专题四 第三讲 空间向量与立体几何

战考场第3讲空间向量与立体几何知考情研考题析考向高频考点考情解读考查方式利用空间向量证明空间位置关系利用平面的法向量与直线的方向向量的位置关系证明线面位置关系解答题利用空间向量求角异面直线所成角、线面角、二面角是常考重点解答题利用空间向量解决探索性问题重点考查根据条件确定几何体线段上存在点的位置及应用解答题[联知识串点成面]设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0[做考题查漏补缺](2011·杭州模拟)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.[证明]

(1)如图，连接OP，以点O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．由题意，得G(0,4,0)．因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，所以平面BOE的一个法向量n＝(0,3,4)．由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.1．(2011·南昌模拟)如图，正方形ABCD所在的平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.证明：∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB，∵平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AE⊥平面ABCD.∴AE⊥AD，即AD、AB、AE两两垂直．如图建立空间直角坐标系．[悟方法触类旁通]1．用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了．把几何问题代数化．尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷．但是向量法要求计算必须准确无误．2．利用向量法的关键是正确求平面的法向量．赋值时注意其灵活性．注意(0,0,0)不能作为法向量.[做考题查漏补缺]

(2011·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

4．(2011·西安模拟一)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)求二面角B－DE－C的余弦值．解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2，则A(2,0,0)，P(0，0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)．∴

＝(2,0，－2)，＝(0,1,1)，

＝(2,2,0)，[联知识串点成面]利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．[做考题查漏补缺](2011·浙江高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．5．(2011·郑州模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2.(1)求三棱锥C－A1B1C1的体积V；(2)求直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值；(3)若棱AA1上存在一点P，使得

＝λ，当二面角A－B1C1－P的大小为30°时，求实数λ的值．[悟方法触类旁通]利用向量法解决探索性问题时注意1．平面法向量计算必须要准确．2．若在线段上探索是否存在一点，设出该点坐标时要抓住三点共线可减少坐标未知量的个数．向量法解决空间位置关系及空间角问题的实质是数与形的完美结合．将函数与方程、化归与转化思想融合其中改静态命题为动态命题，也是命题的创新点之一．图1图2[点评]向量法解题的实质是以数解形，形数结合．本例充分利用向量法结合条件建立不等关系，从而求范围．能力要求较高．如图，在四棱锥P－ABCD中，P