几何与代数-第二章 矩阵2-1

第二章矩阵§2.1矩阵的代数运算

一.矩阵的线性运算二.矩阵的乘法三.矩阵的转置四.矩阵的共轭

矩阵是数学中一个及其重要、应用广泛的工具，也是代数主要的研究对象和运算手段。

给出矩阵的定义后，需要制定矩阵的运算规则。1.加法定义一、矩阵的线性运算

设有两个m×n阶矩阵A=(aij

)，B=(bij)，则称矩阵C=(aij+bij)是A与B的和，记作C=A+B。

说明(1)：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。例如:

说明(2)：规定两个特殊的矩阵：(i)元素全为零的矩阵称为零矩阵，阶零矩阵记作或。(ii)称矩阵为的负矩阵，记为。2.加法运算律（4条）

说明(3)：利用矩阵加法和负矩阵概念，规定矩阵的差为：A–B=A+(–

B)。3.数乘定义

设m×n阶矩阵A=(aij

)，k是数，则矩阵(kaij)称为k与A的数乘，记为kA。

说明(4)：矩阵的加法和数乘，统称为矩阵的线性运算。4.数乘运算律（4条）

（设A、B为同型矩阵，k、l为数）

注：运算律(1)-(8)是线性运算的基本性质，是判别线性运算的标准。

矩阵的线性运算还满足：该乘积记为C=AB。二、矩阵乘法

设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中1.定义例如：

例1.设

说明(1)：矩阵乘法是有条件的，只有当A的列数=B的行数时，AB才有意义。且此时

AB的行数=A的行数

AB的列数=B的列数

说明(2)：AB的第i行j列元素，是A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。故

解：

例2.

AB是2×3阶矩阵，但是BA不存在。

说明(3)：矩阵乘法的定义，导致矩阵乘法不能满足熟知的性质。如矩阵乘法一般不满足交换律：(1)(2)

AB是1×1阶矩阵，BA是3×3阶矩阵，不相等。(3)

AB与BA均是2×2阶矩阵，但不相等。

*如果满足AB=BA，则称A与B是可交换的。

说明(4)：例2(3)的结果表明：

AB=0A=0或B=0或者说：矩阵乘法一般不满足消去律：

AB=AC

B=C

**在一定条件下(如A可逆)

，矩阵乘法满足消去律。2.一些特殊矩阵(1)对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)=d10…00d2…0

…

…

…

…00…dn

请观察，对角矩阵D与n阶矩阵A相乘时，DA与AD的结果，它们各对矩阵A作了什么变换？(3)单位矩阵(2)数量矩阵

数量矩阵和单位矩阵，与任何n阶矩阵都是可交换的；数量矩阵与矩阵A相乘，相当于用常数乘以矩阵A，因此得名；单位矩阵与矩阵A相乘，矩阵A不变。(4)三角形矩阵

a11a12…a1n

0a22…a2n………0

0

…anna110…0

a21a22…0………an1

an2…ann

上三角矩阵：方阵的主对角线以下的元素全为0

下三角矩阵：方阵的主对角线以上的元素全为0

练习.证明：上三角阵的乘积仍然是上三角阵。3.矩阵乘法运算律4.方阵的正整数幂A2=AA,…Ak+1=AkAAkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl设矩阵A是n阶方阵，规定

方阵幂满足性质：5.方阵的多项式

设A为一个方阵，f(x)为一个多项式称之为方阵A的一个多项式。f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

例3：

例4.

设矩阵A是对称矩阵，计算乘积：=(）

例5.

由此归纳出：

下面用数学归纳法进行证明。

当k=2时，结论显然成立；假设时成立，则时，

所以对于任意的k都有

例6.

关于Ak的计算

解:

思考题

成立的充要条件是什么?

答：故成立的充要条件为

将矩阵A的行，换成同序数的列，所得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT。例如1.转置定义

三、矩阵的转置

说明(1)：转置后矩阵的行，就是转置前的列；转置后的列，就是转置前的行。2.转置的运算性质

例7.

计算(AB)T

解法1:

解法2：

3.对称与反对称矩阵

如果矩阵A满足AT=A，则称矩阵A为对称矩阵；如果AT=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。

说明(1)：对称矩阵和反对称矩阵的定义，也可以写成：A=(aij

)是对称矩阵A=(aij

)是反对称矩阵

说明(2)：对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等；反对称阵的对角线元素为零。例如是对称矩阵

例8.

设列矩阵满足，E为n阶单位矩阵，。证明：H是对称矩阵，且

证：

例9.

证明：任一n阶矩阵A