建筑工程之结构力学讲义73

虚功原理与结构位移计算第7章11/20/20221§7-1应用虚功原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移以上都是相对位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便11/20/20222二、虚功原理1、实功与虚功

实功是力在自身引起的位移上所作的功。如T11，T22，

实功恒为正。

虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。P1P2Δ11Δ22Δ12荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。ΔPΔ11P1元功：再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功为：在Δ12过程中，P1的值不变，Δ12与P1无关dTOABΔKj位移发生的位置产生位移的原因11/20/202232、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量PΔmβ2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABΔBΔA这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABΔmmAB这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。11/20/20224abABCP=1ABCab三、虚力原理已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。——虚设力系求刚体体系位移11/20/20225四、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程11/20/20226BABA1AB虚功方程：BABA1A例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移。例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移。11/20/20227例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡条件：虚功方程：当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：11/20/20228§7-2结构位移计算的一般公式——变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径{由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－局部到整体。一、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。11/20/20229dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。或11/20/202210二、、结结构构位位移移计计算算的的一一般般公公式式一根根杆杆件件各各个个微微段段变变形形引引起起的的位位移移总总和和：：如果果结结构构由由多多个个杆杆件件组组成成，，则则整整个个结结构构变变形形引引起起某某点点的的位位移移为为：：若结结构构的的支支座座还还有有位位移移，，则则总总的的位位移移为为：：11/15/202211适用范围围与特点点：2）形形式上是是虚功方方程，实实质是几几何方程程。关于公式式普遍性性的讨论论：（1）变形形类型：：轴向变变形、剪剪切变形形、弯曲曲变形。。（2）变形形原因：：荷载与与非荷载载。（3）结构构类型：：各种杆杆件结构构。（4）材材料种类类：各种种变形固固体材料料。1）适适于小变变形，可可用叠加加原理。。11/15/202212位移计算算公式也也是变形形体虚功功原理的的一种表表达式。。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形体虚虚功原理理：各微微段内力力在应变变上所作作的内虚虚功总和和Wi，等于荷载载在位移移上以及及支座反反力在支支座位移移上所作作的外虚虚功总和和We。即：11/15/202213三、位移移计算的的一般步步骤:K1实际变形形状态虚力状态态(1)建建立虚力力状态：：在待求求位移方方向上加加单位力力；(2)求虚力状态下的内力及反力表达式;(3)用用位移公公式计算算所求位位移，注注意正负负号问题题。11/15/202214§7-3荷荷载作用用下的位位移计算算研究对象象：静定定结构、、线性弹弹性材料料。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。一、计算算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。（2）由由上面的的内力计计算应变变，其表表达式由由材料力力学知k--为截面形形状系数数1.2(3)荷荷载作作用下的的位移计计算公式式11/15/202215二、各类类结构的的位移计计算公式式（1）梁梁与刚架架（2）桁桁架（3）拱拱11/15/202216qACB(a)实际状状态P=1ACB(b)虚设状状态AC段CB段例1.试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）列列出两两种状状态的的内力力方程程：11/15/202217AC段CB段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段11/15/202218CB段设为矩矩形截截面k=1.211/15/2022193）讨论比较剪切变变形与弯曲曲变形对位位移的影响响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式11/15/202220PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2计计算屋架顶顶点的竖向向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB11/15/2022211111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG11/15/202222PP=1例3：求图图示曲杆（（1/4圆圆弧）顶点点的竖向位位移Δ。解：1）虚虚拟单位荷荷载虚拟荷载3）位移公公式为ds=Rdθθdθds钢筋混凝土土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412øöçèæ==DDMQRhGAREIk可见剪切变变形和轴向向变形引起起的位移与与