2021年自考线性代数试题

10线性代数(经管类)试题课程代码：04184阐明:在本卷中,AT表达矩阵A转置矩阵,A*表达矩阵A随着矩阵,E是单位矩阵,|A|表达方阵A行列式,r(A)表达矩A秩.一、单项选取题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出四个备选项中只有一种是符合题目规定，请将其代码填写在题后括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为3阶矩,|A|=1,|-2AT|=( )A.-8C.2

B.-2D.81设矩阵A=

,B=(1,1),则AB=( )11A.01

B.(1,-1) 1 1 C.

D.1 1设A为n阶对称矩,B为n阶反对称矩则下列矩阵中为反对称矩阵( )A.AB-BAC.AB

B.AB+BAD.BA1 23 设矩阵A随着矩阵 ,则A-1=3 12

4 3 2 1

12

1 2 3 4 12

1 23 3

12

4 23 3 下列矩阵中初等矩阵( )101001A.010B. 010 0 0 0 1 0 0 1 0 0 C. 0 3 0 D. 0 1 00 0 1 2 0 1 设A,B均为n阶可逆矩,则必( )A.A+B可逆 B.AB可逆C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7.设向量组α=(1,2)，α=(0,2),β=(4,2),则( )1 21 α，α,1 β不能由α，α线性表达1 2β可由α，α,但表达法不惟一1 21 β可由α，α,1 设A为3阶实对称矩,A所有特性值为0,1,1,则齐次线性方程(E-A)x=0基本解系所含解向量个数( )A.0 B.1C.2 D.32x x x 0设齐次线性方程组x1x2x30有非零则为( ) 1 2 3x x1 2

x 03A.-1 B.0C.1 D.2设二次型f(x)=xTAx正,则下列结论中对的( A.对任意n维列向量x,xTAx都不不大于零B.f原则形系数都不不大于或等于零C.A特性值都不不大于零D.A所有子式都不不大于零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题空格中填上对的答案。错填、不填均无分。0 1行列式1 2

值. 已知A=1 2,则中第一行第二列元素代数余子式 2 3 1 3 1 113.设矩阵A=2 4,P= ,则AP3= . 0 114.设A,B都是3阶矩,|A|=2,B=-2E,则|A-1B|= .15.已知向量组α,=(1,2,3),α

=(2,3,k)线性有,则数k= .1 2 3

1 3 2 51 2 Ax=b4,r(A)=3，α，α，α31 2 1

3137则该线性方程4 4 组通解.已知P3向量

1 1 3,0,则内积(P,P) .2 2 设2是矩阵A一种特性,则矩阵3A必有一种特性值.0 3与矩阵A=1 2相似对角矩阵0 3 1 220.设矩阵A= ,若二次型f=Ax正,则实数k取值范畴 2 k三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)求行列式

0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 2 1

的值.0 1 0 1 2 0 设矩阵A=1 0 0,B2 1 0,求满足矩阵方程XA-B=2E矩阵X. 0 0 1 1 1 2 2 若向量组1

1,1

1,3

6,k

0 2,k值.2k 2 2 3 2 24.设矩阵A1 1 0,b1 1 2 1 (1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,b用A25.3阶矩阵A-1,1,2,设B=A2+2A-E,求矩阵A行列式及A秩.矩阵B特性值及与B.xx

2y1

2y y2 3求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换

2y 2y y .2 1 2 3x 2yx3 3四、证明题(本题6分)设n阶矩阵A满足A2=E,证明A特性值只能是1.全国7月高等教诲自学考试一、单项选取题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵Aααα其=1,2,为A列向量若|B|| α+ααα|=则|A|=( )1 2 3 i 1 2 2 3A.-12 B.-6C.6 D.123 0 2 02.计算行列式210 5 00 0 2 02 3 2 3

=( )A.-180 B.-120C.120 D.1803.若A为3阶方阵|A-1|=2，则||=( )A.12

B.2C.4 D.8α，α，α，α都是3维向量，则必( )1 2 3 4A.α，α，α，α线性无关 B.α，α，α

线性有关1 2 3 4 1 2 3 4C.α可α，α，α线性表达 D.α不可α，α

线性表达1 2 3 4 1 2 3 4若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0基本解系中解向量个数为2，则r(A)=( )A.2 B.3C.4 D.5设AB为同阶方阵，且r(A)=r(B)，( )A.A与B相似 B.|A|=|B|C.A与B等价 D.A与B合同设A为3阶方阵，其特性值分别为2,1,0则|A+2E|=( )A.0C.38.若AB相似，则下列说法是(

B.2D.24A.AB等价C.|A|=|B|

B.A与B合同D.AB有相似特性值9.若向正交，则t=( )A.-2C.2

B.0D.410.设3阶实对称矩阵A特性值分别为2,1,0，( )A.A正定C.A负定

B.A半正定D.A半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）3 2 2 11设A=0 1,B=01 0，则AB= .2 2 12.设A为3阶方阵，|A|=3，则|3A-1|= .三元方程x1+x2+x3=1通解.=（-，2，则反方向单位向量 .设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}维数.116.设A为3阶方阵，特性值分别-2， ，1，则|5A-1|= .12若AB为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)= .21 0实对称矩阵1 0 1所相应二次型f(x

，x)= . 1 2 3 0 1 1 1 1 设3元非齐次线性方程组Ax=b有α=2，α=2且r(A)=2，则Ax=b通解.1 2 3 31 2，则非零特性值.3 3 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）20001020020001020000020010002X满足方程200100143010X001=2010 0 2 010 12 0 求X.求非齐次线性方程组xx 3xx 11 2 3 43xx 3x4x

4 通解.x1 2 3 415x29x38x4024.α（1,，-1,α=(9,100,10,4α=（-，-4,，-）.1 2 32 1 2 25.已知A=5 a 3一种特性向求所相应特性值，并写出相应于这个特性值所有 1 b 特性向量.2 1 1 2 26.设A= 12 1 a，试拟定a使r(A)=2. 1 12 2 四、证明题（本大题共1小题，6分）27.α，α，αAx=b(b≠0)α，αAx=0.1 2 3 2 l 3 l全国4月高等教诲自学考试一、单项选取题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）a2阶行列式1b

bb2=m, 1bc

b2=n,则1ac

b2a

=（ ）1 2 1 2 1 1 2 2A.m-nC.m+n

B.n-mD.-（m+n）设A均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ）A.ACB B.CABC.CBA D.BCA设A为3阶方阵为4阶方,且行列|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ）A.-8 B.-2C.2 D.8a a a a 3a a

100 100111213

11

1213

已知A=a a a

，B=a 3a a ，P=030，Q=310，则B=（ ） 212223 21 2223 a

a313a32

001 001B.APC.QA D.AQ已知A是一种3×4矩阵，下列命题中对的是（ ）A30，则秩A20，则秩C.若秩A30D.若秩则A中所有2阶子式都不为6.下列命题中是（ ）A.只具有一种零向量向量组线性有关B.32维向量构成向量组线性有关C.由一种非零向量构成向量组线性有关D.已知向量α,α,α线性无关,α,α线性有关，则（ ）1 2 3 1 2 3α必能α,α线性表出 B.α必能α,α线性表出1 2 3 2 1 3C.α必能α,α线性表出 必能α,α

线性表出3 1 2 1 2 3设A为m×n矩阵则齐次线性方程组Ax=0只有零解充分必要条件是A秩（ ）不大于m B.等于mC.不大于n D.等于n设A为可逆矩阵，则与A必有相似特性值矩阵为（ ）A.AT B.A2C.A-1 D.A*10.二次型f（x1,x2,x3）=x2x2x22xx

正惯性指数为（ ）1 2 3 12A.0 B.1C.2 D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题空格中填上对的答案。错填、不填均无分。11.行列式

2007200820092010

值.113 2012.设矩阵A= ,B=

,则ATB= .2 0

01 13.设4维向量（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向满足2.1An|A|=n

,则|A-1|= .设A为n阶矩阵B为n阶非零矩阵若B每一种列向量都是齐次线性方程组Ax=0解则A|= .xx x 0齐次线性方程组1 2 3

基本解系所含解向量个数.2xx 3x 01 2 3 A2设n阶可逆矩阵A一种特性值-3，则矩阵1 1 A23 12 2 18.设矩阵A=2x 0特性值为4，1，-2，则数x= . 20 0 a0 1 a02 2 1 A00

b 0是正交矩阵，则a+b= 。220 11 2 3 12 13 2二次型，x，xx+2xx+6x1 2 3 12 13 2三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）a b c计算行列式D= a2aa3

b2bb3

c2 值。cc322.已知矩阵=2，，3，=1，，，求）=BC（）A。23.设向量组 (2,1,3,1)T, (1,2,0,1)T, (-1,1,-3,0)T, (1,1,1,1)T,求向量组秩及一种极大线性无关组，并用1 2 3 4该极大线性无关组表达向量组中别的向量。1 2 3 1 4 已知矩阵A=0 1

2，B= 2 5.1）求A-）解矩阵方程AB。 0 0

1 3 x2x 3x 4 1 2 3问a为什么值时，线性方程组 2x 2

ax3

2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解2x2x 3x 6 1 2 3时，规定用一种特解和导出组基本解系表达所有解。22A00

0 0 0 3 a三个特性值分别为1，2，5，求正常数a值及可逆矩阵P，使P-1AP= a 3 0 0

000。5四、证明题（本题6分）A，B，A+Bn阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。全国1月高等教诲自学考试阐明：本卷中，AT表达矩阵A转置，αT表达向量α转置，E表达单位矩阵，|A|表达方阵A行列式，A-1表达方阵A逆矩阵，r（A）表达矩阵A秩.一、单项选取题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）x y z设行列式4 0 3则行列

2x 2y 2z4 0 1（ ）3A.23C.2

1 1 1 1 1 1B.1D.83设A，B，C为同阶可逆方阵，则）A.A-1B-1C-1C.C-1A-1B-1

B.C-1B-1A-1D.A-1C-1B-13.αααα是4维列向量，矩阵Aαααα）如果A|=，|-A|（ ）1 2 3 4 1 2 3 4A.-32C.4

B.-4D.32是三维实向量，则（ ）一定线性无关C.一定线性有关

B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出D.α1，α2，α3一定线性无关5.向量α，00α=（，0α（，，）秩为（ ）1 2 3B.2C.3 D.4设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0基本解系中所含向量个数是（ ）A.1 B.2C.3 D.4设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则如下结论对的是（ ）A.m≥n B.Ax=b（bm维实向量）必有唯一解C.r（A）=m D.Ax=0存在基本解系4 5 2设矩阵A=5 7 3，则如下向量中是A特性向量是（ ） 6 9 4A.（1，1，1）T B.（1，1，3）TC.（1，1，0）T D.（1，0，-3）T1 1设矩阵A=3 三个特性值分别λ，λ，λ，λ+λ

=（ ） 1 2

1 2 31 1A.4 B.5C.6 D.710.三元二次型f（x1，x2，x3）=x24xx 6xx 4x212xx 9x2矩阵为（ ）1 12 13 2 23 31 2 3 1 4 3A.2 4 6

B.0

4 6 3 6 9 3 6 91 2 6C.2 4 6

1 2 3D.2 4 0 0 6 9 3 12 9二、填空题（10220分）123123459=67