控制工程基础第二章

第二章控制系统的数学模型控制工程基础控制系统的微分方程及线性化方程拉氏变换及反变换传递函数及基本环节的传递函数框图及其简化信号流图及梅逊公式第二章控制系统的数学模型线性常微分方程初值问题的解可分解为通解和特解，对于复杂的线性常微分方程直接求解相对繁琐。数学中经常利用某种运算先把复杂问题变换为比较简单的问题，然后求解，由此再求其逆运算就可得到原问题的解。在初等数学中，曾经利用取对数运算把数的积或商分别变换为较简单的和、差运算，其计算过程就是这种思想的具体体现。解析几何中的坐标变换或复变函数中的保角变换来解决某种问题的方法也都属于这种情况。积分变换也是基于这种思想来解决有关问题的一种重要工具。其理论和方法不仅在许多数学分支中，而且在自然科学的许多领域中和工程技术上都有广泛的应用。拉氏变换及反变换拉氏变换及反变换积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量的积分;F

f

PK

p,

dPD其中函数K(P‚可因积分变换不同而不同，称为积分变换的核；D是给定的积分区域，当积分变量P是实变量时,它就是积分区间。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。变换的物理意义是将一个在时间域当中的信号所包含的所有频率分量（主要指其各频率分量的幅度和相位）用一个以角频率为自变量的函数表示出来，利用频谱可对系统进行分析。拉氏变换及反变换t并不是所有的信号都能取傅氏变换,例如当该信号不满足狄利特里条件时(第一类间断点、有限极值)，所以在傅氏变换的积分函数中的积分因子上乘以一个e

t,使之满足可积条件，是为拉氏变换。变换是拉氏变换的特例，相当于S平面虚轴上的拉氏f(t)变换otof

(t)e(t)e

t拉氏变换及反变换拉氏变换(Laplace

Transform)是分析工程控制系统的基本数学方法之一。一、拉氏变换及其特性(一)拉氏变换的定义时间函数f(t)，当t<0时，f(t)=0，t0时，f(t)（称原函数）的拉氏变换记为L[f(t)]或F(s)（称象函数），且定义为0f

(t)e

st

dtLf

(t)

F

(s)

式中s=

+j若式(2-26)的积分收敛于一确定值，则函数f(t)的拉氏变换F(s)存在，这时f(t)必须满足在任一有限区间内，f(t)分段连续，只有有限个间断点。当时间t→，f(t)不超过某一指数函数，即满足(2-26)f

(t)

Me

at式中M、a──实常数。拉氏变换及反变换例2-6

单位阶跃函数的拉氏变换。单位阶跃函数如右图所示，定义为1t

0t

01(t)

001f(t)t由拉氏变换的定义式可求得：s001(t)e

dt

L1(t)

1

e

stsst拉氏变换及反变换例2-7

单位脉冲函数的拉氏变换。单位脉冲函数如右图所示，定义为

(t)

0t

0t

00f(t)t

(t)dt

1且（t）有如下特性

(t)

f

(t)dt

f

(0)由拉氏变换的定义式可求得：0

1t

0

st

st

(t)edt

eL(t)拉氏变换及反变换例2-8单位斜坡函数的拉氏变换单位脉冲函数如右图所示，定义为由拉氏变换的定义式可求得：0f(t)ttt

0t

0t

0

0000tdes

ss2s2

st

st

st1s

st

sts

eL

t

te

dt

t

e

e( )dt

dt

1

e

st

10

0例2-9

指数函数eat的拉氏变换。atLe

at

st

1s

a1s

ae

dt

e

e

dt

e

(

s

a

)

t

00(

s

a

)

t0拉氏变换及反变换例2-10

正弦函数sint和余弦函数cost的拉氏变换根据

公式，有e

j

cos

jsin

je

cos

jsin

2cos

2

j则sin

e

j

e

je

j

e

j于是可以利用上面指数函数拉氏变换的结果，得出正弦函数和余弦函数的拉氏变换。00e

st

d

t

ste

e2j

j

tj

tsin

te

d

t

L

sin

t

2

1

1s

j

s

21

s

2

s

j

00e

st

d

t

ste

e2

j

tj

tcos

te

d

t

L

cos

t

拉氏变换及反变换表2－2拉氏变换对照表拉氏变换及反变换二拉氏变换的运算法则1.线性定理拉氏变换是一个线性变换，若有常数k1、k2，函数f1(t)、f2(t)，则1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2Lk

f

(t)

k

f

(t)

k

Lf

(t)

k

Lf

(t)

k

F

(s)

k F

(s)(2-28)2.延迟定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正实数T

有证明：L

f

(t

T

)

eTs

F

(s)t

T

00f

()e

d

s(T)f

()e

d0Ts

?TstTs

s

Tsef

()e

d

e

F(s)L

f

(t

T)

f

(t

T)e

dt

(2-29)拉氏变换及反变换3.位移定理f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一常数a（实数或复数）有f

(t

)

F

(

s

a

)L

e

at证明：00(sa)t

dt

F(s

a)4.相似定理f(t)的拉氏变换为F(s)，有任意常数a，则(2-30)证明：L

f

(at)

1

F

(

s

)a

aat

1

d

00a

(

s

)

aL

f

(

at

)

f

(

at

)

e

st

d

t

f

(

)eaa

s1

f

(

)

e

d

1

s

F

(

)a

a

( )

(2-31)拉氏变换及反变换5.微分定理设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2，…正整数，f(t)的拉氏变换为F(s)，则Lf

(1)

(t)

sF

(s)

f

(0

)(2-32)证明：

udv

uv

vdu则000(1)0f f

(t)Lf

(t)

s

f

(t)e

st

dt

f

(0

)

sF

(s)

f

(0

)

f

(t)(se

st

)dt(1)

(t)e

st

dt

e

st可进一步推出f(t)的各阶导数的拉氏变换为(1)

(0

)Lf

(

2

)

(t)

s

2

F

(s)

sf

(0

)

f(

n

2

)

(0

)

f

(

n

1)

(0

)

sf(1)

(0

)Lf

(

n

)

(t)

s

n

F

(s)

s

n

1

f

(0

)

s

n

2

f(2-33)(2-34)拉氏变换及反变换6.积分定理证明：000000tttf

(t

)d

tss1

1ss0t

0

Ltf

(t

)d

t

f

(t

)d

t

e

st

d

t

1

e

st

1

F

(

s

)

1

fs

s(

1)

(0

)

1

e

st

f

(t

)d

t

F

(

s

)

(

f

(t

)d

t

)f(t)的拉氏变换为F(s)，则0(

1)

(0

)

fF

(s)

1s

sL

f

(t)dt

t(2-35)依次可推导出0

02

(

1)

(0

)

1

f

(

2

)

(0

)sf

1s

2F

(s)

1s

2L

f

(t

)(dt

)

t

t0

00

f

(

1)

(0

)

1

f

(

2

)

(01s

2F

(s)

s

n

11s

nt

t

tnL

f

(t)(dt)

1

f

n

(0

)s(2-37)拉氏变换及反变换7.初值定理设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的初值为证明： 由微分定理令s→，对上式两边取极限lim0s

f

(1

)

(

t

)

e

st

d

t

lim

sF

(

s

)

f

(

0

)

s

s

时，e

st

0当lim

sF

(

s

)

f

(0

)

0s

t

0

s

lim

sF

(s)

f

(0

)

lim

f

(t

)则0f

(1)

(t)e

st

dt

sF

(s)

f

(0

)st0f

(0

)

lim

f

(t)

lim

sF

(s)(2-38)拉氏变换及反变换8.终值定理设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的终值为令s→0，对上式两边取极限0f

(1)

(t)e

st

dt

sF

(s)

f

(0

)证明：由微分定理lims

0f

(1)

(t

)e

st

d

t

lim

sF

(

s

)

f

(0

)

s

0

0t0s0

t

0(1)

sts0

0f

(1)

(t)dtf

(t)

lime

dt

limf

(1)

(t)est

dtlim0d

f

(

t

)

lim

f

(

t

)

f

(

0

)

tt

limt

lim

f

(t

)

lim

sF

(

s

)t

s

0lim

f

(t)

lim

sF

(s)t

s

0(2-39)拉氏变换及反变换9.象函数的微分性质10.象函数的积分性质sLF

(

s

)

d

s

f

(

t

)t证明：

0000t

f

(t

)

t

f

(t

)

f

(t

)d

t

f

(t

)d

t

f

(t

)e

d

td

s

e

st

d

t

Ls1

e

sttsF

(

s

)d

s

sse

st

d

s

st证明：因为对上式两边微分0F

(s)

f

(t)e

st

dt00Ltf

(t)f

(t)(t)e

dt

tf

(t)e

dt

F

(s)

dds

st

stdsLtf

(t)

d

F

(s)(2-40)(2-41)拉氏变换及反变换11.卷积定理t

,则证明：

令00

tt

0

t则f

(t)

g(t)

g(t)

f(t)

f

(t

)g()d

f

(

)g(t

)d

f

()g(t

)d的卷积。00g(t)则L

tt设F(s)

Lf(t);G(s)

Lg(t)式中,积分f

(t

)g()d

f

(t)

g(t)称作f

(t)和f

(t

)g()d

F(s)G(s)(2-42)拉氏变换及反变换二、拉氏反变换及其计算方法1.拉氏反变换的定义已知F(s)，求时间函数f(t)的拉氏反变换，记作L1

F(s)

f

(t)，定义为式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。拉氏反变换的计算方法查表法，表2－2

；部分分式法。L1F

(s)

f

(t)

2π

j

1r

jr

jstF

(s)e

ds(2-43)拉氏变换及反变换：用部分分式法将式(2-45)分为各简单分式之和，应分三种情况进行(1)A(s)=0无重根A(s)=0的根中有共轭复根A(s)=0有重根F(s)通常可表达为复数s的有理代数式；B(s)A(s)s

n

1s

m

1F

(s)

m m

1

0

aa

s

n

an

n10b

s

m

b

b(2-44)设s1、s2、s3、、sn

为分母的根，则n

nna

aa

(s

nB(s)F

(s)

an

1B(s)an

(s

s1

)(s

s2

)(s

sn

)s

n

1

a0

)(2-45)拉氏变换及反变换(1)A(s)=0无重根时用(s－s1)乘以上式两边，并以s=s1代入式中，得1n

k(

s

s

)N

(

s

)a

n

(

s

s1

)(

s

s

21

s

s1)

(

s

s

)11nN

(

s1

)a

n

(

s1

s

2

)(

s1

s

2k

)

(

s

s

)将原式化为部分分式k

ns

s

n

k

1

k

2s

s1

s

s

2N

(

s

)

a

n

(

s

s1

)(

s

s

2

)

(

s

s

n

)(2-46)依次类推可得iiniN

(

si

)

s

)

D

(

s

)k

N

(

si

)an

(

si

s1

)(

si

s2

)

(

sniN

(s

)1i1

D(si

)

s

siF

(s)

F1(s)

F2

(s)

Fn

(s)

(2-47)(2-48)拉氏变换及反变换

i

L1

s

1

s

esit因为ni11e

sitiD(si

)N

(s

)F

(s)f

(t)

L

(2-49)例2-11解s

1s

2

5s

6求F

(s)的拉氏反变换。拉氏变换及反变换F

(s)k1

k2s

2

s

3s

1(s

2)(s

3)s

1

5s

6F

(s)

s

2k1、k2kk212

3t

2t

2e

e

s

2

s

3f

(t)

L1

F(s)

L1

1

s

3(s

3)

2(s

2)(s

3)

s

1

s

2(s

2)

1(s

2)(s

3)

s

1的部分分式运用式(2-47)求系数拉氏变换及反变换2.A(s)=0的根中有共轭复根通过下面的例子说明通过部分分式求拉氏反变换的方法。例2-12

求象函数s(s

2

s

1)F

(s)

s

1

的原函数。s

2s

s

1

k

k1

s

k2s

1s(s

2

s

1)F

(s)

(2-50)

2

3

j122

3

j12

ss

2

s

1

s

用(s2

s

1)乘式(2-50)的两边，并令s

1

j232，得2212

1

2

2

k

1

j

3

k

j

32

21

j

3拉氏变换及反变换12

121

k2

1

k23221

3

k2

3

k2令上式两边实部和虚部分别相等，得，k1

k2

1k1

k2

1，k1

1k2

0即解得s

0，得2

1

s0s(s

s

1)s(s

1)k

，为确定系数k

，用s

乘方程(2-50)两边，并令F

(s)的部分分式可求得

2

2

1

2

2

3

2

3

2

2

1

2

s

s

s

11s s2

s

1

sF

(s)

1

s

1

2

2

拉氏变换及反变换2

2

2

3

2

1

3

3

2

3

2

3

2

2

1

21

2

s

s

，则F

(s)的拉氏反变换为3

t223

e0.5t

sin3f(t)

L1F(s)

1

e0.5t

cos

3

t

其中，拉氏变换及反变换3.A(s)=0有重根的情况NkNs

s

21k12k11n

1

2

N

1

1B(s)F(s)

k1

k2

s

s s

sa

(s

s

)

(s

s

)(s

s

)

(s

s

)

(s

s

)11

d1d

2122!

d

s

2dd

s11s

s1s

s11

s

s1s

s1F(

s

)(

s

s

)

k

1

1F(

s

)(

s

s

)

k

(

1)1

F(

s

)(

s

s

)

k

F

(

s

)(

s

s1

)

(

1)!

d

s

(

1)k13(2-51)拉氏变换及反变换例2-13解s(s

2)3

(s

3)求F

(s)

1

的拉氏反变换。k11

k12F

(s)

(s

2)3

(s

2)2k13

k2

k3s

2

s s

3根据式(2-51)求得11

12s－2s21s(s

3)k

F

(s)(s

2)3

12s

2k