相变传热课件

相变传热焦冬生热科学与能源工程系1

相变传热焦冬生1

内容引言精确解（诺曼（Neumann）解）分析方法—移动热源法 近似方法数值方法2

内容引言2

一、引言相变过程其实就是传热传质过程；这类传热现象的基本特征由边界（固液交界面）移动引起的非线性（nonlinearity）化，使得此类问题变得更复杂，并且每一个问题均有其独特性。引起数学处理较为困难的其他因素：在相变前、进行中和后，其物理性质依赖于温度，而温度分布是三维的和瞬时的变化。有时，溶解和凝结时发生的复杂又令人困惑的现象，使得传统的分析方法无法解决。3

一、引言相变过程其实就是传热传质过程；3热传导方程静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程直角坐标系4热传导方程静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程柱坐标和球坐标5柱坐标和球坐标5边界条件和初始条件第一类边界条件：边界上温度给定第二类边界条件：边界边上温度的法向导数给定第三类边界条件：边界边上温度和法向导数的线性组合给定6边界条件和初始条件第一类边界条件：边界上温度给定6解析解

——分离变量法平板7解析解

——分离变量法平板7解析解

——分离变量法此方程中，左边只是空间变量x的函数，右边只是时间变量t函数,要使等式成立，只有两边都等于同一个常数8解析解

——分离变量法此方程中，左边只是空间变量x的函数，右时间变量方程9时间变量方程9空间变量函数满足微分方程10空间变量函数满足微分方程10特征方程的根为一对共轭复数根通解为11特征方程的根为一对共轭复数根11温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线性迭加原理构成，其形式为12温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线性迭加原理构成，其形这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条件，但是它并不一定满足初始条件。因此，将初始条件应用于上式可得未知系数可根根据下述特征函数的正交性来确定：13这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条件，但是它并不我们用算子对F(x)的两边进行运算，再根据正交性，可得14我们用算子对F(x)相变传热现象物理现象（连续介质）有单一相变温度和明确界面。相变有一个温度范围，存在两相区。相变传热模型温度法以温度为唯一的因变量，分别在固相和液相区建立能量守恒方程。焓法焓和温度共同作为因变量，无需分区建立控制方程15相变传热现象物理现象（连续介质）15温度法控制方程界面耦合条件以下情况不考虑速度场：忽略密度变化的影响，液相内只有导热；密度不同，但液相一直处于相变温度。16温度法16焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。积分形式的控制方程把原来在两个活动区域及固液界面成立的方程组转换为在一个固定区域内成立的方程，无需跟踪界面。便于数值计算。17焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。17界面移动规律半无限大物体在某个时间t

，固体层厚度为x(t)，暴露的表面保持在温度Ts，Ts比相变温度低。在交界面处释放出来的热量必须由热传导经过固体导出，假定液相中没有温度梯度。被释放出来的热量经过固体层导出解出增长层的表达式

热容可以忽略不计的凝固过程18界面移动规律热容可以忽略不计的凝固过程18

二、诺曼（Neumann）解:半无限大物体相变问题斯蒂芬（Stefan）问题考虑一个分布在正x区域处于均匀温度Ti的液体，Ti高于其固态的熔解温度Tf。在t=0时，处于x=0的液态表面突然降到Tw（<Tf），并保持下去。这样，凝固从x=0的表面开始，固液交界面则沿x正方向移动。固液两相密度相同这类问题通常称为斯蒂芬问题。

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二、诺曼（Neumann）解:半无限大物体相变问题斯蒂芬（斯蒂芬（Stefan）问题的数学描述

固相内数学描述

液相内数学描述

固液界面x=s(t)处的耦合条件20斯蒂芬（Stefan）问题的数学描述

固相内数学描述

假定固相和液相内温度分布的解分别为解（13）满足微分方程、边界条件和初始条件（10-11）。带入界面条件（12）可得为常数，得到系数A，B的表达式21假定固相和液相内温度分布的解分别为21通过固定边界位置，诺曼得到固相区和液相区的温度分布如下（具体方法参见M.N.奥齐西克《热传导》）：由下式确定;22通过固定边界位置，诺曼得到固相区和液相区的温度分布如下（具体表面热流总传热量23表面热流23误差函数24误差函数24

诺曼解的应用获得了一些应用；但求解问题的范围很小。25

诺曼解的应用获得了一些应用；25固液相密度不同的材料，固定边界将导致液相的整体运动，自由界面将导致两个界面的移动。凝固过程（）液相在x方向的整体运动速度液相的能量方程固相的解同前液相解26固液相密度不同的材料，固定边界将导致液相的整体运动，自由界面定热流边界相变27定热流边界相变27接触相变——界面温度恒定，溶解过程中溶解物被完全排除28接触相变——界面温度恒定，溶解过程中溶解物被完全排除282929存在相变区假定两相区固相成分与距离成线性关系相变热处理成内热源30存在相变区3031313232多相变问题半无限大液体初始温度为T，t>=0后表面瞬间冷却并保持较低温度Tw，此时液体发生凝固。假设介质有两个相变温度Tm1，Tm2，且Ti>Tm1>Tm2>Tw，相变热分别为hm1，hm2。固液密度相同构造温度函数带入边界温度条件33多相变问题33相界面的位置利用相界面的能量守恒条件34相界面的位置34三、分析方法—移动热源法

（Movingheatsourcemethod）凝固（或熔解）过程中热量的释放（或吸收）可视为在固—液交界面处有一移动的平面热源（或汇）。从这一认识出发，可以把瞬态的相变问题在形式上考虑为具有移动平面热源的瞬态热传导问题。用这一方法求解瞬态相变问题最早的是Lightfoot。N.M.H.Lightfoot,TheEffectofLatentHeatontheSolidificationofSteelIngots（工业纯铁）,3rd.ReportofC.H.S.I.,J.IronandSteelInstitute,vol.1,364,1929.35三、分析方法—移动热源法

（Movingheat

移动热源法求解相变问题的基本步骤用一个等价的在固-液界面上具有移动平面热源（或汇）的瞬态热传导问题来代替相变问题，由此得到的热传导问题在形式上讲是对温度求解的。这样在算到固-液界面时，应要求界面的温度为熔解温度Tm。从这一要求出发，就会得到固-液界面位置的积分方程。通过求解该积分方程，即可求得固-液界面的位置。这个方法在如何把对相变问题的分析转化为对固-液界面位置积分方程求解方面是很简捷的。由此得到的积分方程也许不能用分析方法求解，但可以用近似的或数值的方法求解。36

移动热源法求解相变问题的基本步骤用一个等价的在固-液界面上

例半空间内的凝固问题（双区域问题）一种占据x>0半空间的液体具有均匀的温度Ti,此值高于材料相变的熔解温度Tm。当时间t>0时，边界面维持在低于Tm的温度T0（T0

=0）。凝固从x=0的面开始，固相前锋沿x正方向移动。这一问题从根本上讲与诺曼问题是一样的。在以下分析中，为便于把相变问题转化为具有移动热源的瞬态热传导问题，我们假定液相和固相的热物性（密度）是相同的。37

例半空间内的凝固问题（双区域问题）37

解本问题的数学描述对固相为对液相为对固-液界面为38

解本问题的数学描述对固相为对液相为对固-液界面为38

上述相变问题等价于求解在x>0区域内，x=s(t)处具有移动平面热源的瞬态热传导问题：并有附加条件式中为狄拉克函数39

上述相变问题等价于求解在x>0区域内，x=s(t)处两个问题等价性的证明显然，由于热源形式为狄拉克函数，在x<s(t)处，热传导微分方程（29-a）简化为方程（26-a）；在x>s(t)处，热传导微分方程（29-a）简化为（27-a）。40两个问题等价性的证明显然，由于热源形式为狄拉克函数，在x<s两个问题等价性的证明边界条件与初始条件（29-b）、（29-c）和（29-d）分别与相变问题中式（26-b）、（27-b）和（27-c）所示的条件相同。41两个问题等价性的证明边界条件与初始条件（29-b）、（29-两个问题等价性的证明式（29-e）所示的这一条件等价于界面条件（28-a）。最终应证明由（29-a）可导得界面阶跃条件（28-b）.42两个问题等价性的证明式（29-e）所示的这一条件等价于界面条两个问题等价性的证明为证明这一点，对方程（29-a）由至对界面进行积分，并令。由于在交界面上是连续函数，式（29-a）的右边可以消去。由此可得此式与界面方程（28-b）是完全一样的。因此，求解式（29）所描述的瞬态热传导问题等价于求解上述相变问题。

43两个问题等价性的证明为证明这一点，对方程（29-a）由

方程（29a-d）所描述的热传导问题的求解将该问题分解成两个较为简单的问题，如式中，是如下问题的解：44

方程（29a-d）所描述的热传导问题的求解将该问题分解成两

是如下问题的解：45是如下问题的解：45解可表示为用格林函数表示的解为式中对进行积分后，为46解可表示为46将解式（34）与（36）代入式（31），且利用条件（29-e），可得

此式即为关于固-液界面位置的积分方程。求解该积分方程，就可求得。47将解式（34）与（36）代入式（31），且利用条件（29-e莱特富特在求解该积分方程时，假设可表示为如下形式：其中仍是待定的。有了值后，积分方程（37）可由误差函数来表示。在对变量进行某些变换之后，积分方程（37）简化成如下求的超越方程：此式重新整理后，可得我们注意到，式（39-b）是诺曼问题中的一种特殊情形。所以，用移动热源法所获得的解为本问题的精确解。48莱特富特在求解该积分方程时，假设可表示为如下形式格林函数格林函数表示在r’处有一强度为一个单位的脉冲点热源于时间τ’时自行释放热量后区域R内温度的分布狄拉克（Dirac）函数49格林函数49

移动热源法的应用K.A.RathjenandL.M.Jiji,Heatconductionwithmeltingorfreezinginacorner,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.16,pp101-109,1973.将方法二维瞬态熔解或凝固的相变问题应用于表面具有均匀温度的直角。该解得到的移动界面类似于双曲线（superhyperbola）。H.BudhiaandF.Kreith,Heattransferwithmeltingorfreezinginawedge,Int.J.HeatMassTransfer,vol.16,pp.1950211,1973.在楔型容器中的相变，冷冻液相或熔解固相具有均匀温度，楔型表面温度保持一致，H.Budhia和F.Kreith得到固液界面的形状和固液相中的温度分布50

移动热源法的应用K.A.RathjenandL.M.JY.K.ChuangandJ.Szekely.OntheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblems,Int.J.HeatMassTransfer,vol.14,pp.1285-1294,1971.Y.K.ChuangandJ.Szekely.TheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblemsinthecylindricalcoordinatesystem,Int.J.HeatMassTransfer,vol.15,pp.1171-1174,1972.在圆柱坐标和直角坐标体系内，该方法应用在二元混合液中由于对流加热和分散熔解而造成的熔化烧蚀（meltingablation）。51Y.K.ChuangandJ.Szekely.OntA.M.HassaneinandG.L.Kulcinski,SimulationofrapidheatinginfusionreactorfirstwallsusingtheGreen’sFunctionapproach,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.106,pp.486-490,1984.分析了一种包括辐射影响的具有复杂边界条件的瞬态相变。值得注意的是虽然该方法简单而直接但他把相变问题的分析转换为固液界面位置的积分方程的求解。通常，积分方程只能近似或数值求解，除非问题类似于Lightfoot考虑的。52A.M.HassaneinandG.L.Kulcinsk四、Paterson法（圆柱坐标）一条强度为Q的线热汇置于均匀温度的液体中，位置为r=0，温度Ti高于物质的熔解温度。从时间T=0开始，热汇不断吸收热量，凝固过程以r=0为原点开始，且固液界面向r正方向移动。Paterson认为如果热传导方程解的形式取指数积分函数，则上述问题具有精确解。指数积分函数53四、Paterson法（圆柱坐标）一条强度为Q的线热汇置于均固相（圆柱坐标）液相固液界面54固相（圆柱坐标）54解的形式对r求导解满足微分方程和边界条件及初始条件。55解的形式55求解系数A,B,C线汇能量平衡得到解带入界面条件56求解系数A,B,C56解超越方程57解57五、近似方法

热平衡积分法（Heat-balanceintegralmethod

）积分法的基本概念求解相变问题的积分法58五、近似方法

热平衡积分法（Heat-bal

积分法的基本概念各种分析求解方法只能对几何形状简单的热传导问题进行求解。在这些问题中，微分方程与边界条件都是线性的。对于非线性的问题，只有极少数的特殊情况下才能精确求解。另外，分析解也不适用于几何形状复杂的情形。所以，当遇到分析求解太难或无法求解，而数值求解又不合适的情况时，就可用近似分析解法。而且，与单纯数值解相比，分析解所提供的结果有利于更好地理解影响该问题各种参数的物理意义。正是由于这样的缘故，在求解热传导问题中，各种近似的分析方法得到了发展。如积分法，热传导问题的变分表达式及由此导得的瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法、伽略金法以及偏积分法。近似解准确与否是通过将其结果与精确解的结果作比较来评定的。59

积分法的基本概念各种分析求解方法只能对几何形状简单的热传导积分法在求解偏微分方程中的应用可追溯到冯·卡门（VonKarman）与波尓豪森(Pohlhausen)，他们用近似分析方法求解了流体力学中的动量边界层方程与能量边界层方程。兰代尔（Landahl）把它用于生物物理领域求解分离浓缩物的扩散方程。默克（Merk）用这种方法求解了二维稳定的熔化问题。古德曼（Goodman）用它求解一维瞬态的熔化问题。从此以后，这种方法就应用于求解各类一维瞬态热传导问题、熔化与凝固问题以及诸如海水中的冰在熔化过程中与聚合物在熔化及热压过程中的热量传输和动量传输问题。60积分法在求解偏微分方程中的应用可追溯到冯·卡门（VonKa对于一定边界条件下的一维瞬态热传导边值问题，无论是线性的或是非线性的，使用积分法都是很简捷的，而且十分方便。尽管用积分法所得的结果是近似的，但当把由此得到的很多近似结果与精确解的结果作比较时，即可发现，就工程应用观点来看其准确程度一般已达到令人满意的程度。61对于一定边界条件下的一维瞬态热传导边值问题，无论是线性的或是精确求解在特定边界条件及初始条件下某一区域中的热传导微分方程，由此得到的解对该区域内每一个点都应满足，而用积分的方法得到的解对该区域只是平均的得到满足。下面，我们应用积分法求解具有特定边界条件、均匀初始条件和无热源的半无限大物体中一维的瞬态热传导问题，概括的叙述一下用积分法分析问题的基本步骤。

62精确求解在特定边界条件及初始条件下某一区域中的热传导微分方程

用积分法分析问题的基本步骤将热传导微分方程对称为热层的一表观厚度进行积分，可把微分方程中有关空间变量的导数去掉。对热层厚度作如下定义：若从实际应用角度来看，超过某一厚度就不再存在热流，则将此厚度定义为热层。因此，超过，初始的温度分布就不再受影响。由此得到的方程称为能量积分方程（也称热平衡积分）。63

用积分法分析问题的基本步骤将热传导微分方程对称为热层的一表

用积分法分析问题的基本步骤选某一合适的剖面作为热层内的温度分布。通常选某一多项式为剖面。经验已经表明：所选的多项式高于四次后，解的精度不再有明显的改进。多项式中的系数可根据实际的边界条件予以确定，并用热层厚度来表示。64

用积分法分析问题的基本步骤选某一合适的剖面作为热层内的温度

用积分法分析问题的基本步骤把所得到的温度剖面代入能量积分方程，在进行简要的运算之后，即可得到关于热层厚度以时间为自变量的常微分方程。这个微分方程的解满足特定的初始条件即，此时，,并给出，它是时间的函数。从第3步得知后，即可知道温度分，它是时间与物体内位置的函数。65

用积分法分析问题的基本步骤把所得到的温度剖面代入能量积分方例一半无限大物体的瞬态热传导问题初始时该半无限大物体有均匀温度，在时间时，边界面维持为恒温。该问题的数字描述为66例一半无限大物体的瞬态热传导问题66按前面介绍的基本步骤用积分法求解该问题

1.将方程

对空间变量从到进行积分得对上式右边进行积分时，运用积分号下的微分规则，可得。67按前面介绍的基本步骤用积分法求解该问题1.将方程67根据热层的定义，得为便于以下分析，定义

将两方程代入得

式（58）称为本问题的能量积分方程68根据热层的定义，得68

2.选用下列形式的三次多项式来表示：式（59）中的系数一般为时间的函数。为了用来表示这四个系数，需要四个条件，其中三个条件可从x=0的边界条件与热层边缘处的边界条件来得到，为第四个边界条件可根据对微分方程（55a）在x=0处的计算以及利用x=0处T=T0=常数，这一事实推导得到，即x=0处温度对时间的导数为零。由此可得将（60）的四个条件用于式（59），可得到如下形式的温度剖面：

692.选用下列形式的三次多项式来表示

3.将温度剖面代入能量积分方程，在完成简要运算之后，可得到有关的常微分方程：具有初始条件方程（62）的解为

703.将温度剖面70

4.知道后，确定温度分布，可得式中

714.知道后，确定温度分布

求解相变问题的积分法积分法是求解一维瞬态相变问题的一种较为简单而直接的方法，已有很多研究者用这个方法进行求解。在用积分法求解相变问题时，分析过程的基本步骤与解一般热传导问题大体上是一样的，只是在构成温度剖面需要作某些修正。72

求解相变问题的积分法72

例题

半空间内的熔解过程（单区域问题）。为了对用积分法求解一维非稳态相变问题的准确性有一定的认识，这里讨论的问题为x>0的半空间固体的熔解过程。开始时，该固体处于熔解温度Tm。当时间t>0时，x=0的边界面维持在恒定的温度T0，T0高于固体的熔解温度Tm。熔解过程从x=0的表面开始，固-液界面向x的正方向移动。试通过本例分析求得固-液界面的位置随时间的变化规律。73例题半空间内的熔解过程（单区域问题）。为了对用积分法求

解本问题的数学描述液相内的方程为界面的方程为

74

解本问题的数学描述74用积分法进行求解时，第一步是定义热层厚度。超过这个厚度，温度梯度实际上可认为零。固-液界面的位置与热层厚度的定义相同，当时，固相内的温度梯度为零。因此，我们取区域

为热层厚度，这对本问题来说是合适的。将热传导方程从到进行积分，可得为书写简便，这里省掉了角码。根据边界条件（65-c）与（65-d），式（66）简化为式中（67）式为该问题的能量积分方程。75用积分法进行求解时，第一步是定义热层厚度。超过这个为求解该方程，我们取如下形式的二阶多项式作为近似温度分布：式中。为求得上式中的三个系数，必须有三个条件。式（65-b）与（65-c）提供了二个条件，而式

（65-d）所示的关系式并不适用于求系数，因为，如若用式（65-d），最终得到的温度剖面必将包含项。若再将这一剖面代入能量积分方程中，得到的是的二阶常微分方程，而不是常用的一阶方程。76为求解该方程，我们取如下形式的二阶多项式作为近似温度

为避免这个困难，这里提出另一种关系式对边界条件（65-c）进行微分得：或利用消去项，可得77

为避免这个困难，这里提出另一种关系式77由式消去，可得78由式78这一关系式，结合与处的边界条件，即就可得到能求得式（68）中未知数的三个独立关系式。最终的温度剖面成为79这一关系式，结合与处将温度剖面式（73）代入能量积分方程，在进行简要的运算之后，可得如下用以确定固-液界面位置的常微分方程：

方程（74）的解为80将温度剖面式（73）代入能量积分方程，在进行简要的运算之后，Thank81

相变传热焦冬生热科学与能源工程系82

相变传热焦冬生1

内容引言精确解（诺曼（Neumann）解）分析方法—移动热源法 近似方法数值方法83

内容引言2

一、引言相变过程其实就是传热传质过程；这类传热现象的基本特征由边界（固液交界面）移动引起的非线性（nonlinearity）化，使得此类问题变得更复杂，并且每一个问题均有其独特性。引起数学处理较为困难的其他因素：在相变前、进行中和后，其物理性质依赖于温度，而温度分布是三维的和瞬时的变化。有时，溶解和凝结时发生的复杂又令人困惑的现象，使得传统的分析方法无法解决。84

一、引言相变过程其实就是传热传质过程；3热传导方程静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程直角坐标系85热传导方程静止的均匀物体内含有热源的各向同性物体的热传导方程柱坐标和球坐标86柱坐标和球坐标5边界条件和初始条件第一类边界条件：边界上温度给定第二类边界条件：边界边上温度的法向导数给定第三类边界条件：边界边上温度和法向导数的线性组合给定87边界条件和初始条件第一类边界条件：边界上温度给定6解析解

——分离变量法平板88解析解

——分离变量法平板7解析解

——分离变量法此方程中，左边只是空间变量x的函数，右边只是时间变量t函数,要使等式成立，只有两边都等于同一个常数89解析解

——分离变量法此方程中，左边只是空间变量x的函数，右时间变量方程90时间变量方程9空间变量函数满足微分方程91空间变量函数满足微分方程10特征方程的根为一对共轭复数根通解为92特征方程的根为一对共轭复数根11温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线性迭加原理构成，其形式为93温度的完全解可由上述分离方程的基本解按线性迭加原理构成，其形这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条件，但是它并不一定满足初始条件。因此，将初始条件应用于上式可得未知系数可根根据下述特征函数的正交性来确定：94这个解既满足热传导问题的微分方程，又满足边界条件，但是它并不我们用算子对F(x)的两边进行运算，再根据正交性，可得95我们用算子对F(x)相变传热现象物理现象（连续介质）有单一相变温度和明确界面。相变有一个温度范围，存在两相区。相变传热模型温度法以温度为唯一的因变量，分别在固相和液相区建立能量守恒方程。焓法焓和温度共同作为因变量，无需分区建立控制方程96相变传热现象物理现象（连续介质）15温度法控制方程界面耦合条件以下情况不考虑速度场：忽略密度变化的影响，液相内只有导热；密度不同，但液相一直处于相变温度。97温度法16焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。积分形式的控制方程把原来在两个活动区域及固液界面成立的方程组转换为在一个固定区域内成立的方程，无需跟踪界面。便于数值计算。98焓法对材料的密度和相变特性没作特殊假设。17界面移动规律半无限大物体在某个时间t

，固体层厚度为x(t)，暴露的表面保持在温度Ts，Ts比相变温度低。在交界面处释放出来的热量必须由热传导经过固体导出，假定液相中没有温度梯度。被释放出来的热量经过固体层导出解出增长层的表达式

热容可以忽略不计的凝固过程99界面移动规律热容可以忽略不计的凝固过程18

二、诺曼（Neumann）解:半无限大物体相变问题斯蒂芬（Stefan）问题考虑一个分布在正x区域处于均匀温度Ti的液体，Ti高于其固态的熔解温度Tf。在t=0时，处于x=0的液态表面突然降到Tw（<Tf），并保持下去。这样，凝固从x=0的表面开始，固液交界面则沿x正方向移动。固液两相密度相同这类问题通常称为斯蒂芬问题。

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二、诺曼（Neumann）解:半无限大物体相变问题斯蒂芬（斯蒂芬（Stefan）问题的数学描述

固相内数学描述

液相内数学描述

固液界面x=s(t)处的耦合条件101斯蒂芬（Stefan）问题的数学描述

固相内数学描述

假定固相和液相内温度分布的解分别为解（13）满足微分方程、边界条件和初始条件（10-11）。带入界面条件（12）可得为常数，得到系数A，B的表达式102假定固相和液相内温度分布的解分别为21通过固定边界位置，诺曼得到固相区和液相区的温度分布如下（具体方法参见M.N.奥齐西克《热传导》）：由下式确定;103通过固定边界位置，诺曼得到固相区和液相区的温度分布如下（具体表面热流总传热量104表面热流23误差函数105误差函数24

诺曼解的应用获得了一些应用；但求解问题的范围很小。106

诺曼解的应用获得了一些应用；25固液相密度不同的材料，固定边界将导致液相的整体运动，自由界面将导致两个界面的移动。凝固过程（）液相在x方向的整体运动速度液相的能量方程固相的解同前液相解107固液相密度不同的材料，固定边界将导致液相的整体运动，自由界面定热流边界相变108定热流边界相变27接触相变——界面温度恒定，溶解过程中溶解物被完全排除109接触相变——界面温度恒定，溶解过程中溶解物被完全排除2811029存在相变区假定两相区固相成分与距离成线性关系相变热处理成内热源111存在相变区301123111332多相变问题半无限大液体初始温度为T，t>=0后表面瞬间冷却并保持较低温度Tw，此时液体发生凝固。假设介质有两个相变温度Tm1，Tm2，且Ti>Tm1>Tm2>Tw，相变热分别为hm1，hm2。固液密度相同构造温度函数带入边界温度条件114多相变问题33相界面的位置利用相界面的能量守恒条件115相界面的位置34三、分析方法—移动热源法

（Movingheatsourcemethod）凝固（或熔解）过程中热量的释放（或吸收）可视为在固—液交界面处有一移动的平面热源（或汇）。从这一认识出发，可以把瞬态的相变问题在形式上考虑为具有移动平面热源的瞬态热传导问题。用这一方法求解瞬态相变问题最早的是Lightfoot。N.M.H.Lightfoot,TheEffectofLatentHeatontheSolidificationofSteelIngots（工业纯铁）,3rd.ReportofC.H.S.I.,J.IronandSteelInstitute,vol.1,364,1929.116三、分析方法—移动热源法

（Movingheat

移动热源法求解相变问题的基本步骤用一个等价的在固-液界面上具有移动平面热源（或汇）的瞬态热传导问题来代替相变问题，由此得到的热传导问题在形式上讲是对温度求解的。这样在算到固-液界面时，应要求界面的温度为熔解温度Tm。从这一要求出发，就会得到固-液界面位置的积分方程。通过求解该积分方程，即可求得固-液界面的位置。这个方法在如何把对相变问题的分析转化为对固-液界面位置积分方程求解方面是很简捷的。由此得到的积分方程也许不能用分析方法求解，但可以用近似的或数值的方法求解。117

移动热源法求解相变问题的基本步骤用一个等价的在固-液界面上

例半空间内的凝固问题（双区域问题）一种占据x>0半空间的液体具有均匀的温度Ti,此值高于材料相变的熔解温度Tm。当时间t>0时，边界面维持在低于Tm的温度T0（T0

=0）。凝固从x=0的面开始，固相前锋沿x正方向移动。这一问题从根本上讲与诺曼问题是一样的。在以下分析中，为便于把相变问题转化为具有移动热源的瞬态热传导问题，我们假定液相和固相的热物性（密度）是相同的。118

例半空间内的凝固问题（双区域问题）37

解本问题的数学描述对固相为对液相为对固-液界面为119

解本问题的数学描述对固相为对液相为对固-液界面为38

上述相变问题等价于求解在x>0区域内，x=s(t)处具有移动平面热源的瞬态热传导问题：并有附加条件式中为狄拉克函数120

上述相变问题等价于求解在x>0区域内，x=s(t)处两个问题等价性的证明显然，由于热源形式为狄拉克函数，在x<s(t)处，热传导微分方程（29-a）简化为方程（26-a）；在x>s(t)处，热传导微分方程（29-a）简化为（27-a）。121两个问题等价性的证明显然，由于热源形式为狄拉克函数，在x<s两个问题等价性的证明边界条件与初始条件（29-b）、（29-c）和（29-d）分别与相变问题中式（26-b）、（27-b）和（27-c）所示的条件相同。122两个问题等价性的证明边界条件与初始条件（29-b）、（29-两个问题等价性的证明式（29-e）所示的这一条件等价于界面条件（28-a）。最终应证明由（29-a）可导得界面阶跃条件（28-b）.123两个问题等价性的证明式（29-e）所示的这一条件等价于界面条两个问题等价性的证明为证明这一点，对方程（29-a）由至对界面进行积分，并令。由于在交界面上是连续函数，式（29-a）的右边可以消去。由此可得此式与界面方程（28-b）是完全一样的。因此，求解式（29）所描述的瞬态热传导问题等价于求解上述相变问题。

124两个问题等价性的证明为证明这一点，对方程（29-a）由

方程（29a-d）所描述的热传导问题的求解将该问题分解成两个较为简单的问题，如式中，是如下问题的解：125

方程（29a-d）所描述的热传导问题的求解将该问题分解成两

是如下问题的解：126是如下问题的解：45解可表示为用格林函数表示的解为式中对进行积分后，为127解可表示为46将解式（34）与（36）代入式（31），且利用条件（29-e），可得

此式即为关于固-液界面位置的积分方程。求解该积分方程，就可求得。128将解式（34）与（36）代入式（31），且利用条件（29-e莱特富特在求解该积分方程时，假设可表示为如下形式：其中仍是待定的。有了值后，积分方程（37）可由误差函数来表示。在对变量进行某些变换之后，积分方程（37）简化成如下求的超越方程：此式重新整理后，可得我们注意到，式（39-b）是诺曼问题中的一种特殊情形。所以，用移动热源法所获得的解为本问题的精确解。129莱特富特在求解该积分方程时，假设可表示为如下形式格林函数格林函数表示在r’处有一强度为一个单位的脉冲点热源于时间τ’时自行释放热量后区域R内温度的分布狄拉克（Dirac）函数130格林函数49

移动热源法的应用K.A.RathjenandL.M.Jiji,Heatconductionwithmeltingorfreezinginacorner,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.16,pp101-109,1973.将方法二维瞬态熔解或凝固的相变问题应用于表面具有均匀温度的直角。该解得到的移动界面类似于双曲线（superhyperbola）。H.BudhiaandF.Kreith,Heattransferwithmeltingorfreezinginawedge,Int.J.HeatMassTransfer,vol.16,pp.1950211,1973.在楔型容器中的相变，冷冻液相或熔解固相具有均匀温度，楔型表面温度保持一致，H.Budhia和F.Kreith得到固液界面的形状和固液相中的温度分布131

移动热源法的应用K.A.RathjenandL.M.JY.K.ChuangandJ.Szekely.OntheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblems,Int.J.HeatMassTransfer,vol.14,pp.1285-1294,1971.Y.K.ChuangandJ.Szekely.TheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblemsinthecylindricalcoordinatesystem,Int.J.HeatMassTransfer,vol.15,pp.1171-1174,1972.在圆柱坐标和直角坐标体系内，该方法应用在二元混合液中由于对流加热和分散熔解而造成的熔化烧蚀（meltingablation）。132Y.K.ChuangandJ.Szekely.OntA.M.HassaneinandG.L.Kulcinski,SimulationofrapidheatinginfusionreactorfirstwallsusingtheGreen’sFunctionapproach,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.106,pp.486-490,1984.分析了一种包括辐射影响的具有复杂边界条件的瞬态相变。值得注意的是虽然该方法简单而直接但他把相变问题的分析转换为固液界面位置的积分方程的求解。通常，积分方程只能近似或数值求解，除非问题类似于Lightfoot考虑的。133A.M.HassaneinandG.L.Kulcinsk四、Paterson法（圆柱坐标）一条强度为Q的线热汇置于均匀温度的液体中，位置为r=0，温度Ti高于物质的熔解温度。从时间T=0开始，热汇不断吸收热量，凝固过程以r=0为原点开始，且固液界面向r正方向移动。Paterson认为如果热传导方程解的形式取指数积分函数，则上述问题具有精确解。指数积分函数134四、Paterson法（圆柱坐标）一条强度为Q的线热汇置于均固相（圆柱坐标）液相固液界面135固相（圆柱坐标）54解的形式对r求导解满足微分方程和边界条件及初始条件。136解的形式55求解系数A,B,C线汇能量平衡得到解带入界面条件137求解系数A,B,C56解超越方程138解57五、近似方法

热平衡积分法（Heat-balanceintegralmethod

）积分法的基本概念求解相变问题的积分法139五、近似方法

热平衡积分法（Heat-bal

积分法的基本概念各种分析求解方法只能对几何形状简单的热传导问题进行求解。在这些问题中，微分方程与边界条件都是线性的。对于非线性的问题，只有极少数的特殊情况下才能精确求解。另外，分析解也不适用于几何形状复杂的情形。所以，当遇到分析求解太难或无法求解，而数值求解又不合适的情况时，就可用近似分析解法。而且，与单纯数值解相比，分析解所提供的结果有利于更好地理解影响该问题各种参数的物理意义。正是由于这样的缘故，在求解热传导问题中，各种近似的分析方法得到了发展。如积分法，热传导问题的变分表达式及由此导得的瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法、伽略金法以及偏积分法。近似解准确与否是通过将其结果与精确解的结果作比较来评定的。140

积分法的基本概念各种分析求解方法只能对几何形状简单的热传导积分法在求解偏微分方程中的应用可追溯到冯·卡门（VonKarman）与波尓豪森(Pohlhausen)，他们用近似分析方法求解了流体力学中的动量边界层方程与能量边界层方程。兰代尔（Landahl）把它用于生物物理领域求解分离浓缩物的扩散方程。默克（Merk）用这种方法求解了二维稳定的熔化问题。古德曼（Goodman）用它求解一维瞬态的熔化问题。从此以后，这种方法就应用于求解各类一维瞬态热传导问题、熔化与凝固问题以及诸如海水中的冰在熔化过程中与聚合物在熔化及热压过程中的热量传输和动量传输问题。141积分法在求解偏微分方程中的应用可追溯到冯·卡门（VonKa对于一定边界条件下的一维瞬态热传导边值问题，无论是线性的或是非线性的，使用积分法都是很简捷的，而且十分方便。尽管用积分法所得的结果是近似的，但当把由此得到的很多近似结果与精确解的结果作比较时，即可发现，就工程应用观点来看其准确程度一般已达到令人满意的程度。142对于一定边界条件下的一维瞬态热传导边值问题，无论是线性的或是精确求解在特定边界条件及初始条件下某一区域中的热传导微分方程，由此得到的解对该区域内每一个点都应满足，而用积分的方法得到的解对该区域只是平均的得到满足。下面，我们应用积分法求解具有特定边界条件、均匀初始条件和无热源的半无限大物体中一维的瞬态热传导问题，概括的叙述一下用积分法分析问题的基本步骤。

143精确求解在特定边界条件及初始条件下某一区域中的热传导微分方程

用积分法分析问题的基本步骤将热传导微分方程对称为热层的一表观厚度进行积分，可把微分方程中有关空间变量的导数去掉。对热层厚度作如下定义：若从实际应用角度来看，超过某一厚度就不再存在热流，则将此厚度定义为热层。因此，超过，初始的温度分布就不再受影响。由此得到的方程称为能量积分方程（也称热平衡积分）。144

用积分法分析问题的基本步骤将热传导微分方程对称为热层的一表

用积分法分析问题的基本步骤选某一合适的剖面作为热层内的温度分布。通常选某一多项式为剖面。经验已经表明：所选的多项式高于四次后，解的精度不再有明显的改进。多项式中的系数可根据实际的边界条件予以确定，并用热层厚度来表示。145

用积分法分析问题的基本步骤选某一合适的剖面作为热层内的温度

用积分法分析问题的基本步骤把所得到的温度剖面代入能量积分方程，在进行简要的运算之后，即可得到关于热层厚度以时间为自变量的常微分方程。这个微分方程的解满足特定的初始条件即，此时，,并给出，它是时间的函数。从第3步得知后，即可知道温度分，它是时间与物体内位置的函数。146

用积分法分析问题的基本步骤把所得到的温度剖面代入能量积分方例一半无限大物体的瞬态热传导问题初始时该半无限大物体有均匀温度，在时间时，边界面维持为恒温。该问题的数字描述为147例一半无限大物体的瞬态热传导问题66按前面介绍的基本步骤用积分法求解该问题

1.将方程

对空间变量从到