流体力学 Char04 量纲分析与相似理论20110505课件

第四章 量纲分析与相似理论工程流体力学第四章 量纲分析与相似理论§4-1

量纲分析的概念和原理§4-2

量纲分析法§4-3

流动相似的基本概念§4-4

流动相似准则§4-5

相似原理的应用模型试验第四章 量纲分析与相似理论二、本章重点掌握:量纲分析方法相似理论及其应用相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则模型实验设计方法第四章量纲分析与相似理论(4学时)§4-1量纲分析的基本概念一、单位与量纲单位（unit）：表征物理量的大小.如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等.量纲（dimension）：表征各物理量单位的种类.如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示.单位：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。

量纲：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。如长度量纲为[L]。—“质”的表征。

基本量纲（fundamentaldimension）：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、时间、质量，即[L-M-T]诱导量纲（deriveddimension）:是指由基本量纲导出的量纲。

§4-1量纲分析的基本概念量纲公式（分类）:

几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0，运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0

无量纲数（纯数，如相似准数）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；（2）具有客观性；（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。

§4-1量纲分析的基本概念在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物理量作为基本物理量.2.基本物理量：具有独立性，但不是唯一性如r（密度）、V（流速）、d（管径）、F（力）、a（加速度）、l（长度）等.§4-1量纲分析的基本概念满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程.

如流体静力学基本方程：用除其余各项，可得无量纲方程：§4-1量纲分析的基本概念§4-2 量纲分析法一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合.如：

瑞利法是量纲和谐原理的直接应用，瑞利法的计算步骤：

1.确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数x,y,z,a，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。

应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4~5个。

教材【例4－1】、【例4－2】§4-2 量纲分析法【例4.2】已知管流的特征流速Vc与流体的密度r、动力粘度m和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构.【解】式中k为无量纲常数.其中，各物理量的量纲：假定例题讲解代入指数方程，则得相应的量纲方程根据量纲齐次性原理，有例题讲解解上述三元一次方程组得：故得：其中常数k需由实验确定.瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过3个时较为方便.例题讲解【例4.3】实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体直径d、球体运动速度V、流体的密度r和动力粘度m有关，试用p定理量纲分析法建立FD的公式结构.【解】选基本物理量r、V、d，根据p定理，上式可变为其中假定例题讲解对p

1：解上述三元一次方程组得：其中例题讲解【例4.6】试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。课堂练习1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关，用函数关系式表示为【解题步骤】2.将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即课堂练习6.代入指数乘积式，得

其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来确定。即课堂练习

【例4.7】求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H有关。课堂练习1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H

有关,用函数关系式表示为【解题步骤】2.将N写成γ，Q，H的指数乘积形式，即课堂练习6.代入指数乘积式，得

其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。课堂练习§4-3流动相似的基本概念对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究流动相似原理。§4-3流动相似的基本概念歼10舰载型模型照片汽车舰船模型三峡大坝模型§4-3流动相似的基本概念原型（prototype）：天然水流和实际建筑物称为原型。模型（model）：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

§4-3流动相似的基本概念几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似模型和原型保证流动相似，应满足：§4-3流动相似的基本概念一、几何相似

几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。

长度比尺：面积比尺：体积比尺：§4-3流动相似的基本概念2.

运动相似

运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

流速比尺：加速度比尺：§4-3流动相似的基本概念3.动力相似

动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。所谓同名力，是指具有同一物理性质的力。例如重力G、压力FP、弹性力FE等。

例如假定两流动具有相似，作用在流体任一质点的力有重力G、压力FP、粘性力Fμ和惯性力FI。§4-3流动相似的基本概念§4-3流动相似的基本概念说明：几何相似是运动相似和动力相似的前提.动力相似是决定流动相似的主要因素.运动相似是几何相似和动力相似的表现.§4-3流动相似的基本概念4.初始条件和边界条件的相似

初始条件：适用于非恒定流（即在非恒定流中是必须的，在恒定流中则无需初始条件的相似）。边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等

。§4-3流动相似的基本概念【想一想】两恒定流流动相似应满足哪些条件？

答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。

§4-3流动相似的基本概念§4-4流动相似准则流动相似的本质：原型和模型被同一物理方程所描述.这个物理方程即相似准则.相似准则：两流动相似时，长度比尺、速度比尺、力的比尺等应遵循一定的约束关系，这种表达流动相似的约束关系称为相似准则。流动相似的含义：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。

因此，在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似。

动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。§4-4流动相似准则前面提到：例如假定两流动具有相似，作用在流体任一质点的力有重力G、压力FP、粘性力Fμ和惯性力FI。流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。所以，上式可以变为：上式给出了两流动相似时，重力G、压力FP、粘性力Fμ应满足的关系式。以下将推导出工程流体力学中常见的相似准则和相似准数。1、弗劳德准则:重力相似如果原、模型任意对应点的流体重力相似，则根据动力相似性的要求，有：惯性力和重力的表达式为：将式（b）、（c）代入式（a）得：（a）（c）（b）（d）由上式可得：上式等号两边均为量纲一的量，称为弗劳德相似准数，简称弗劳德准数（Froudenumber）。它为惯性力与重力德比值，令：那么原型与模型流动满足重力相似时，其关系式可表示为：OR即原型流动与模型流动的弗劳德准数相等，这就是弗劳德（重力）准则。（d）弗劳德准则适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。

OR1、弗劳德准则:重力相似一、弗劳德准则:重力相似（推导方法2）要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要求有1、弗劳德准则:重力相似重力比尺：式中：惯性力比尺：1、弗劳德准则:重力相似故得弗劳德准则方程：即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳德数必须相等.1、弗劳德准则:重力相似2、雷诺（粘滞力）准则

当粘滞力起主要作用时，如果原、模型任意对应点的粘性力相似，则根据动力相似性的要求，有：由第一章结论，流体粘性力可表达为：惯性力的表达式为：（c）（a）（b）将式（b）、（c）代入式（a）得：（d）上式等式两边的量纲一的量就是雷诺数：式中：l——为流场中的特征线性长度；Re——雷诺数。Re为惯性力与粘性力的比值，式（e）说明原型流动与模型流动粘性力相似，要求原型流动与模型流动的雷诺数相等，即：（d）（e）以上结论即为雷诺准则。OR（f）2、雷诺（粘滞力）准则适用范围：

主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。

OR2、雷诺（粘滞力）准则3、欧拉准则

流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：

惯性力的表达式为：压力的表达式为：（c）（a）（b）将式（b）、（c）代入式（a）得：（d）上式等式两边为量纲一的量，称为欧拉相似准数，简称欧拉数（Eulernumber），即：（e）欧拉数Eu是流动压力与惯性力的比值。因为压强p和压差Δp的量纲相同，上式中的压差Δp也可换成压强p。（e）由式（d）、（e）可以得到流动压力相似关系为：由式（f）说明：流动压力相似时，原型流动与模型流动的欧拉数相等，这就是欧拉准则。OR（f）一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。

3、欧拉准则几点说明：弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则.一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则.§4-4流动相似准则4、其他相似准则韦伯准则：表面张力为主导作用力时的相似准则。

当表面张力起主要作用时，动力相似有：

马赫数：弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）斯特哈罗数（时间准则）：斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。

【例4.3】进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：A.雷诺准则；

B.弗劳德准则；

C.欧拉准则；

D.其它准则。【例4.4】明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的:A.1／2；

B.1／4；

C.1／8；

D.1／32。

课堂练习A.雷诺准则；

B.弗劳德准则；

C.欧拉准则；

D.其他准则。【例4.7】

雷诺数的物理意义表示：

A.粘滞力与重力之比；

B.重力与惯性力之比；C.惯性力与粘滞力之比；

D.压力与粘滞力之比。

【例4.5】压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：

A.1／2；

B.1／4；

C.1／8；

D.1／16。

【例4.6】进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：课堂练习【判断】当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。你的回答：A.对；B.错

课堂练习§4-5相似原理的应用一、模型律的选择从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，但难实现.如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳即应按选择流体运动粘度，一般难以德准则和雷诺准则，通常取，则有：实现.若取，即原、模型采用同一介质，则导致，失去了模型试验的价值.§4-5相似原理的应用

由前面分析可知，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力相似很难实现。实际运用中，要对所研究的流动问题作深入分析，找出影响该流体问题的主要作用力，满足一个主要力的相似，而忽略其他次要力的相似。雷诺数不大时雷诺准则管中有压流动潜体绕流主要受重力影响弗劳德准则明渠行船引起的波浪运动绕桥墩的水流§4-5相似原理的应用§4-5相似原理的应用二、模型设计定长度比尺

，确定模型流动的几何边界；选介质

，一般采用同一介质：；选模型律.§4-5相似原理的应用【思考题1】何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内容？

答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强的数值等）。

流体力学相似包括以下四个方面：1.几何相似2.运动相似3.动力相似4.初始条件和边界条件相似。

思考题【思考题2】为什么每个相似准则都要表征惯性力？

答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律。流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。

思考题

【思考题3】原型和模型能否