2020-2021备战中考数学易错题专题复习-平行四边形练习题

战中考数学易错题专题复习-平行四边形练习题一、平四边形1．在图中正方形ABCD的边长为a，腰直角三角形FAE的边＝，且边和AE在同一直线上．操作示例当2b＜时，如图1，上取点，BG＝，结FG和，裁eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)并分别拼接eq\o\ac(△,)和CHD的置构成四边形．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先eq\o\ac(△,)FAG绕点F逆时针旋转90°eq\o\ac(△,)的置，易知EH与AD在一直线上．连结，剪方法可得DH=BG，eq\o\ac(△,)CHDCGB，而又可eq\o\ac(△,)CGB绕C顺针旋转eq\o\ac(△,)的置．这样，对于剪拼得到四边形FGCH（如图1），过点F作AE于M（图略），利用SAS公可判eq\o\ac(△,)HFMCHD，易得，．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究正方形的积是；用含ab的子表示类比图1的拼方法，请你就图图的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点的置在方向上随着b的大不断上移．当b＞时（如图5），能否剪成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不，简要说明理由．【答案】（）+b；（）见解析；联想拓展：能剪拼成正方.见析．【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的积BG+BC2

进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化永等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时也可直接沿正方形的对角线分割．详解：实践探究：正方形的面积是BG+BC剪拼方法如图2-；

=a+b

；联想拓展：能，剪拼方法如图5（中BG=DH=b）．．点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．2．如图eq\o\ac(△,)是等边三角形，，为中点．动点、在AB上时从点出发，点P沿D→A以1cm/s速度向终点运动．点沿D→B以2cm/s的速度运动，回到点停．以PQ为在上方作等边三角形．eq\o\ac(△,)绕QN的点旋转180°得eq\o\ac(△,)．设四边形eq\o\ac(△,)ABC重部分图形的面积为Scm）点运动的时间为（）0＜）．当点落边BC上时，求的值．当点到A、的距离相等时，求的．当点沿D→B运时，求S与t之间的函数表达式．设四边形PQMN的MNMQ与BC的交点分别是E、，接写出四边形PEMF与四边形PQMN的积比为：时t的．菱PQMN形=菱PQMN形=【答案】（）（2）2（3）S=S=2S

△

；（）t=1或【解析】试题分析：1）题意知：当点N落边BC上时，点与点重，此时DQ=3（）点到点A、的离相等时，点N在的线，此时PD=DQ；（）0≤t≤时四边形PQMNeq\o\ac(△,)重部分图形为四边形；≤t≤时四边形PQMNeq\o\ac(△,)重部分图形为五边形PQFEN．（）、与BC的有交点时，此时＜＜

，列出四边形与边形的面积表达式后，即可求出的．试题解析：1）与ABC都是等边三角形当落在边BC上，点Q与点重．．t=；（）当到A、的离相等时，点N在AB的线上，PD=DQ，当0＜＜时，此时，，t=2tt=0（不合题意，舍去），当＜时此时，，DQ=6﹣2tt=6﹣，解得t=2；综上所述，当点到点、的离相等时，t=2；==（）题意知此时PD=t，当点在BC边上时，MN=BQ，﹣﹣解t=如图，0≤t时eq\o\ac(△,)

=PQ=；S=S

菱

=2S

△

，如图，≤t时设MN、MQ与BC的点分别是、，，﹣，﹣NE=PQBQ=5t﹣，EMF是等边三角形，

eq\o\ac(△,)EMF

=ME=

（﹣）．；（）、与BC的交点分别是E、，此时＜＜t=1或

，．考点：几何变换综合题3．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为形，点，的坐标分别为（，）（，），动点MN分从，同出发．以每秒1个位的速度运动．其中，点M沿OA向点A运动，点沿向终点C运动．过点M作MP，AC于，接NP，已知动点运动了x秒．P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；试eq\o\ac(△,)NPC面S的达式，并求出面积的最大值及相应的值当为何值时eq\o\ac(△,)NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．【答案】（）点坐标为，

x）．（）的大值为

，此时．（）

，或x=

，或x=

．【解析】试题分析：1）P点坐标，也就是求和PM的，已知了OM的为，关键是求出PM的，方法不唯一，可过PMOC得的对应成比例线段来求；②也延长MP交BC于Q，先在角三角形CPQ中根据CQ的和ACB的切值求出的，然后根据﹣PQ来出PM的．得出和PM的长，即可求出P点的坐标．可按（）中的方法经求出的，而CN的可根据﹣来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，的数关系式．本题要分类讨论：当时可在直角三角形中，用CQ的即和ABC的弦值求出CP的表达式，然后联立CN的达式即可求出x的值；当CP=PN时那么，在直角三角形CPQ中出CQ的，然后根据QN=CNCQ求QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的．当CN=PN时先求出QP和的，然后在直角三角形PNQ中用勾股定理出的长，联立的达式即可求x的．试题解析：1）点作PQ于点Q，有题意可得AB，△，∴∴解得QP=∴PM=3﹣

由题意可知C（0，3），M，0）（4，3）P点为﹣）（2）NPC的为在△中，，NC边高为

，其中0≤x∴S=

（4）×x=

（2

=﹣

﹣2）2

+

．的大值为

，此时．（3）长MP交CBQ，PQ①，，∴NQ=CQ=x∴x=．②CP=CN，则，CP=∴x=③CN=NP，NQ=4﹣2x，

，4，∵eq\o\ac(△,Rt)PNQ中PN

2

=NQ

2+PQ

2，∴（4）

2

=（42

+

2

，∴x=综上所述，

，或x=

，或x=

．考点：二次函数综合题．4．操作：如图，边长为2的正方形ABCD点P在线上，eq\o\ac(△,)沿向右翻折，得eq\o\ac(△,)，DE所直线与AP所直线交于点．探究：1）图1，点P在段BC上①若，求的数；若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点会线段BC的什么位置？并求出此AFD的度数．归纳：2）点P是线段BC上任意一点时（不与B，重）AFD的数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：3）图2，点P在BC边延长线上时的数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（）；②BC的点45°；（）不会发生变化，证明参见解析；3）会发生变化，作图参见解.【解析】试题分析：1）点在线段BC上时，由叠得到一对角相等，再利用正方形性求出度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可由E为DF中点，得到P为BC中点，如图，连接BE交AF于O作，EGBC，得到AF垂直平分BE，而得到三角形BOP与角形EOG全，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，到为BC中点，进而求出所求角度数即可；2）点P是线段BC上意一点时（不与B，重），AFD的数不会发生化，作AGDF于点G，图1（）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求1+的数，即为度数，即可求出F度数；3）作出相应图形，如图2所，若点P在BC边延长线上时，AFD的数不会发生变化，理为：作DE于G，得，EAG=，据为BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：1）当P在线段BC上，EAP=BAP=30°，﹣，eq\o\ac(△,)ADE中，，DAE=30°，ADE=AED=（﹣），中FAD=30°+30°=60°，ADF=75°，AFE=180°﹣﹣②点E为DF的中点时，也为BC的点，理由如下：如图，连接BE交于点O，EGAD，得EGBCAD，DE=EF，，，点A在线段BE的直平分线上，同理可得点P在段BE的直平分线上AF垂直平分线段BE，OB=OEGEBP，，OPB=，，BP=EG=1，即为BC的中点DAF=90°﹣BAF，ADF=45°+BAF，AFD=180°﹣DAF﹣ADF=45°；2）AFD的度数不会发生变化，作AGDF于G，如图1（）示，eq\o\ac(△,)中，，，平分，即2=，且1=，1+×90°=45°，，AFD=90°﹣；）图所示，AFE的小不会发生变化AFE=45°，作DE于G，，设EAG=，BAE=90°+2，FAE=BAE=45°+，﹣EAG=45°，eq\o\ac(△,)AFG中，AFE=90°﹣．考点：正方形性质；2.叠性质；全三角形的判定与性.5．在ABC中，，是AC的中点，点P是上的一个动点（点P不与点，，重）．过点A，C作直线BP的线，垂足分别为点E和F，接，．如图1，请直接写出线段OE与的量关系；如图2，当ABC=90°时请判断线段与之的数量关系和位置关系，并说明理由若CFAE|=2，EF=2，当POF为腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（）=OE；2）EK，，理由见解析；（）OP的长为62或3

.【解析】【分析】（）图1中，延长交CF于K，证eq\o\ac(△,)AOECOK，而可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（）图2中延长EO交于K，已知证eq\o\ac(△,)BCFeq\o\ac(△,)AOECOK，继而可证eq\o\ac(△,)EFK是腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFEK；（）点P在AO上CO上两种情况分别画图进行解答即可.【详解】（）图1中，延长交CF于K，BE，BE，，KCO，，，AOECOK，OE=OKEFK是角三角形OF=

EK=OE；（）图2中延长EO交于K，ABC=AEB=，ABE+，ABE+，CBF，AB=BC，，BE=CF，，AOE，AE=CKOE=OK，FK=EF，EFK是腰直角三角形OF，（）图3中点P在段AO上延长EO交CF于K作OF于H，|CF﹣AE|=2，，FK=2，在eq\o\ac(△,)EFK中，tanFEK=

，FEK=30°，EKF=60°，EK=2FK=4，

EK=2，OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有，在eq\o\ac(△,)PHF中，PH=

PF=1HF=3，﹣3，OP=

122

62.如图中点P在段OC上，当PO=PF时，PFO=30°，，2OP=OE=，3综上所述：的长为6或

3

.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关.6．已知：在菱形中，E，F是BD上两点，且AE．求证：四边形AECF是形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得ABCD，＝，＝，SAS可eq\o\ac(△,)，得AF＝，eq\o\ac(△,)CDF可得＝，平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是形．【详解】证明：四形是形ABCD＝，ADF＝CDFAB＝，＝CDF，＝ADFCDF（）AF＝，ABCDCFABE＝CDF，AEFCFEAEB＝CFD，＝CDF，＝ABE（）AECF，AECF四形AECF是行四边形又AF＝，四形AECF是形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判7．如图，是方形，点是上的任意一点DE于E，，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解.【解析】【分析】由四边形为正方形，可得BAD为90°，，而得到与EAD互，又DE垂直于，到与ADE互余，根据同角的余角相等可得ADE=BAF利用AAS可eq\o\ac(△,)；用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF等量代换可得证【详解】ABCD是方形，AD=ABBAD=90°DEAG，AED=90°ADE+DAE=90°又BAF+DAE=，ADE=．BFDE，．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中AED

，

ADABABFDAE（）BF=AE．，AF=BF+EF点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．8．如图，正方形的长为，为BC上定点，6，为AB上动点，把BEF沿EF折，点B落在点处，eq\o\ac(△,)AFB恰好为直角三角形时D的为？【答案】

或2【解析】【分析】分两种情况分析：如图，当AB′F=90°，此时A、′、三共线，过点B作AB，，由三角形的面积法则可求得，由勾股定理可求得B，在eq\o\ac(△,)CB′N中由勾股定理得，′D=

2

+DN

2

=

2

5.6

2；如图2，当AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，点B作B′N，四形AFB′N为矩形，在eq\o\ac(△,)′N中由勾股定理得′D=+DN2=22；【详解】如图，AB′F=90°，此时AB、三共线，，AE=

2

2

=82

2，，AB′=4，，，在eq\o\ac(△,)′F中，AB′F=90°由勾股定理得，=FB+AB

，AF=5，，过点作ABB由三角形的面积法则可求得B，由勾股定理可求得′N=3.2，AN=B，DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在eq\o\ac(△,)CB′N中由勾股定理得，′D=+DN2=22

；如图，AFB′=90°时，由题意可知此时四形是方形，AF=2，过点作，则四边形AFB′N为形AN=B，，在eq\o\ac(△,Rt)′N中由勾股定理得′D=

+DN

2

=

2；综上，可得B的长为

或2.【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关.9．如图，在正方形中，E是边AB上的一动点，点F在BC的延长线上，且CF，连接DE，，.FH平交BD于.求证：；求证：DHDF：过点作⊥于，用等式表示线段，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（）见解析；2详见解析；（）HM，证明详见解析【解析】【分析】（）据正方性质，CFAE得DEDF.（）

△CFD

，得DE.由

，BD平

ABC

，得

45

.因FH平EFB所以EFH.由EFH所以DH.

,（）点H作

HN

于点

，由正方形

ABCD

性质，得BD

AB2AB

.由平

，EF,HN

，得.因为HBN

，所以

BH

HNsin

2HM

.由

EF

DFcos45

DF2DH

，得EF.【详解】（）明四边形是方形，AD，EAD

.

EADFCD

.CFAE。

CFD

.

ADE

.

CDFADE

..（）明DF.

eq\o\ac(△,≌)CFD

，

，

DEFDFE

.

，平，

45

.FH平分，BFH.22

DBFBFH

,EFH

,DHFDFH

.DHDF

.（）EFAB.证明：过点H作

HNBC

于点

，如图，正形

ABCD

中，AD，BAD90

BD

AB

2AB

.FH平分

EFBHMEF,

HN

，.

，

BH

HNsin

HNHM

.

2AB2.

EF

DFcos45

DF

DH

，HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函.10．有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝cm，＝cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折，点落四边形AECD内记为点′过作垂BC，B于．求、的置关系；求线段′的长，并eq\o\ac(△,求)的积．【答案】（）解析；2）S

＝△

10825

．【解析】【分析】由折线法及点是的点，可证eq\o\ac(△,)B'EC是等腰三角形，再有条件证AEF=90°即可得到AE；连接BB，通过折叠，可知EBBEB，是BC的点，可得EB，ECB，而可eq\o\ac(△,)′C为角三角形，在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BOE中，可将OB，′的长求出，在eq\o\ac(△,)BB′C中根据勾股定可将B′C的值求出.【详解】（）折线法点是BC的点，EBEB＝，＝AEB′，是腰三角形，又B′CEF为B'EC的平分线，即′＝，AEF＝﹣（AEB）＝90°即AEF＝，即AEEF（）接BB交AE于O，折线法及点是BC的点，EBEB＝，EBB＝EB，＝C；又BB'三内角之和为180°，BB＝90°；点B是点B关于直线AE的称点，AE垂直平分BB′；在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BOE中，2＝将AB＝cm，BE＝，AE＝，

﹣2＝

﹣﹣）＝

cm，BO＝

2＝

，′＝BO＝

cm，在eq\o\ac(△,)BB中，B＝

BC2

BB＝

cm，由题意可知四边形OEFB是形，＝′＝

，S′＝

1812108C*EF

．【点睛】考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．图，已知矩形ABCD中E是上点，是AB上一点，EC，且＝．（）证eq\o\ac(△,)．（）DE＝，矩形的长为32cm，求AE的长．【答案】（）明见解析；2）【解析】分析：1）据EFCE，求证．利用AAS即求eq\o\ac(△,)AEFDCE．（）用全等角形的性质，对应边相等，再根据矩形的长为32cm，即可求得AE的长详解：1）明EFCE，FEC=90°，，ECD+DEC=90°，．在eq\o\ac(△,)AEF和eq\o\ac(△,)DEC中，，．．（）：AEFDCEAE=CD．AD=AE+4．矩的长为32cm，（）．解得，）．答：AE的为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．12．题情境在四边形中，＝，，过点作DEAB交BC的长线于点，是的点，连接，ME.特例探究如图1，当＝时写出线段MB与ME的量关系，位置关系；如图2，当＝时试探究段与的量关系，并证明的结论；拓展延伸如图3，当＝时，请直接用含α的子表示线段MB与ME之的数量系．【答案】(1)MB＝，ME；＝MB证明见解析＝tan【解析】【分析】如图1中连接．只要证eq\o\ac(△,)MBE是腰直角三角形即可；结论：3MB．只要证eq\o\ac(△,)EBM是角三角形，MEB=30°即可；

.（）论：EM=BM•tan

．证明方法类似；【详解】(1)如1中连接CM．ACD=90°，AM=MD，MC=MA=MD，，BM垂平分AC，，

，ACB=，ABDE，ABE+DEC=180°，DEC=90°，DCE=，EC=ED，EM垂直平分线段CD，平分DEC，MEC=45°BME等腰直角三角形，，EM故答案为，EM(2)ME＝MB．证明如下：连接，如解图所示．DCAC，是AD的点，MC＝＝MD．BA＝，BM垂平分AC＝，＝，MBE＝＝，BAC＝＝，DCE＝60°.ABDE，＋DEC＝，DEC＝，＝DEC＝，CDE是边三角形，＝．MC＝，EM垂直平分CD，平分DEC，＝

DEC＝30°，MBE＋MEB＝，BME＝在eq\o\ac(△,Rt)BME中，30°，＝．(3)如3中结论：EM=BM•tan

．理由：同法可证，平分ABC，所以EM=BM•tan

．【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．13．图AB为O的直径，点E在O上，过点E的线与AB的长线交于点，连接BE，过点O作BE的平行线，交O于点F交切线于点，接AC求证：O的线；连接EF，当°时四边形FOBE是菱形．【答案】（）解析；2）30.【解析】【分析】（）等角的换证明出

，根据圆的位置关系证得AC是的线（）据四边FOBE是形，得到OF=OB=BF=EF，证为边三角形，而得出60

，根据三角形内角和即可求出答.【详解】（）明与相切于点E，OE，CEO

，又OC，

OEB

，OBE=，

OEB

，

，又，，

CAOCEO90

，又ABO的直径，AC为O的切线；（）：四形FOBE是形，，，OBE为边三角形，

60

，而，

D30

．故答案为．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键14．图，点E是正方形的AB上点，连结，顶点C作CE交延长线于F．证BE=DF.【答案】证明见解析【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CDCDF，，再由垂直的性质得到BCE=，后根据ASAeq\o\ac(△,)BCEBCE即得到BE=DF详解：证明CFCE，ECF=90°，又，ECDDCF+ECDDCF，eq\o\ac(△,)BCE与DCF中DCF，BC=CD，，BCE（，BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．15．图1，菱形中ABC=60°，点在AB的