空间图形的位置关系

空间图形的位置关系一、选择题.若点P是两条异面直线l,m外的任意一点，则（）A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面答案：B命题立意：本题考查异面直线的几何性质，难度较小.解题思路：因为点P是两条异面直线l,m外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直，故选B..如图，P是正方形ABCD外一点，且PA，平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（）A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案：A解题思路：：DA±AB,DA±PA,ABnPA=A,・•・DA，平面PAB,又DAu平面PAD,A平面PAD，平面PAB.同理可证平面PAB，平面PBC.把四棱锥P—ABCD放在长方体中，并把平面PBC补全为平面PBC+把平面PAD补全为平面PAD?，易知/CDP即为两个平面所成二面角的平面角，NCDp=NAPB,・•.NCDD<90°,故平面PAD与平面PBC不垂直.13.设a,B分别为两个不同的平面，直线lua,则“l，B”是“a，B”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A命题立意：本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.解题思路：依题意，由l，B,lua可以推出a，B；反过来，由a，B,lua不能推出l，B.因此“1，B”是“a，B”成立的充分不必要条件，故选A.4.若m,n为两条不重合的直线，a,B为两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若m,n都平行于平面a,则m,n一定不是相交直线B.若m,n都垂直于平面a,则m,n一定是平行直线。已知a,B互相垂直，m,n互相垂直，若m，a,则n，BD.m,n在平面a内的射影互相垂直，则m,n互相垂直答案：B解题思路：本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故A为假命题；在B中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故B为真命题；在C中：n可以平行于B,也可以在B内，也可以与B相交，故C为假命题；在D中：m,n也可以不互相垂直，故D为假命题.故选B.5.如图所示，已知正方体ABCD—ARCR的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A.4n B.2nnC.n D.—乙答案：A :•:D解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND,由ND,DM,MN构成一个直角三角形，设P为NM的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论4MDN如何变化，点P到点D的距离始终

… …， ，…、r* ,, ,, , ,,,,,1,— ——一^. ,n等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的^球面，其面积为彳.8 2技巧点拨：探求以空间图形为背景的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡..如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E,F分别为PA,PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线;②直线BE与直线AF是异面直线;③直线EF〃平面PBC；④平面BCE，平面PAD.其中正确结论的序号是（）A.①② B.②③C.①④ D.②④答案：B解题思路：本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF是异面直线，不正确，因为E,F分别是PA与PD的中点，可知EF〃AD,所以EF〃BC,直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF是异面直线，满足异面直线的定义，正确；③直线EF〃平面PBC,由E,F是PA与PD的中点，可知EF〃AD,所以EF〃BC,因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以判断是正确的；④由题中条件不能判定平面BCE,平面PAD,故④不正确.故选B.技巧点拨：翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常见问题：垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考查学生空间想象能力.解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的.二、填空题.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD，平面CEFB,CE=1,NAED=30°,则异面直线BC与AE所成角的大小为.答案：45° 解题思路：因为BC〃AD,所以NEAD就是异面直线BC与AE所成的角.因为平面ABCD,平面CEFB,且ECLCB,所以EC,平面ABCD.在Rt^ECD中，EC=1,CD=1，故ED=12+12=\：2.在4AED中，/AED=30°,AD=1,由正弦定理可得.A\n=.既aty即sin(sinZAEDsinZEADEAD=EDsinZAED』2sin30EAD=Ad= 1又因为ZEAD£（0°,90°）,所以ZEAD=45°.故异面直线BC与AE所成的角为45°..给出命题：①异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线；②两异面直线a,b,如果a平行于平面a,那么b不平行于平面a；③两异面直线a,b,如果a,平面a,那么b不垂直于平面a；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.上述命题中，真命题的序号是.答案：①③解题思路：本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知：异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线，故命题①为真命题；两条异面直线可以平行于同一个平面，故命题②为假命题；若匕,&,则&〃卜即a,b共面，这与a,b为异面直线矛盾，故命题③为真命题；④两条异面直线在同一个平面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线，故命题④为假命题..如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的

最大值为.答案：16\加命题立意：本题以球的内接组合体问题引出，综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法，同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.解题思路：设球心到底面的距离为x,则底面边长为：寸5=，高为x+3,正六棱锥的体积V=：X平(9—X2)X6(x+3)=乎(-X3—3x2+9x+27),其中0Wx<3,则V'=^(—3x2TOC\o"1-5"\h\z3 4 2 23，—6x+9)=0,令*2+2*—3=0,解得x=1或x=—3(舍)，故V=V(1)=*(—1—3+9+max 227)=16\.13..已知三棱锥P—ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心0在AB上，PO,平AC面ABC,芯=狙，则三棱锥与球的体积之比为 .BC答案：失3命题立意：本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法，意在考查8n考生的空间想象能力与基本运算能力. — —AC解题思路：依题意，AB=2R,又bc=\;3,NACB=90°,因此AC=：.j3R,BC=R,三棱锥P—ABC的体积Vp-abc=3PO-SAABC=ixRxjXV3RxR=i63R3.而球的体积V球=个即因此Vp-:VABC球4nT:VABC球4nT8n.三、解答题11.R C如图，四边形ABCD与A,ABB，都是正方形，点E是A/A的中点，A/A，平面ABCD.(1)求证：A，C〃平面BDE；(2)求证：平面A，AC，平面BDE.解题探究：第一问通过三角形的中位线证明出线线平行，从而证明出线面平行；第二问由A，A与平面ABCD垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明出BD与平面A，AC垂直，从而得到平面与平面垂直.・•四边形ABCD是正方形，•.M为AC的中点.又二E为A，A的中点，•.ME为^A，AC的中位线，•.ME〃A，C.又二MEu平面BDE,A，C平面BDE,•・A，C〃平面BDE.⑵:四边形ABCD为正方形，・•.BDXAC.A，A，平面ABCD,BDu平面ABCD,•.A，A±BD.XACnA/A=A,・・・BD,平面A,AC.・•BDu平面BDE,•・平面A,AC,平面BDE.12.12.如图，在直四棱柱ABCD—A1B1cpi中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD,DC,AB〃DC.(1)求证:DiC,ACi；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使〃〃平面ABD,并说明理由.命题立意：本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直，从而证明线线的垂直关系.并通过线段的长度关系，借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行，证明出线面的平行关系.解决本题的关键是学会作图、转化、构造.解析：(1)在直四棱柱ABCD—Ap1cpi中，连接？，•・•DC=DDj•・四边形DCCR是正方形，••DCJD1c.又AD,DC,AD,DD「DCnDDqD,•・AD,平面DCCR,又D1Cu平面DCC1D1，•.AD,D1c.ADu平面ADq,DC1U平面ADQ,且ADnD[=D,•・D1c，平面AD],又AC1u平面ADJ•.DC,AC.11

(1)题图(2)题图⑵连接叫，AE,DR设AD1nAiD=M,BDnAE=N，连接MN.「平面AD1En平面A]BD=MN,要使平〃平面AR,可使作〃些，又M是ADM中点，则N是AE的中点.又易知△ABN/^EDN,•.AB=DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使Dp〃平面々BD.

13.13.已知直三棱柱ABC—A，B‘C’满足/8庆(2=90°,庆8=庆(2=*庆/=2,点M,N分别为A/B乙和B，。的中点.(1)证明:MN〃平面A，ACC，；(2)求三棱锥C—MNB的体积.命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.解析：(1)证明：如图，连接AB',AC’,・•四边形ABB，A,为矩形，M为A，B的中点，•・AB，与A，B交于点M,且M为AB，的中点，又点N为B，C，的中点.•・MN〃AC，.又MN平面A，ACC，且AC，平面A，ACC，，・•・MN〃平面A/ACC，.⑵由图可知VC—MNB=VM_BCN， :ZBAC=90°,ABC=AB2+AC2=2\''2,又三棱柱ABC—A，B，C，为直三棱柱，且AA，=4,•••Sabcn=2X2^X4=4\'2.•・•A’B'=A'C’=2,NBAC=90°,点N为B,。的中点，・•・A，N，B，C,,A，N=\'2.又BB,，平面A'B‘C’,・•.A'N，BB',・•・A/N，平面BCN.又M为A/B的中点，二M到平面BCN的距离为#,2如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD，平面ABCD,AB〃DC,^PAD是等边三角形，BD=2AD=8,AB=2DC=4%；5.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD，平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积.命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.解析：(1)证明：在4ABD中，因为AD=4,BD=8,AB=4%；5所以A»+BD2=AB2.故AD，BD.又平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,BDu平面ABCD,所以BD，平面PAD,又BDu平面M