第六章平面向量及其应用知识梳理单 讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章《平面向量及其应用》知识梳理单班级姓名一、基本知识点1．平面向量的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量．（2）几何表示：向量可以用一条来表示，有向线段的表示向量的大小，表示向量的方向．（3）字母表示：向量可以用字母……表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如．（4）向量的模：向量的称为向量的长度或模，记作．（5）零向量：的向量叫做零向量，记作．零向量的方向是任意的．（6）单位向量：的向量叫做单位向量．（7）平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，记作．任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫作共线向量．（8）相等向量：的向量叫做相等向量，记作．对于向量与，下列说法正确的是（）A.若，则与是共线向量 B.，则C.若存在向量，使得且，则 D.若，则2．平行向量的线性运算（1）向量加法的运算法则：三角形法则、平行四边形法则．（2）向量加法的运算律：＝；=．（3）相反向量：规定，与向量长度相同，方向相反的向量，记作．（4）向量减法的几何意义：“三角形法则”．（5）向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，记作．（6）向量数乘的运算律：＝；＝；＝．（7）向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在实数，使．例2．（1）△ABC中，，，，则＝（）A． B． C． D．（2）＝．（3）设非零向量，满足，则（）A． B． C． D．（4）已知两个非零向量与不共线，，，．（1）若2﹣+＝，求k的值；（2）若A，B，C三点共线，求k的值．3．向量的数量积（1）向量数量积的概念：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作．（2）向量数量积的运算律：＝；＝＝；＝．例3．（1）已知向量，满足，，则＝．（2）已知单位向量，的夹角为45°，与垂直，则k＝．（3）已知两个单位向量和夹角为60°，则向量在向量方向上的投影为．（4）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝．4．平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任一向量，有且只有一对实数，使＝．（2）基底：若不共线，把叫作表示这一平面内所有向量的一个基底．（3）平面向量线性运算的坐标表示：若，，则＝；＝；＝．（4）平面向量共线的坐标表示：设，，则与共线的充要条件是．（5）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：已知，①＝；②=；③=；④．例4．（1）已知表示向量的有向线段始点A的坐标＝（﹣2，1），A（0，0），它的终点B的坐标为．（2）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．＝（0，0），＝（1，﹣2） B．＝（1，﹣2），＝（2，﹣4）C．＝（3，5），＝（6，10） D．＝（2，﹣3），＝（6，9）（3）若向量，则与平行的单位向量是．（4）已知向量，．则与的夹角为；=；若，实数k＝．（5）已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．5．平面向量的应用（1）用向量方法解决平面几何问题．（2）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即＝；＝；＝．变形为＝；＝；＝．（3）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．二、巩固练习1．在△ABC中，，，b＝5，则B为（）A． B． C．或 D．或2．在△ABC中，BC＝8，CA＝7，B＝60°，则AB＝（）A．2 B．3 C．2或5 D．3或53．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，b＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，，则△ABC的面积为（）A．4 B． C．2 D．5．在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．在△