高中数学立体几何全套教学课件

高中数学立体几何教学课件高中数学立体几何第一章直线和平面三垂线定理第一章直线和平面三垂线定理这是偶然的巧合，还是必然？EMDBOAAE⊥OD？cos·cos=cos=∠AOB=∠AOD=∠DOBAaOPPO⊥a？这是偶然的巧合，还是必然？EMDBOAAE⊥OD？cos·AaOP

已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理AaOP在平面内的一条直线，如果和这个平面的一AaOP证明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aAaOP证明：a⊥POPA⊥AO⊥aa⊥平面PAOPO三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。AaOP证明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥a三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线PCBAO例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂线定理得

PC⊥BCMPCBAO例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形

O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AO是PO在ABCD上的射影PC⊥BD(1)PA⊥正方形ABCD所在平POABCD证明:∵ABCPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵PB=PCM是BC的中点PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，BC⊥(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，

A1C⊥B1D1由三垂线定理知

A1C⊥BC1

(3)在正方体AC1中，∵在PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP

我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾，怎么找？PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找PAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线②异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾PAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，

b⊥OA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但

b不垂直于OP解题回顾直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于

a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线

b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα

且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b

（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：判断下列命题的真假：面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于⑷若a是平面α的斜线,PAOaαl已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影，a

,a⊥AO，l平行于a

。求证：l

垂直于PO⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥bPAOaαl已知：PA，PO分别是平⑷若a是平面α的斜线,bPAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直PAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一PAO三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直

线斜垂直

定理逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???证明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，已知：∠例4在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，例4在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD∴D1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1内的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF

⊥DG练习与作业1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和DFADC2.已知PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心。CBPAH3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。4.在ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC1⊥平面BC1DD1DCBAC1B1A12.已知PA、PB、PC两两垂直，CBPAH3.经过一个角复习提问什么叫射影？

点自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在这个平面上的射影。线过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜线的直线叫做斜线在这个平面上的射影。复习提问什么叫射影？点自一点向平面引垂线，垂足叫做这一新课讲授三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。新课讲授三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这三垂线定理的证明

已知：PA.PO分别是平面M的垂线.斜线，AO是PO在平面M上的射影.a属于平面M，a⊥AO（如图）求证：a⊥PO三垂线定理的证明已知：PA.PO分别是平面M的MAOPa分析：只要证明直线a垂直于平面MMAOPa分析：只要证明直线a垂直于平面M证明：∵PA⊥面M，

a属于面M∴PA⊥a

又∵AO⊥a∴a⊥平面PAO

而PO属于平面PAO∴a⊥PO证明：∵PA⊥面M，又∵AO⊥a三垂线逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（此定理与三垂线定理的证明类似，留带大家自己课后证明）三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面例题讲解

例道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m。只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？例题讲解例道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高1CDBACDBA

解：如图，在道边取一点C，使BC与道边所成的水平角等于90度。再在道边取一点D，使水平角CDB等于45度。测得C，D的距离等于20m

∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC解：如图，在道边取一点C，使BC与道边所成的水平因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。∵∠CDB=45，CD⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形中

AC²=AB²+BC²AC=√15²+20²=25（m）答：电塔顶与道路的距离是25m因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。小结三垂线定理由直线垂直于射影得出直线垂直与斜线垂直三垂线逆定理有直线垂直于斜线得出直线垂直于射影小结三垂线定理三垂线逆定理课后习题已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC

求证：PA⊥BC求证：和三角形两边同时垂直的直线，也和第三边垂直课后习题已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC求证：和多谢指教再见多谢指教再见圆柱圆锥圆台圆柱圆锥圆台矩形直角三角形直角梯形SABBAAO1O1OOO矩形直角三角形直角梯形SABBAAO1O1OOO

分别以矩形、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，分别叫做圆柱，圆锥，圆台。圆柱圆锥圆台分别以矩形、直角三角形的直角边、圆柱圆锥圆高底面侧面母线圆柱圆锥圆台轴OO1OO1OSABABA高底面侧面母线圆柱圆锥圆台轴OO1OO1OSABABA思考题：1．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？２．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？性质1：平行于底面的截面都是圆。性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形，等腰三角形，等腰梯形。思考题：1．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的性质1：平行于底面判断题：（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．（）（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（）（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（）判断题：（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（）（3）

例：把一个圆锥截成一个圆台，已知圆台的上下底面半径是1:4，母线长为10cm，求圆锥的母线长．ABCDSOO1例：把一个圆锥截成一个圆台，已知圆ABCDSOABDCSOO1

例：把一个圆锥截成一个圆台，已知圆台的上下底面半径是1:4，母线长为10cm，求圆锥的母线长．BCSOO1ABDCSOO1例：把一个圆锥截成一个圆台，已填空题：（1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴截面的面积为________．（2）圆台的上下底面的直径分别为２cm,10cm,高为3cm，则圆台母线长为_______.

5cm填空题：（2）圆台的上下底面的直径分别为２cm,10cm,高圆锥圆锥①圆柱的上下两个底面互相平行，而且是半径相等的两个圆圆柱②连接两底面圆心的线段叫圆柱的高，它与圆柱两底面都垂直。③用平行与圆柱底面的平面去截圆柱，得到的截面是与底面半径相等的圆。④过圆柱高的平面去截圆柱所得的截面（轴截面）是矩形，这个矩形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边是圆柱底面直径。①圆柱的上下两个底面互相平行，而且是半径相等的两个圆圆柱②连他们的帽子相同吗？

我们称是：圆锥他们的帽子相同吗？我们称是：圆锥

以矩形一边所在的直线为轴，其佘边旋转一周而成的面所围成的几何体是圆柱。圆锥

试一试：以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体是……？以矩形一边所在的直线为轴，其佘边旋转一周而成的面所围

圆柱的上下两个底面互相平行且是半径相等的两个圆,

圆锥也有两个底面吗？圆锥有一个顶点和一个底面，底面是一个圆．圆柱的高线

连接两底面圆心的线段叫圆柱的高，它与圆柱两底面都垂直。

想一想，圆锥的高……？

连结圆锥顶点和底面圆心的线段和圆锥底面垂直，这条线段叫做圆锥的高线圆锥圆柱的上下两个底面互相平行且是半径相等的两个圆,圆锥

用平行与圆柱底面的平面去截圆柱，得到的截面是与底面半径相等的圆。用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，得到的截面是圆吗？与底面半径相等吗？

用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，得到的截面是圆，在不同位置所截得的圆的半径，与底面半径均不等。

过圆柱高的平面去截圆柱所得的截面（轴截面）是矩形，这个矩形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边是圆柱底面直径。想一想，圆锥的轴截面是……？用过圆锥的高线的平面截圆锥，得到的截面（圆锥的轴截面）是等腰三角形它的底边是圆锥底面的直径底边上的高线就是圆锥的高线圆锥用平行与圆柱底面的平面去截圆柱，得到的截面是与底面半圆锥

圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体

如果用r表示圆锥底面的半径,h表示圆锥的高线长,l表示圆锥的母线长,那么r,h,l满足什么关系呢？斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面无论转到什么位置，这条斜边都叫做侧面的母线侧面母线hlr有勾股定理得：r2+h2=l2

圆锥圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所圆锥1213r

例1已知圆锥的母线长13cm，高线长12cm，求它的底面半径．∴r=√132-122=5(cm)答：圆锥的底面半径是5cm．解：l=13，h=12

∵r2+h2=l2∴r2+122=132l6

例2已知一个圆锥的轴截面是正三角形，圆锥的底面半径为6cm，求圆锥的高线长。解：r=6,l=2r=12∵r2+h2=l2∴62+h2=122

∴r=√122-62=6√3(cm)答：圆锥的高线长6√3cm

圆锥的轴截面是等腰三角形,它的底边是圆锥底面的直径,底边上的高线就是圆锥的高线

在此题中的轴截面特殊吗？此时，底面直径与母线有何关系？圆锥1213r例1已知圆锥的母线长13cm，高线长12c圆锥

练习l．已知圆锥的高线长4cm，底面半径为3cm，求它的母线长和轴截面面积．2．已知圆锥的底面直径是30cm，母线长17cm，求它的高线长和轴截面面积．想一想：用平行于底面的平面截圆锥，所得到的截面圆的面积都相等吗？截面圆的面积同截面的位置有关系吗？433017圆锥练习l．已知圆锥的高线长4cm，底面半径为3c球球一、球的概念：1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）2、球体（球）：球面所围成的几何体叫做球体，即球。（另一定义：与一定点的距离小于或等于一定值的点的集合叫做球。）3、相关概念：球心，球的半径，球的直径。4、球的表示：若球心为O，则记为：球O。OCRAB一、球的概念：OCRAB二、球的截面ABCDRrd性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面；2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径r有下面关系：R2=r2+d2；3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。二、球的截面ABCDRrd性质：1.球心和截面圆心的连线垂直三、球的大圆和小圆do大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。（d=0

）小圆：球面被不经过球心的截面所截得的圆叫做小圆。（0dR

）（附：当d=R时，平面与球相切）练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？三、球的大圆和小圆do大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆（四、球面距离PQOP、Q两点的球面距离：过P、Q两点的大园在P、Q间的劣弧长度。四、球面距离PQOP、Q两点的球面距离：过P、Q两点的大园在练习：1、判断正误：（对的打√，错的打×）（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（）（2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（）（3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面所在平面的距离为4。（）（4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（）××√√练习：（2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（）（32、已知球面上两点A与B的球面距离为5cm，过这两点的两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______.3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径的平面，所得的截面面积为____________.4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱长为____________.5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2，则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.6、球面上有M、N两点，在过M、N的球的大圆O上，弧MN

的度数为90o，在过M、N的小圆O1上，弧MN的度数为120o，又MN=cm，求OO1的长度及M、N的球面距离。18cm27cm2（OO1=cm，M、N的球面距离为

）2、已知球面上两点A与B的球面距离为5cm，过这两点的1思考题

￭自半径为R的球面上一点Q作球的三条两两垂直的弦QA、QB、QC，求QA2+QB2+QC2的值。QABC解：以QA、QB、QC为三条棱作出球的内接长方体，则QA2+QB2+QC2的值等于该长方体的对角线的平方，即球的直径的平方，QA2+QB2+QC2=4R2。思考题

￭自半径为R的球面上一点Q作球的三条两两垂直的弦QA五、地球的经纬度及球面距离的计算1．

经线和纬线经线：地球面从北极到南极的半个大圆。纬线：赤道及与赤道平面平行的截面截地球面所得的小圆。2．

经度和纬度的计算方法①

某点的经度——经过这点的经线与地轴确定的半平面和0o经线（即本初子午线，简称子午线）与地轴确定的半平面所成的二面角的度数。东经和西经：0o经线以东的经线叫东经，0o经线以西的经线叫西经。东经和西经各180o，东经180o和西经180o是同一条经线。南极北极经线纬线0°赤道ABO1O五、地球的经纬度及球面距离的计算1．

经线和纬线2．

经②

某点的纬度——

经过这点的球半径与赤道平面所成的角的度数。ABO1Oα如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。②

某点的纬度——经过这点的球半径与赤道平面所成的①

同纬度不同经度的两地间的球面距离：设同一纬线上的A、B两地的经度分别是α1，α2，1o、若A、B同在东经或西经，不妨设α1＜α2，则∠AO1B=α2-α1；2o、若A、B在子午线异侧：当α1+α2≤π时，∠AO1B=α1+α2

；当α1+α2＞π时，∠AO1B=2π-（α1+α2）。然后再由其他条件计算出∠AOB，进一步得出A、B的球面距离。BOO10°A②

同经度不同纬度的两地间的球面距离：设同一经线上的A、B两地纬度分别是β1、β2(弧度数)1o、A、B在赤道异侧时：A、B的球面距离为R（β1+β2）；2o、A、B在赤道同侧时：不妨设β1＜β2，A、B的球面距离为R（β2-β1）。3．

地球上两点的球面距离①同纬度不同经度的两地间的球面距离：设同一纬线上的A、B两例1．

上海靠近北纬30o东经120o的A点，洛杉矶靠近北纬30o西经120o的B点，阿拉斯加在上海的东北方向，接近过A、B的大圆，夏威夷在上海的正东方，接近过A、B的纬度圈。一飞机从上海飞往洛杉矶，经过阿拉斯加到达目的地还是经过夏威夷到达目的地比较近？为什么？例2．

设地球的半径为R，在纬度为α的纬线圈上有甲、乙两地，它们在纬线圈上的弧长是πRcosα,则这两地的球面距离是______________.例1．上海靠近北纬30o东经120o的A点，洛杉矶靠近北纬例3、已知地球半径为R，地面上点A位于东经20o北纬60o，B点位于东经140o北纬60o，C点位于东经140o北纬30o。试求A、B两点及B、C两点的球面距离。例3、已知地球半径为R，地面上点A位于东经20o北练习：

地球半径为R，A、B是北纬45°纬线圈上两点，它们的经度差是90°，求A、B两地的球面距离。练习：小结：1.球及其相关概念。2.球的截面性质。3.球的大圆和小圆。4.球面距离。5.地球的经纬度和球面距离的计算。小结：球的表面积球的表面积球面球面球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球(即球体):球面所围成的几何体。它包括球面和球面所包围的空间。半径是R的球的体积：推导方法：

分割求近似和化为准确和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球(即球体):第一步：分割O球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：设“小锥体”的体积为：O第一步：分割O球面被分割成n个网格，则球的表面积：则球的体积O第二步：求近似和O由第一步得：O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：化为准确和

如果网格分的越细,则:①

由①②得:②

球的体积:的值就趋向于球的半径RO“小锥体”就越接近小棱锥。第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:①由①②得:(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。练习一：(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。练习例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O证明:R(1)设球的半径为R,得:则圆柱的底面半径为R,高为2R.(2)例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:O证明:例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的例3.若一个球的外切圆锥的高是这个球的直径的两倍，求圆锥的全面积与球的表面积之比。设这个球的半径为R，则PO1=4RRC过O作则OC=R解：过圆锥的轴做截面截圆锥和内切球分别得轴截面PAB和球的大圆圆O,且圆O为的内切圆。PABOO1中：例3.若一个球的外切圆锥的高是这个球的直径的两倍，设这个球的练习二：(2)若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,

则两球的直径之差为———。(1)将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是————。(3)长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为———。练习二：(2)若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为1小结：（1）利用“分割-求近似和-化为准确和”的数学方法推出了球的表面积公式：（2）球的表面积公式的一些运用。小结：（1）利用“分割-求近似和-化为准确和”（2）球的表面空间的平面与直线la全日制普通高级中学教科书空间的平面与直线la全日制普通高级中学教科书异面直线线面平行面面平行线面垂直教学目的了解空间两条直线的平行关系，直线平行关系的传递性。掌握直线和平面，平面和平面平行的判定定理与性质定理。理解异面直线的概念。掌握异面直线的夹角，垂线的概念，了解异面直线的距离的概念。掌握直线和平面，平面和平面垂直的判定定理。与性质定理。了解正射影概念和三垂线定理及其逆定理。首页目的目录平行直线异面直线线面平行面面平行线面垂直教学目的了解空间两条直线的平目录空间的平行直线直线和平面垂直平面和平面平行直线和平面平行异面直线及其夹角异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线目录空间的平行直线直线和平面垂直平面和平面平行直线和平面平行复习提问两直线平行的公理是什么?答:平行于同一直线的两直线平行.labba//\la//Q

lb//例已知：a//lb//l求证：a//b证毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线复习提问两直线平行的公理是什么?labba//\la//Q空间的平行直线定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同.那么这两个角相等.证明:截取ADDA=¢¢AEEA=¢¢。。。是平行四边形四边形。，同理有，是平行四边形。CABBACEDAADEDEEDDEEDEEAAEEAADDAADDAADADADAADDAAD¢¢¢Ð=Т¢¢D@D\¢¢=\\¢=¢¢¢¢=¢¢¢\¢¢\¢¢=¢¢////,,//QC¢B¢CBA证毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线空间的平行直线定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别异面直线及其夹角定义1：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。（如图）直线AB与直线l为异面直线。定义2：ABlbaao（如图）直线所成的角（或夹角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）o异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线异面直线及其夹角定义1：连接平面内一点与平面外一点的直线（如注意

若两异面直线所成的角是直角就说两条直线互相垂直。夹角为的与的夹角，所以与直线等于异面，可知）由（，，，，，成异面直线的有直线）与直线解（垂直？线）哪些棱所在直线与直（的夹角的度数和）求直线（是异面直线？线）哪些棱所在直线与直（例（如图）一个正方体CCABCCABBABCCBBCDDCDDCCADCBBAAACCABAB¢¢¢¢¢Ð¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢垂直。都与直线，，，，，，，）直线（AAADDCCBDADACDBCAB¢¢¢¢¢¢¢¢345//213210DCBAD¢C¢B¢A¢解毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线注意若两异面直线所成的角是直角就说两夹角为的与的夹角直线和平面平行判定定理

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。aaaa////////lmllmlml矛盾。所以这也与al，则不平行平面证明：假设直线求证：，，且，已知：mlmppl成异面直线；和，则，如果点ÏÇÌËpmlba证毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线直线和平面平行判定定理如果不在一个平面内的一条直线和平性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。mlmlmlmlmll//////\\\=ÇÌ且没有公共点，内都在平面和，内，在又因，没有公共点，和证明：求证：，，已知：baababal//aQmlba证毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条mlm例题BCDEFBCDEFBDEFFEBD平面平面又

为中点，证明：连接////BCDEFFEABCD平面求证：为中点，（如图）已知：空间四边形//\Ë\QABDCEF证毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线例题BCDEFBCDEFBDEFFEBD平面平面又为中点，平面和平面平行判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。bababaabaabb//////////////\Ì=Ç=ÇÌÌ这与平行公理矛盾同理，假设证明：用反证法求证：，，，已知：cbcaaacbapbabaQpcbaba证毕异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线平面和平面平行判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于例题求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等DCABABCDBCADACBCADACDCABDCAB=\\\是平行四边形，四边形，的交线。，与平面分别是平面，又因为直线确定平面和证明：DCAB=求证：////ba，DCAB，间的平行线段。为夹在和，平面已知：平面//babaQ证毕baDCBA异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线例题求证：夹在两个平行平面间的平行DCABABCDBCADA直线和平面垂直三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。PAa^\aPO^\POAa^\平面OOAPOOAa=Ç^，又PAa^求证：OAaaPAOAPAPO^Ì，且，内的射影，在是和斜线。，的垂线分别是平面，已知：aaaPO^证明：aQ证毕aOPAa异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线直线和平面垂直三垂线定理在平面内的一条直线，如果它谢谢指导异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线谢谢指导异面直线线面平行面面平行线面垂直首页目的目录平行直线立体几何二面角立体几何二面角复习提问1、在平面几何中“角”是怎样定义的？答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。2、等角定理？o答：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。AB复习提问1、在平面几何中“角”是怎样定义的？答：从平面内一点想一想AOBBBBBBB角两个面组成的图形?想一想AOBBBBBBB角两个面组成的图形?平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。1、半平面：2、二面角：讲授新课1：半平面及二面角的定义棱面面半平面半平面平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每从一条直线引出的两1、二面角的画法：（1）、平卧式（2）、直立式讲授新课2：二面角的画法与记法1、二面角的画法：（1）、平卧式（2）、直立式讲授新课2：二2、二面角的记法：

面1－棱－面2（1）、以直线为棱，以为半平面的二面角记为：

（2）、以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：AB讲授新课2：二面角的画法与记法2、二面角的记法：（1）、以直线为棱，以（2）、以直线A1、二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。==?

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）注:（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定为（0,π）。讲授新课3：二面角的平面角的定义、范围及作法1、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一2、二面角的平面角的作法：1、定义法：根据定义作出来。2、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。3、应用三垂线：应用三垂线定理或其逆定理作出来。

注意：二面角的平面角必须满足：（1）、角的顶点在棱上。（2）、角的两边分别在两个面内。（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。

oABoAoABB讲授新课3:二面角的平面角的定义、范围及作法2、二面角的平面角的作法：1、定义法：2、作垂面：3、应用三角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形巩固新课1:角与二面角的比较角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义A.O解：则由三垂线定理得AD⊥.∵sin∠ADO=

∴∠ADO=60°.∴二面角－l－的大小为60°.在Rt△ADO中，AOAD

例1、已知二面角－l

－，A为面内一点，A到的距离为2，到l

的距离为4。求二面角－l

－的大小。lD过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l

于D，连AD，l

就是二面角－l

－的平面角.分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个角就是所求的平面角,最后求出这个角的大小。巩固新课2:二面角的应用举例1A.O解：则由三垂线定理得AD⊥.∵sin∠A巩固新课3:二面角的应用举例2

例2、如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米,升高了多少?

ADCGHBACBGDH巩固新课3:二面角的应用举例2例2、如图，课堂练习ABCD1、如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.

求证:

解:(略)课堂练习ABCD1、如图，将等腰直角三角形纸片沿求证:解:

1、二面角的定义：2、二面角的画法和记法：3、二面角的平面角：4、二面角的平面角的作法：5、二面角的应用举例：（略）画法：直立式和平卧式记法：二面角－AB－二面角－l－1、根据定义作出来2、利用直线和平面垂直作出来3、应用三垂线定理或其逆定理作出来从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。

1、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关2、二面角的大小用它的平面角的大小来度量课堂小结1、二面角的定义：2、二面角的画法和记法：3、二面角的平布置作业1、阅读课本。2、课本77页第3题。3、课本81页第2题。布置作业1、阅读课本。2、课本77页第3题。3、课本81页第再见！再见！二面角二面角二面角二面角

从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的平面角角的平面角

一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面ABPγβαιαβι平面所组成的图形叫做二面角1、定义二面角二面角从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABO60º二面角1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º

∠BPM=∠BPN=45º

，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，

DO=a，

PCa，

PDa又∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

过PA、PB的平面PAB与棱ι

交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º

∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。βαACBOD练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD=,∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′=，求△AB′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。ABCB’DO二面角练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角二、二面角的平面角一、二面角的定义

从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ABPγβαι小结二面角二面角αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角二、二面角的平面角一、二面角的定义从空间一直线出发的αβABCD

A为二面角α–CD–β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α–CD–β的大小。作业二面角二面角二面角αβABCDA为二面角α–CD–β的棱CD上一高中数学立体几何全套教学课件二面角二面角二面角二面角复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？直线a异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们

一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，OBA

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。lABPQ二面角的表示OBA从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面l二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角的画法CEFDABl二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于l二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法l二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AADBCl二面角--l--OEOO二面角A--BC--DD练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’AOD例1

已知锐二面角－

l－，A为面内一点，A到的距离为

2，到

l的距离为

4，求二面角

－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得

AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为

A到的距离，AD为

A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角

－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD①②③lAOD例1已知锐二面角－l－，A为面内二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明

1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角河堤斜面例2河堤斜面例2练习1。课本35页相交平面问题2。课本36页练习题练习1。课本35页相交平面问题2。课本36页练习题小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBClO∠OAC

＝120AO=BD=1,AC=2四边形ABDO为矩形,DO=AB=3练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl

∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l

，

AO=BD∵

AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO

∴AO⊥l∴CO⊥DO

O在Rt△COD中，DO=AB=3E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,

连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC

＝120，∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴练习如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。βαABECD已知：求证：证明：定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个β答：若空间中一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。等角定理的内容？ABOA1B1O1答：若空间中一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。1.半平面——2.二面角——llllααlααl这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。平面内的一条直线把平面分为两部分，从一条直线出发的两个半平面3.二面角画法4.二面角的记法“面1—棱—面2”

如：①以直线l为棱，以α、β为半平面的二面角记作：②以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作：α—l—βC—AB—DlαβABCD3.二面角画法4.二面角的记法“面1—棱—面2”如：①以直等角定理—空间中若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。αβ5.二面角的平面角

或：从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。①二面角的平面角与垂直平面（或点）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。αβBOA②二面角的大小是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。注:演示BOAB1O1A1等角定理—空间中若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向

例在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。ABCD解：由已知CA⊥AB,AB⊥BD,＜CA,BD＞=180o—60o=120o所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2×6×8×cos120o=62+42+82—2×6×8×=68,例在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BDlαβBOA二面角及其平面角(1)半平面(2)二面角(3)二面角画法(4)二面角的记法(5)二面角的平面角(6)二面角的范围(7)直二面角lαβBOA二面角及其平面角(1)半平面(2)二面角(3)二多面体多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多物体都成多面体形状如图(1-1)简单多面体棱柱与凌锥1多面体图1-1由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多物体都成2.棱柱与它的性质如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每想邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余的各个面叫做棱柱的侧面;两侧面公共边叫做棱柱的侧棱;两底面所在的平面的公垂线段叫做棱柱的高(公垂线段的长度也简称高).我们常见的一些物体,例如三棱镜,方转以及螺杆的头部等,都成棱柱的形状.2.棱柱与它的性质如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每想3.平行六面体与长方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.(图1-7(2)),底面是矩形的直六面体叫做长方体(图1-7(3)),棱长都相等的长方体叫做正方体(图1-7(4).定理:平行六面体的对角线交于一点,