,这样的解称为差分方程的通解。⑵特解:不含有任意常数的解称为特解。(或在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为差分方程的特解)★⑶差分方程解的重要性质：“时滞性”

差分方程中自变量超前或滞后相同的时间间隔，而方程结构不变，则由此得到的新方程与原方程有相同的解，换言之，新老方程为同解方程。二、差分方程的概念4、通解、特解与特注⑴通解:含有独立的任意常数,且常数个数与规定：标准差分方程中最小下标为x。例如：即：注：标准化就是变量替换。应将差分方程化成标准方程,然后再求解。如：二、差分方程的概念规定：标准差分方程中最小下标为x。例如：即：注：标准化就是变⑴n阶常系数线性齐次差分方程三、常系数线性差分方程解的结构1、标准形式⑵n阶常系数线性非齐次差分方程⑴n阶常系数线性齐次差分方程三、常系数线性差分方程解的结构二阶常系数非齐次差分方程一阶常系数非齐次差分方程三阶线性非齐次差分方程三阶线性齐次差分方程(系数不是常数)三、常系数线性差分方程解的结构二阶常系数非齐次差分方程一阶常系数非齐次差分方程三阶线性非齐定理1(叠加原理)若y1(x),y2(x),…,yk(x)

是n阶线性齐次方程⑴的k个特解，则它的线性组合

仍为⑴的解。(其中C1,C2,…,Ck为k个任意常数)

2、线性差分方程解的结构定理⑴齐次线性差分方程的通解结构：(与线性微分方程类似)三、常系数线性差分方程解的结构问题:定理1(叠加原理)若y1(x),y2(x),…,yk(x定理2(通解结构定理)若y1(x)，y2(x)，…，yn(x)是

n阶线性齐次差分方程⑴的n个线性无关的特解,则其通解为

(其中C1,C2,…,Cn为n个任意常数）三、常系数线性差分方程解的结构那么称这些函数在区间内线性相关；否则称线性无关.

注：设为定义在区间内的个函数．如果存在个不全为零的常数，使得当在该区间内有恒等式成立定理2(通解结构定理)若y1(x)，y2(x)，…，yn(三、常系数线性差分方程解的结构⑵非齐次线性差分方程的通解结构：定理3设是阶常系数非齐次线性差分方程

的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么是阶常系数非齐次线性差分方程(2)的通解.三、常系数线性差分方程解的结构⑵非齐次线性差分方程的通解结构定理4设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和,如而与分别是方程,

的特解,那么就是原方程的特解.三、常系数线性差分方程解的结构定理4设非齐次方程(2)的右端是几个函数之作业：习题10-6(P411)

1，5作业：习题10-6(P411)特征方程特征根解：∴通解为:

课前练习代入通解得所求特解：将代入以上两式，得：特征方程特征根解：∴通解为:课前练习代入通解得所求特解：将安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.6差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构一、差分的概念二、差分方程的概念微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFin§10.6差分与差分方程的概念微分方程差分方程区别未知函数为连续型未知函数为离散型两者性质相近，差分方程在经济中应用更广泛，象统计某经济量，以天、日为单位。§10.6差分与差分方程的概念微分方程差分方程区别未知函数研究函数y=f(t)在t时刻的变化速度问题.①若y=f(t)为连续函数,在点t

处的变化速度为一、差分的概念1、问题②若y=f(t)为离散函数,变化速度差商——微商研究函数y=f(t)在t时刻的变化速度问题.①若差商：——差分表示f(t)在t(整数)处变化速度的近似值。

设y=f(x),记为yx

,其中

x(通常表示时间)的取值为离散的等间隔整数值:x=0,±1,±2,…,则yx+1-yx称为函数yx在x处的差分,也称一阶差分,记为:2、差分的定义一、差分的概念差商：——差分表示f(t)在t(整数)处变化速度的近似值。例1.求下列函数的差分：⑴解：⑵⑶常数的差分为0幂函数的差分次数降低1次指数函数的差分是原指数函数的若干倍一、差分的概念例1.求下列函数的差分：⑴解：⑵⑶常数的差分为0幂函数的差分解：一、差分的概念例2

求下列函数的差分解：一、差分的概念例2求下列函数的差分3、差分的四则运算法则一、差分的概念参照导数的四则运算法则学习3、差分的四则运算法则一、差分的概念参照导数的四则运算法则学⑴二阶差分:差分△yx在x处的差分称为yx在x处的二阶差分,记为△2yx类似地有:⑵高阶差分:二阶和二阶以上的差分统称为高阶差分.4、高阶差分一、差分的概念⑴二阶差分:差分△yx在x处的差分称为yx在x解一、差分的概念例3

求解一、差分的概念例3求解：一、差分的概念例4解：一、差分的概念例4解：（公式）一、差分的概念例5解：（公式）一、差分的概念例5引例：已知电视机厂第x个月月初的库存量为Rx

，该月内生产、销售分别为m,n，则下月初库存量Rx+1为：差分方程二、差分方程的概念引例：已知电视机厂第x个月月初的库存量为Rx，该月内生定义1:

含有自变量x以及未知函数不同时期值的函数方程,称为差分方程。未知函数下标的最大差值称为该差分方程的“阶”。二阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程1、两种定义与阶一般形式:反映了未知函数不同时期值二、差分方程的概念定义1:含有自变量x以及未知函数不同时期值的函数方程定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。如：二阶差分方程三阶差分方程其中未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。一阶差分方程1、两种定义与阶一般形式:二、差分方程的概念定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。如：二阶差分方差分方程的两种形式可以相互转化,但“阶数”可能会不等价。如：二阶差分方程转化为另一种形式：即：一阶差分方程⑵约定以定义1为准，今后遇到第二种形式的差分方程要展开，化为第一种形式后再定它的阶数(∵经济领域中只讨论形如定义1型的差分方程)2、对定义的说明与约定⑴对定义的说明二、差分方程的概念差分方程的两种形式可以相互转化,但“阶数”解例6

下列等式是差分方程的有().二、差分方程的概念解例6下列等式是差分方程的有()解例7

确定下列方程的阶解例7确定下列方程的阶若将已知函数y=

(x)代入差分方程，使得方程两边成为恒等式，则称此函数为差分方程的解.3、解的定义二、差分方程的概念若将已知函数y=(x)代入差分方程，使得4、通解、特解与特注⑴通解:含有独立的任意常数,且常数个数与差分方程的阶数相同,这样的解称为差分方程的通解。⑵特解:不含有任意常数的解称为特解。(或在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为差分方程的特解)★⑶差分方程解的重要性质：“时滞性”

差分方程中自变量超前或滞后相同的时间间隔，而方程结构不变，则由此得到的新方程与原方程有相同的解，换言之，新老方程为同解方程。二、差分方程的概念4、通解、特解与特注⑴通解:含有独立的任意常数,且常数个数与规定：标准差分方程中最小下标为x。例如：即：注：标准化就是变量替换。应将差分方程化成标准方程,然后再求解。如：二、差分方程的概念规定：标准差分方程中最小下标为x。例如：即：注：标准化就是变⑴n阶常系数线性齐次差分方程三、常系数线性差分方程解的结构1、标准形式⑵n阶常系数线性非齐次差分方程⑴n阶常系数线性齐次差分方程三、常系数线性差分方程解的结构二阶常系数非齐次差分方程一阶常系数非齐次差分方程三阶线性非齐次差分方程三阶线性齐次差分方程(系数不是常数)三、常系数线性差分方程解的结构二阶常系数非齐次差分方程一阶常系数非齐次差分方程三阶线性非齐定理1(叠加原理)若y1(x),y2(x),…,yk(x)

是n阶线性齐次方程⑴的k个特解，则它的线性组合

仍为⑴的解。(其中C1,C2,…,Ck为k个任意常数)

2、线性差分方程解的结构定理⑴齐次线性差分方程的通