新人教版九年级下册数学期末分单元复习课件

经典专业用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用经典专业用心本课件来源于网络只供免费交流使用1小结与复习第二十六章反比例函数小结与复习第二十六章反比例函数21.反比例函数的概念要点梳理定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．三种表达式方法：或xy＝kx或y＝kx－1(k≠0)．防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.1.反比例函数的概念要点梳理定义：形如________(32.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)的图象是，它既是轴对称图形又是中心对称图形.

反比例函数的两条对称轴为直线和；对称中心是：.双曲线原点y=xy=－x2.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比4(2)反比例函数的性质图象所在象限性质(k≠0)k＞0一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y

随x的增大而减小k＜0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而增大xyoxyo(2)反比例函数的性质图象所在象限性质k＞0一、三象限(5(3)反比例函数比例系数k的几何意义k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数．(3)反比例函数比例系数k的几何意义k的几何意义：63.反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设；②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；③写出解析式.3.反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数：①根7◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法求直线y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线(k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.◑利用反比例函数相关知识解决实际问题过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法求直线y＝k1x＋8考点讲练考点一反比例函数的概念针对训练1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?①y=3x－1②y=2x2⑤y=3x③④⑥⑦⑧考点讲练考点一反比例函数的概念针对训练1.下列函数中哪92.已知点P(1，－3)在反比例函数的图象上，则k的值是()A.3

B.－3C.D.B3.若是反比例函数，则a的值为()A.1B.－1C.±1D.任意实数A2.已知点P(1，－3)在反比例函数10例1已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是

()A.y3＜y1＜y2B.y1＜y2＜y3C.y2＜y1＜y3D.y3＜y2＜y1解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．考点二反比例函数的图象和性质D

例1已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y311方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．y1＞0＞y2针对训练已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜0＜x2)都在反比例函数(k<0)的图象上，则y1与y2的大小关系(从大到小)为.方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函12例2如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为.1考点三与反比例函数k有关的问题例2如图，两个反比例函数和13针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数(x＞0)和(x＞0)的图象交于P，Q

两点，若S△POQ=14，则k的值为.20410针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正142.如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC

的中点，若△ABP的面积为6，则k=.24EFS△ABP=S四边形BFCP，=(S四边形BDOF－S四边形OCPD)=(S四边形BDOF－S四边形AEOC)=(k－k)=k=6.∴k=24.2.如图，已知点A，B在双曲线上15考点四反比例函数的应用例3如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；OBAxyCD解：当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值.考点四反比例函数的应用例3如图，已知A(－4，16(2)求一次函数解析式及m的值；解：把A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，解得k=，b=，所以一次函数的解析式为y=x+.把B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.(2)求一次函数解析式及m的值；解：把A(－4，17(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA

和△PDB面积相等，求点P坐标.OBAxyCDP∵△PCA面积和△PDB面积相等，∴AC·[t－(－4)]=BD·[2－[2－(t+)]，解得：t=.∴点P的坐标为(，)．解：设点P的坐标为(t，t+)，P点到直线AC的距离为t－(－4)，P点到直线BD的距离为2－

(t+)．

(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△P18方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路.在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面19针对训练如图，设反比例函数的解析式为(k＞0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点P的纵坐标为2，求k的值；Oyx解：由题意知点P在正比例函数

y=2x上，把P的纵坐标2带入该解析式，得P(1，2)，把P(1，2)代入，得到P2针对训练如图，设反比例函数的解析式为20(2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO

的面积为时，求直线l的解析式；解：把M(－2，0)代入y=kx+b，得b=2k，∴y=kx+2k，OAyBxMlN解得x=－3或1.y＝kx+2k，∴∴B(－3，－k)，A(1，3k).(2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l：21∵△ABO的面积为∴2·3k·+2·k·=解得∴直线l的解析式为y=x+．OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k)∵△ABO的面积为∴2·3k·+2·k·22(3)在第(2)题的条件下，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k)解：当x＜－3或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值.(3)在第(2)题的条件下，当x取何值时，一次函数的23例4病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克.已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图).根据以上信息解答下列问题：(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数解析式；

解：当0≤x≤2时，y与x成正比例函数关系．设y＝kx，由于点(2，4)在线段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.Oy/毫克x/小时24例4病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每24(2)求当x>2时，y与x的函数解析式；解：当x>2时，y与x成反比例函数关系，设解得k＝8.由于点(2，4)在反比例函数的图象上，所以即Oy/毫克x/小时24(2)求当x>2时，y与x的函数解析式；解：25(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当0≤x≤2时，含药量不低于2毫克，即2x≥2，解得x≥1，∴1≤x≤2；当x>2时，含药量不低于2毫克，即≥2，解得x≤4.∴2<x≤4.所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3(小时)．Oy/毫克x/小时24(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有解：当26如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．针对训练Oy(℃)x(min)1241428如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材27(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；Oy(℃)x(min)1241428答案：y=4x+4(0≤x≤6)，(x＞6).(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函28(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?解：当y=12时，y=4x+4，解得x=2．由，解得x=14.

所以对该材料进行特殊处理所用的时间为

14－2=12(分钟)．Oy(℃)x(min)1241428(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的解：29课堂小结反比例函数定义图象性质x，y的取值范围增减性对称性k的几何意义应用在实际生活中的应用在物理学科中的应用课堂小结反比例函数定义图象性质x，y的取值范围增减性对称性30经典专业用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用经典专业用心本课件来源于网络只供免费交流使用31小结与复习第二十七章相似小结与复习第二十七章相似32(1)形状相同的图形(2)相似多边形要点梳理(3)相似比：相似多边形对应边的比1.图形的相似①表象：大小不等，形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例.(1)形状相同的图形(2)相似多边形要点梳理(3)相似33◑通过定义◑平行于三角形一边的直线◑三边成比例◑两边成比例且夹角相等◑两角分别相等◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例(三个角分别相等，三条边成比例)2.相似三角形的判定◑通过定义(三个角分别相等，三条边成比例)2.相似三角形的34◑对应角相等、对应边成比例◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比◑周长比等于相似比◑面积比等于相似比的平方3.相似三角形的性质◑对应角相等、对应边成比例3.相似三角形的性质35(1)测高测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接测量的两点间的距离)测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.(2)测距4.相似三角形的应用(1)测高测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.36(1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(这时的相似比也称为位似比)5.位似(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.(1)如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连5.位似(237(3)位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(3)位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.ABGCED38(4)平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.(4)平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应39考点讲练考点一相似三角形的判定和性质针对训练1．如图,当满足下列条件之一时，都可判定△ADC∽△ACB．(1)；(2)；(3).∠ACD=∠B∠ACB=∠ADCBCAD或AC2=AD·AB考点讲练考点一相似三角形的判定和性质针对训练1．如图,当402.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的其他两条边长为．36和393.如图，△ABC中，AB=9，AC=6，点E在AB上且AE=3，点F在AC上，连接EF，若△AEF

与△ABC相似，则AF=

.BCAE2或4.52.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的3414.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE:EC=1:2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为.

1:94.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE425.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.B·ACDOP证明：连接AC，BC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°.又∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∠PCB＋∠B＝90°.∴∠A＝∠CPB，∴△APC∽△CPB.∴PC2=AP·PB.∴5.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，43例1如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ABCDEFGH解：设正方形EFHG为加工成的正方形零件，边GH在BC

上，顶点E、F分别在AB、

AC上，△ABC的高AD与边

EF相交于点M，设正方形的边长为xmm.M例1如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝12044∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，又∵AM＝AD－MD＝80－x，解得x=48.即这个正方形零件的边长是48mm.

ABCDEFGHM则∴∵EF//BC，又∵AM＝AD－MD＝80－x，解得x45证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例2如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；ABCDFE证明：∵△ABC是等边三角形，例2如图，△ABC是等边三46(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长.解：作BM⊥AC于点M.∵AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，

MD＝1.ABCDFEM在Rt△BDM中，由(1)△ABD∽△CED得，(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长.47即∴ABCDFEM即∴ABCDFEM48证明：连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°－(∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH.例3已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．(1)求证：AC⊥BH；ABCDGEOH证明：连接AD，例3已知：在△ABC中，以AC边为49(2)若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．ABCDGEOH解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD.∵BD=8，∴AD=8.在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，由勾股定理得DC=6，则BC=BD+DC=14.∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，∴△BCE∽△ECD，∴BC:CE=CE:CD，即CE2=BC·CD=14×6=84，∴CE=.(2)若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD50考点二相似的应用例1如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．2m1.2m3.6m考点二相似的应用例1如图，某一时刻一根2m长的竹512m1.2m3.6m解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.即∴2m1.2m3.6m解：如图，CD＝3.6m，∴BC＝6m52例2星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．例2星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到19253解：如图，线段AB为纪念碑，在地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、

BE的长，就可算出纪念碑AB的高．根据，即可算出AB的高．你还有其他方法吗？理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.解：如图，线段AB为纪念碑，在地面上平放一面镜根据54如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？针对训练ABOCD2m6m1.8m如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地255解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴∴解得CD=5.4m.故球能碰到墙面离地5.4m高的地方．ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∴∴解得CD=5.456考点三位似的性质及应用针对训练1.在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个C考点三位似的性质及应用针对训练1.在如图所示的四个图形572.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC和△A′B′C′不存在位似关系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'ABCDB2.已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△A583.如图，DE∥AB，CE=3BE，则△ABC与△DEC

是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，面积比为.DAEBCC4:316:94.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，

3)，(－12，9)，△ABO和△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形.若点A′的坐标为(2，－1)则点B′的坐标为.(4，－3)3.如图，DE∥AB，CE=3BE，则△ABC与595.找出下列图形的位似中心.5.找出下列图形的位似中心.606.如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.ABC(1)在图中△ABC内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心为点O，位似比为2:3.OA′B′C′解：如图所示.(2)线段AA′的长度是.6.如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC617.如图，△ABC在方格纸中.(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，

C(6，2)，并求出B点坐标；解：如图所示，

B(2，1).xyO7.如图，△ABC在方格纸中.解：如图所示，xyO62(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；xyOA′B′C′解：如图所示.(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内x63(3)计算△A′B′C′的面积S.xyOA′B′C′解：(3)计算△A′B′C′的面积S.xyOA′B′C′解：64课堂小结相似相似图形位似相似多边形相似三角形性质平面直角坐标系中的位似应用性质判定平行线分线段成比例定义定义、判定、性质课堂小结相似相似图形位似相似多边形相似三角形性质平面直角坐标65经典专业用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用经典专业用心本课件来源于网络只供免费交流使用66小结与复习第二十八章锐角三角函数小结与复习第二十八章锐角三角函数67(2)∠A的余弦：cosA＝＝；(3)∠A的正切：tanA＝＝.要点梳理1.锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：∠A的对边斜边sinA=∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边要点梳理1.锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝68sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝，tan60°＝.2.特殊角的三角函数1sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；69合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：_______________；三角关系：_________________；边角关系：sinA＝cosB＝_____，cosA＝sinB＝____，tanA＝_________，tanB＝_______.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

3.解直角三角形合作探究(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分70(2)直角三角形可解的条件和解法◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．(2)直角三角形可解的条件和解法◑解法：①一边一锐角，先由71(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=，cosα=_____________，sin2α+cos2α=.tanα·tan(90°－α)=___.cos(90°－α)sin(90°－α)11(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=72对于sinα与tanα，角度越大，函数值越；对于cosα，角度越大，函数值越____.大小(4)锐角三角函数的增减性对于sinα与tanα，角度越大，函数值越；大小73(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(不同计算器操作可能不同)第一步：按计算器键，sintancos4.借助计算器求锐角三角函数值及锐角(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结74(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法①：°＇″2ndF第一步：按计算器键，2ndFsincostan(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用75方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，°＇″2ndF方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取76(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.5.三角函数的应用(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，77以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南(2)方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于78坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有

i=tanα.

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=.(3)坡度，坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有如图：坡面的铅垂高度（79(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案．(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过80ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：6.利用三角函数测高ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E81(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；β③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离

AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？①在测点A处安82考点一求三角函数的值考点讲练例1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为()A.

B.

C.

D.解析：根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝B考点一求三角函数的值考点讲练例1在△ABC中，∠C83方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根841.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是______三角形．直角2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，

C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.针对训练1.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=co85例2矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．108例2矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，86解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.∴tan∠BCF=.∴tan∠AFE=tan∠BCF=.108解：由折叠的性质可得，CF=CD，∴tan∠BCF=87针对训练解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD·tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC=如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．针对训练解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=88考点二特殊角的三角函数值例3计算：解：原式＝考点二特殊角的三角函数值例3计算：解：原式＝89(1)tan30°＋cos45°＋tan60°；(2)tan30°·tan60°＋cos230°.计算：解：原式解：原式针对训练(1)tan30°＋cos45°＋tan60°；(2)t90考点三解直角三角形例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：(1)DC的长；分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD考点三解直角三角形例4如图，在△ABC中，∠C＝9091又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=，又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD解：92(2)sinB的值．ABCD解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，(2)sinB的值．ABCD解：BC=BD+CD=4+6=93方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.94如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).针对训练如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，A95解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC96解：连接OC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP.例5已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P.(1)求证：BP＝BC；解：连接OC.例5已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°97解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，设OP＝x，AP＝3x，∴AO＝x.∵AO＝OE，∴OE＝x，∴AE＝x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE中，∴，解得x＝3，∴AO＝x＝，即⊙O的半径为.(2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半径．E解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，(2)98如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C=，DF=3，求⊙O的半径．针对训练如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，99解：连接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得，BF=3x．∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴cosA=cosC=∴△ABF∽△BDF，∴⊙O的半径为解：连接BD．在⊙O中，∠C=∠A，∵BF是⊙O的切线，∴∠100考点四三角函数的应用例6如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)考点四三角函数的应用例6如图，防洪大堤的横截面是梯形101解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).故改造后的坡长AE为

m.F解：过点A作AF⊥BC于点F，F102如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i=1:．求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)针对训练ABCDEF45°i=1:如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(103ABCDEF45°i=1:GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于G，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.(米)，(米).又∵AG=DG=10米，∴(米).故加固后坝底增加的宽度AF为米.ABCDEF45°i=1:GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥A104例7如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据:(sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）例7如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他105解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，∴∠DAH=∠FAE=30°，在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=，∴CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，GH解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，GH106

在Rt△BDG中，∵BG=DG·tan30°，解得：x≈13，∴大树的高度为：13米.∴∴GH∴∴GH107针对训练如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．

(1)求点B到AD的距离；答案：点B到AD的距离为20m.E针对训练如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前108(2)求塔高CD（结果用根号表示）．E解：在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=(m)，在Rt△ADC中，∠A=30°，答：塔高CD为m.∴(m).(2)求塔高CD（结果用根号表示）．E解：在Rt△ABE中109例8如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）例8如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O110解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，

∴CO=AO·tan∠CAO=（45×0.1+x）·tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，

∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°，∵DC=DO－CO，∴36×0.1=x·tan58°－（4.5+x），因此，B处距离码头O大约13.5km.∴∵tan∠CAO=,∵tan∠DBO=,解：设B处距离码头Oxkm，∴111某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).针对训练某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l112分析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．BC＝＝≈70.2(米)．∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)，t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)．∴t甲>t乙．答：乙先到达B处．分析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长113锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题课堂小结正弦锐角三角函数余弦正切三边关系三角关系边角关系仰俯角问题方位角问题坡度问题锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题课堂小结114经典专业用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用经典专业用心本课件来源于网络只供免费交流使用115小结与复习第二十九章投影与视图小结与复习第二十九章投影与视图116要点梳理1.投影、平行投影、中心投影

(1)投影：物体在光线的照射下，会在某个平面(地面或墙壁)上留下它的影子，这就是投影现象.

如下图：要点梳理1.投影、平行投影、中心投影117(2)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影，如下图：(2)平行投影：118(3)中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影，如下图：(3)中心投影：119(4)平行投影与中心投影的区别与联系：区别联系平行投影

中心投影

投影线互相平行，形成平行投影投影线集中于一点，形成中心投影都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子.(即都是投影)(4)平行投影与中心投影的区别与联系：区别联系平行投影中1202.正投影

(1)概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．(2)性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．ABCDA′B′C′D′PBCDEFGF′A′D′C′B′G′PAH2.正投影(2)性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个1213.三视图

(1)三视图的概念主视图主视图俯视图左视图正面高长宽宽侧面水平面俯视图左视图将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.3.三视图主视图主视图俯视图左视图正面高长宽宽侧面水平面俯122③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；①确定主视图的位置，画出主视图；②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；(2)三视图的画法：主视图俯视图左视图高长宽宽注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，①确定主视图123几何体主视图左视图俯视图(3)常见几何体的三视图：几何体主视图左视图俯视图(3)常见几何体的三视图：124(4)由三视图确定几何体：(5)由三视图确定几何体的面积和体积：由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.(4)由三视图确定几何体：(5)由三视图确定几何体的面积125考点讲练1.试确定图中路灯的位置，并画出此时小赵在路灯下的影子.考点一投影针对训练考点讲练1.试确定图中路灯的位置，并画出此时小赵在路灯下的1262.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是()A.①②③④ B.②①③④C.④①③② D.④③①②东北①②东北③东北④东北D2.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按东北①②127

3.春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是______________(写出符合题意的两个图形即可).正方形、菱形3.春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投正方形、128例1与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树.晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的.你能确定此时路灯光源的位置吗？P例1与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花129某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图(短木棒的影子是玻璃反光形成的)，请确定图中路灯灯泡所在的位置.针对训练某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影1301.下列四个立体图形中，左视图为矩形的是()A.①③B.①④C.②③D.③④B考点二三视图针对训练1.下列四个立体图形中，左视图为矩形的是1312.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()A2.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它A132(1)(2)俯视图主视图左视图俯视图主视图左视图

3.请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图.(1)(2)俯视图主视图左视图俯视图主视图左视图3.1334.请根据下面提供的三视图，画出几何图形.(1)主视图左视图俯视图4.请根据下面提供的三视图，画出几何图形.(1)主视图1345.如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由____________个正方体搭成的.6或7或85.如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何6或71356.如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的表面积(结果保留3位有效数字).解：由三视图知，圆锥的高为cm，底面半径为

2cm，∴圆锥的母线长为4cm.∴圆锥的表面积为π×22+π×2×4=12π≈37.7(cm2).6.如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆解：由三视136物体(立体图形)投影中心投影平行投影正投影(视图)主视图俯视图左视图三视图想象光照点光源平行光线由前向后看由上向下看由左向右看课堂小结光线垂直于投影面物体(立体投影中心投影平行投影正投影主视图俯视图左视图三视图137新人教版九年级下册数学期末分单元复习课件138经典专业用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用经典专业用心本课件来源于网络只供免费交流使用139小结与复习第二十六章反比例函数小结与复习第二十六章反比例函数1401.反比例函数的概念要点梳理定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．三种表达式方法：或xy＝kx或y＝kx－1(k≠0)．防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.1.反比例函数的概念要点梳理定义：形如________(1412.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)的图象是，它既是轴对称图形又是中心对称图形.

反比例函数的两条对称轴为直线和；对称中心是：.双曲线原点y=xy=－x2.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比142(2)反比例函数的性质图象所在象限性质(k≠0)k＞0一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y

随x的增大而减小k＜0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而增大xyoxyo(2)反比例函数的性质图象所在象限性质k＞0一、三象限(143(3)反比例函数比例系