新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册各章节教学课件(按课时排序含习题课共848张)

4.1数列的概念4.2.1等差数列的概念P974.2.2等差数列的前n项和公式P194

4.3.1等比数列的概念P2994.3.2等比数列的前n项和公式P3884.4*数学归纳法P463

5.1导数的概念及其意义P5125.2导数的运算P5955.3导数在研究函数中的应用P6581.数列及其相关概念(1)定义:按___________排列的一列数叫做数列.(2)项:数列中的_________叫做这个数列的项.(3)形式:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an是数列的第__项,第1项也叫做首项.确定的顺序每一个数n第1课时数列的概念与简单表示法

【思考】

(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….2.数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数_____的数列无穷数列项数_____的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列常数列各项都_____的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列有限无限大于小于相等3.函数与数列的关系数列{an}是从________(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).正整数N*【思考】函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.

4.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用_________来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.一个式子【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (

)(2){an}与an是一样的,都表示数列. (

)(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的. (

)(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.(

)提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.(4)×.第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为 (

)

A.an=n,n∈N* B.an=n+1,n∈N*C.an=n+2,n∈N* D.an=2n,n∈N*【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N*.3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的 (

)A.第9项 B.第10项 C.第11项 D.第12项【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________.

【解析】a8=2×8-1=15.答案:15类型一数列的概念以及分类【典例】1.下列说法错误的是 (

)A.数列4,7,3,4的首项是4B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3C.数列1,2,3,…就是数列{n}D.数列中的项不能是三角形2.已知下列数列:①2011,2012,2013,2014,2015,2016;②1,,,…,,…;③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号).

【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.答案:①⑥

②③④⑤

①⑤

②

⑥

③④【内化·悟】1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.2.如何判断两个数列是相同数列?提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.【类题·通】数列概念的三个注意点(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.【习练·破】下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (

)A.1,,,…B.sin,sin,sin,sin,…C.-1,-,-,-,…D.1,2,3,4,…,30【解析】选C.数列1,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin,sin,sin,sin,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.【加练·固】下列数列(1)1,2,22,23,…,263;(2)0,10,20,30,…,1000;(3)2,4,6,8,10,…;(4)-1,1,-1,1,-1,…;(5)7,7,7,7,…;(6)其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号)

【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是(3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是(4),常数列是(5).答案:(1)(2)

(3)(4)(5)(6)

(1)(2)(3)

(6)

(4)

(5)类型二观察法写出数列的通项公式【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为(

)

A.an=3n B.an=n(n+2)C.an=n+2n D.an=2n+12.写出下列数列的一个通项公式:(1),2,,8,,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)…;(5)…;(6)4,0,4,0,4,0,….【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,所以an=n+2n.2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:

…,所以,它的一个通项公式为an=.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an=(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.【素养·探】在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.【类题·通】(1)用观察法求数列通项公式的策略(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.【习练·破】写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…;(2)1,2,3,4,…;(3)1,11,111,1111,….【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N*).(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N*).(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9999,…,易知数列9,99,999,9999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N*).【加练·固】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,11,13,…;(2),,,,,…;(3)0,1,0,1,0,1,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(5)2,-6,12,-20,30,-42,….【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积an=(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,所以(5)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,所以an=(-1)n+1n(n+1).类型三数列通项公式的简单应用【典例】已知数列{an}的通项公式为an=.(1)求a10.(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.(3)求证:0<an<1.【思维·引】(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10.(2)令an=,若n为正整数,则是{an}的项,否则,不是{an}的项.(3)分离常数后可证.【解析】(1)根据题意可得a10=(2)令an=,即=,解得n=3,所以为数列{an}中的项,为第3项.(3)由题知an==1-,因为n∈N*,所以3n+1>3,所以0<<1,所以0<1-<1,即0<an<1.【类题·通】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.【习练·破】数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.(1)-60是否是{an}中的一项?(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,则-60=30+n-n2.解得n=10或n=-9(舍去).所以-60是{an}的第10项.(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,解得n=6;0<n<6;n>6,即n=6时,an=0;当0<n<6且n∈N*时,an>0;当n>6且n∈N*时,an<0.【加练·固】已知数列{an}的通项公式为an=.(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.【解析】(1)因为an=,所以a4==,a6==.(2)令=,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到n∈N*,故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.1.有下列命题:①数列…的一个通项公式是an=②数列的图象是一群孤立的点;③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列;④数列是递增数列.其中正确命题的个数为 (

)A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选A.由通项公式知a1=≠,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.2.数列…的一个通项公式是 (

)【解析】选B.因为数列…的第三项可写成这样,每一项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________.

【解析】由已知得a3=51-3=.答案:

4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an=n∈N*,则是数列中的第________项.

【解析】根据题意,数列{an}中,已知an=若

即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).答案:4【新情境·新思维】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:2=2×1=2×12=2×8=2×4=2×22=2×18=2×9=2×32=2×32=2×16=2×42=2×50=2×25=2×52=2×…则该数列第18项为2×=2×92=2×81=162.第2课时数列的通项公式与递推公式

1.数列的递推公式数列的表示法意义结构通项公式an可以用关于__的式子表示an=f(n)递推公式数列的_________或_____之间的关系可以用一个式子表示an=f(an-1)(n>1)n相邻两项多项【思考】数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?提示:

不同点相同点通项公式可根据某项的序号,直接用代入法求出该项都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项2.数列的前n项和数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和.记作Sn.即Sn=___________.a1+a2+…+an【思考】数列{an}的通项公式和其前n项和Sn的关系是什么?提示:an=

【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)递推公式不能用来表示数列. (

)(2)所有的数列都有递推公式. (

)(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.(

)(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列. (

)提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.(3)×.还需知道数列中至少一项的值.(4)√.该数列每一项都相同.2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为 (

)

A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.3.已知数列{an}满足a1<0,=2(n∈N*),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”).

【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N*),得an<0(n∈N*).又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.答案:递减类型一由递推公式写数列的项【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),那么a4的值为 (

)

A.4 B.8 C.15 D.312.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________.

3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);(2)a1=1,an+1=(n∈N*);(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N*).【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8.答案:83.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.(2)因为a1=1,a2=,a3=,a4=,a5==,所以an=.(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,所以an=1+2×3n-1.

【内化·悟】由递推公式写出通项公式的步骤是什么?提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.(3)归纳总结写出一个通项公式.【类题·通】由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

【习练·破】设数列{an}满足写出这个数列的前五项.【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=.类型二由递推公式求通项公式角度1累加法【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.【解析】an+1-an=ln=ln(1+n)-lnn,a1=2,a2-a1=ln2,a3-a2=ln3-ln2,a4-a3=ln4-ln3,…an-an-1=lnn-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得an=2+ln2+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)].所以an=2+lnn(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+lnn.【素养·探】在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2)”,求数列的通项公式.【解析】因为an=an-1+(n≥2),所以an-an-1==,所以a1=1,a2-a1=,a3-a2=,a4-a3=,…an-an-1=.所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+(-)+(-)+(-)+…+(-)=-+1.当n=1时a1=1也适合上式,所以an=-+1.角度2累乘法【典例】设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列的通项公式an.【思维·引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.【解析】因为a1=1,an=an-1(n≥2),所以,an=×××…×××a1=×…××1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.【类题·通】1.用“累加法”求数列的通项公式当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.2.用“累乘法”求数列的通项公式当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=···…··a1累乘来求通项an.【习练·破】已知数列{an}中,a1=1,当n∈N*且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,所以=,所以·…·=·

·

·…·

·=所以,所以an=,当n=1时符合上式,所以an=,n∈N*.【加练·固】若a1=2,an+1=an,求该数列{an}的通项公式.【解析】由an+1=an,可得=,则an=·…·

·a1=·

·

·…·

·2=,n=1时,a1=2也满足上式,所以an=.类型三数列相关概念的应用角度1

Sn与an的关系【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N*).【素养·探】本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.所以an=(n∈N*).角度2数列的单调性【典例】已知函数f(x)=(x+1)(x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)(n∈N*).(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.(2)求该数列的最大项.【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.【解析】(1)an=f(n)=(n+1).所以an+1-an=(n+2)-(n+1)=,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….所以数列{an}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.a9=a10=10×.【内化·悟】数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.【类题·通】1.关于Sn与an的关系数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an=求通项公式时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.2.数列单调性的判断方法根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1<an,则{an}是单调递减数列;若an+1=an,则{an}是常数列.作差法:若an+1-an>0,则数列{an}是单调递增数列;若an+1-an<0,则数列{an}是单调递减数列;若an+1-an=0,则数列{an}是常数列.3.求数列的最大项和最小项的方法方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.方法二:解不等式(组):设an是最大项,则有对任意n∈N*且n≥2均成立,解不等式组即可.【习练·破】1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是 (

)

A.107 B.108 C.108 D.109【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2+108,由于n∈N*,故当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________.

【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,答案:7

【加练·固】数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1<n<4,n∈N*,所以数列中仅有两项a2,a3是负数.(2)an=n2-5n+4=其对称轴为n=,又n∈N*,所以n取2,3时,an有最小值-2.1.符合递推关系式an=an-1的数列是 (

)

A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,…C.,2,,2,… D.0,,2,2,…【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.2.已知数列{an}的通项公式为an=则数列{an}为 (

)A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.无法确定数列的增减性【解析】选B.因为an=所以n≥2时,an-an-1=2+<0,所以an<an-1,所以数列{an}为递减数列.3.已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则a5=________.

【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:2554.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2020=________.

【解析】因为a2=-a3=-=2,a4=-=a2,所以{an}的周期为2,所以a2020=a2=-.答案:-【新情境·新思维】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足 (

)A.an+1=4an-3n B.an+1=4an-1C.an+1=2an+1 D.an+1=2an+n【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.第1课时等差数列的概念

第2课时等差数列的性质及应用

4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的前n项和公式

第2课时等差数列习题课

4.2.2等差数列的前n项和公式1.等差数列的定义(1)条件:①从第__项起.②每一项与它的_______的差都等于_______常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_____,常用__表示.2前一项同一个公差d【思考】(1)为什么强调“从第2项起”?提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.

2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:__叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=____.Aa+b【思考】等式“2A=a+b”有哪些等价形式?提示:2A=a+b⇔A-a=b-A⇔A=.

3.等差数列的通项公式递推公式通项公式______=d(n∈N*)an=_________(n∈N*)an+1-ana1+(n-1)d【思考】等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?提示:an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R),当x=n时的函数an=f(n).等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上;反之一次函数f(x)=kx+b可以构成等差数列{nk+b},首项为k+b,公差为k.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. (

)(2)常数列也是等差数列. (

)(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. (

)(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. (

)提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.2.下列数列是等差数列的是 (

)

A. B.1,C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0【解析】选D.因为-≠-,故排除A;因为-1≠-,故排除B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为(

)A.an=3n-1 B.an=2n+1C.an=2n+3 D.an=3n+2【解析】选A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.4.+1与-1的等差中项是 (

)A.1 B.-1 C. D.±1【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x=类型一等差数列的定义及应用【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=________.

2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),bn=(n∈N*).求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为=某常数的形式,方法二:bn+1-bn是常数.【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*,所以数列{an}是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.答案:-12.方法一:因为所以=+3,所以-=3,又因为bn=(n∈N*),所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1==.所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.方法二:因为bn=,且an+1=,所以bn+1===+3=bn+3,所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1==.所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.【素养·探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N*)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.将本例2的条件“a1=2,an+1=”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其他条件不变,如何解答?【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),所以=1(n≥2).又因为bn=,所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1==2.所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.【类题·通】定义法判定数列{an}是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.【习练·破】若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.【加练·固】1.以下选项中构不成等差数列的是 (

)A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos0,cos1,cos2,cos3D.a-1,a+1,a+3【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.2.判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2(不是常数),所以此数列不是等差数列.类型二等差中项的应用【典例】1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为 (

)

A. B. C. D.2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=(

)A.2 B. C.1 D.3.已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.【思维·引】1.a,b的等差中项为(a+b).2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.【解析】1.选A.a,b的等差中项为==.2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.3.因为成等差数列,所以,化简得2ac=b(a+c),又======2·,所以,,成等差数列.【内化·悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.【类题·通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m<n).2.等差中项法判定等差数列若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.【习练·破】1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于 (

)A. B. C. D.【解析】选C.所以a=,b=x.所以.2.已知成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知成等差数列,可得

,所以,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.【加练·固】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而16=(6-d)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.类型三等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数是 (

)

A.n B.3n+11C.n+4 D.n+32.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列为等差数列,则an=________.

3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.2.先求,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x=n+3.方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以,=,又数列为等差数列,所以其公差d=,所以=+(n-1)d=(n-1)=,所以an=.答案:

3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,得解得所以an=+(n-1)=n+3.(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an=n+3=85,得n=∉N*,故85不是数列中的项.【内化·悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.【类题·通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.【习练·破】1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2022的值为 (

)

A.672 B.673 C.674 D.675【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,所以2(1-x)=x+3x,解得x=,所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=,所以a2022=a1+(2022-1)×d==674.2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________.

【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.答案:46【加练·固】1.2000是等差数列4,6,8,…的 (

)A.第998项 B.第999项C.第1001项 D.第1000项2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________.

3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.【解析】1.选B.因为此等差数列的公差d=2,所以an=4+(n-1)×2,即2000=2n+2,所以n=999.2.设首项为a1,公差为d,则有即解得a1=-2,d=3.答案:-2

33.由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4.所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以a20=5-4×20=-75.即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(

)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.2.已知2,b的等差中项为5,则b为 (

)A. B.6 C.8 D.10【解析】选C.因为2,b的等差中项为5,所以=5,所以2+b=10,所以b=8.3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的 (

)A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项【解析】选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项an=________.

【解析】因为an+1-an+1=0(n∈N*),即an+1-an=-1,所以数列{an}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以an=2-(n-1)=3-n.答案:3-n【新情境·新思维】等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=(2)由(1)知,bn=当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以b1+b2+…+b10=1×3+2×2+3×3+4×2=24.第2课时等差数列的性质及应用

1.等差数列中项与序号的关系(1)两项关系an=_________(m,n∈N*).(2)多项关系若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),则an+am=_____.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=___.am+(n-m)das+at2ap【思考】(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),m≠n,如何求出公差d?其几何意义是什么?提示:d=等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d=为直线的斜率.

(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq?提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.2.等差数列的项的对称性文字叙述在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和符号表示n为偶数n≥2a1+an=a2+an-1=…=n为奇数n≥3a1+an=a2+an-1=…=23.由等差数列构成的新等差数列(1)条件{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列(2)结论数列结论{c+an}公差为d1的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd1的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为2d1的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)4.等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d,(1)当d>0时,数列{an}为_____数列.(2)当d<0时,数列{an}为_____数列.(3)当d=0时,数列{an}为___数列.递增递减常【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. (

)(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列. (

)(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N*).(

)(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N*,则am+an=ar. (

)提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.2.(2020·常州高二检测)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=(

)

A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.3.等差数列{an}中,若a4=13,a6=25,则公差d等于 (

)A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选B.因为