学生用内切球与外接球习题

ABDESSD2立体几何中的“内切”与“外”问题的探究ABDESSD21球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组

1.3球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介本类题目的法—构造直角三角形法。设三柱合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联

B1

的高，底面边长a如图2所示，D和D分1系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题1.1球与正方体

别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高

DD1

的中点如图所示，正方体

AC1111

,正方体的棱长a

O，OD

hAO,AD2

a

，借助直角三角形的勾,H为棱的中点O为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形

股定理，可求

R3

。

和其内切圆，则

r

a2

；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和外接圆，则

OG

22

a

；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形

1

和其外接圆，则

AOR.12通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是

例3正四棱柱

ABC1

的各顶点都在半径为R球面上，截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图

则正四棱柱的侧面积有最

值，为.的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。

2

球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规的几何体，它既存在外接，也存在内切球，并且两心合一，利用这可顺利解决球的半径与正面体的棱长关系。如图4，设正四面体

S

ABC的棱长a内切球半径为r，外接球例1

棱长为的正方体

ABCD1

的8顶点都在的

的半径为

，取

的中点为，为在底面的射影，连接表面上，别是棱

AA1

DD的中点则直线EF被截得1

CDSD,SE

为正四面体的高。在截面三角形,作个与边的线段长为（）

和

相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面。1.2

球与长方体

因为正四面体本身的对称性可知外球和内切球的球心同为

O

此时，长方体各顶点可在一个球面上长体存在外切球.是不一定存在内切.长方体的棱长为b对角线为l.当球为长方体的外

COOS,r

,a,3

则有接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道la2理是一样的，故球的半径R.2例2在长、宽、高分别为，2，4的长方体内有一个半径为球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为)

a2Ra，22CE=6ara.这个解法是通过利用两心合一的思路立含有412两个球的半径的等量关系进行求解同时我们可发现为正四面1

体高的四等分点.果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.

一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积例6在三棱锥－ABC，PA＝PB=PC=

3

,棱PA底面ABC所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）例4将径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A.

363

B.2+

23

C.4+

23

D.

43

2.4球与特殊的棱2.2球与三条侧棱互相直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，

如图8棱锥

,满SA，

它的外接球球心就是三锥的外接的球心。如图5，棱锥ABD的外接球的球心和正方体D的外接111

的中点O由直角三角形的性质可得：点为三棱SABC的外接球的球心,

OSSC.2

,球的球心重合，设

a，则R1

32

a

。二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体它的外接的球心就是三棱的外接球的心a22l2R244

l为长方体的体对角线长例矩形ABCD中，

AB将矩形折成直二角()3球与球

B

,则四体ABCD是对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富例5

在正三棱锥

S

，、分别是棱SC、

的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各中点，且

AMMN

,若棱

SA

2

,则三棱锥

SABC

外

个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平接球的表面积是。

面问题求解.例在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值2.3

球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，

为（）2

4

球与几何体的各条棱相切

9.全国Ⅱ理）一正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造三角形进行转换和求.与正

如果正四棱柱的底面边长为1cm那么该棱柱的表面积为cmP四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：

r

2a4

.

C

D

10.（宁）图，半径为2半球内有一内接正六棱锥此正六棱例8把一个皮球放入如10所示的由8根长均20的铁丝接成的四

B

E

锥的侧面积是________．棱锥形骨架内，使皮球的表面与根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）

A

F

11.（辽宁省顺一中棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(四面体A.

3cm

B.

cm

C.

2cm

D.

的截面)的面是.12.（庄一模一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）13.(吉林吉林市)设正方体的棱长为（）

233

，则它的外接球的表面积为（新课标理）已知三棱锥

ABC

的所有顶点都在球

O

的求面,

长为1的角,球径SC

;此棱锥的体积为（）综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋

15宁文已点P,A,B,C,D是球面上的点,PA平面四边转体答时首先要找准切点过作截面来解决果外切的是多面体，

形ABCD是边长为2

正方.若PA=2

,则OAB的面积为则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求,时结论的记忆必须准确.外接球内切球问题1.（陕西理）个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

______________.A．

3

B．

3C．343D．122.直三棱柱

ABC11

的各顶点都在同一面，若AA,1于。

，则此球的

表面积等3正三棱柱

ABC11

内接于半径为

2球，若,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．4.表面积为

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的