微分流形,第2章

第2章微分流形§2.1微分流形A拓扑流形定义.拓扑空间M称为m维拓扑流形，若M是Hausdorff空间(即它满足分离公理T)；M是局部m维欧氏空间：M的每一点p有一邻域U,同胚于隈m的一个开子集:平:UT甲(U)uIRm。U称为M的坐标邻域；(U,中)称为M的坐标卡(chart)。由点p的任意性，全体坐标邻域组成M的开覆盖。逻辑证明与计算是数学结论赖以成立的基础，必须高度重视。另一种需要培养的是观察能力。直观被告诫是靠不住的，因为通过直观得到的是表面现象，而且往往提供的是假象与错觉。但是它更多提供的是思路和有价值的线索。创造性思维应该是观察与逻辑推理的合理结合。没有观察的逻辑推理常常陷入"无源之水”与"无本之木”的困境。初等教程中我们熟悉的一些例子是拓扑流形。我们更多的是观察与分析。连证明也是通过观察与分析酝酿出来的。例1。平面解析几何中的椭圆、双曲线和抛物线都是一维拓扑流形。运用初等方法不难证明，这些曲线在每一点附近的充分小的一段，都与一个实数开区间同胚。例2。自交的曲线不是一维拓扑流形。问题出在自交点上。无论怎样小邻域，都不能与一个实数开区间同胚。用反证法。如果同胚的话，挖去该点及其像点，剩下部分的连通分支数是不一样的。自交曲线的例子有相交直线、双扭线、三叶玫瑰线等等，直角坐标或极坐标方程分别为：X2-y2=0;r2=a2cos2平；r-asin3平。例3。空间解析几何中的椭圆面、单叶双曲面、双叶双曲面、双曲抛物面等都是二维拓扑流形。这些曲面在每一点附近的充分小的一块，都与平面上的一个开圆同胚。例4。锥面Z=x2+y2不是二维拓扑流形。问题出在原点。上。锥面在原点0附近无论怎样小的一块，都不可能与平面上的一个开圆同胚。证明用反证法与连通性。例5。用两种不同方法粘接矩形的一对对边，得到柱面和Mdbius带。去掉另外两条边的开柱面和开Mdbius带是二维拓扑流形。否则不是，问题出在未被粘接的边界点上。例6。用不同方法粘接矩形的两对对边，分别得到的环面T2、Klein瓶和射影平面P，都是二维拓扑流形。B局部坐标函数与迭置映射取取m的基｛5｝及对偶基｛5J｝。当点q属于U，它的像中(q)属于Rm，故可展为:i平(q)二公i•(甲(q)有乙i(q)5,iii=1i=1

其中xM&。中:UrR为连续函数，称为u的局部坐标函数。今后使用符按照微积分的传统惯例，x，既表示坐标函数关系，示为(U其中xM&。中:UrR为连续函数，称为u的局部坐标函数。今后使用符设申叩)也是q处的坐标卡，决定q处的另外m个局部坐标函数y1(q),...,ym(q):y，—8，。甲:V-M。由此得q附近的坐标变换，称为迭置映射：V。中t叩(UcV)rw(UcV),(xi,...,xm)1(yi,...,ym)；y，=h，(xi,...,xm)—h，(x),(，=1,...,m).这是朕m的开集之间的一个同胚，(因甲,V都是同胚)。迭置映射的逆也是迭置映射：曾wT:w(UcV)*(UcV),(y1,...,ym)—(x1,...,xm);x，—g，(y1,...,ym)—g，(y),(，—1,...,m).号x，—x号x，—x，(q)；又表示坐标函数的取值。坐标卡有时表迭置映射(坐标变换)C微分流形定义：拓扑流形M的两个坐标卡(U,9)，(V,w)称为Cr相容的，若迭置映射h，,gj都是Cr的，(即迭置映射是Cr同胚)。当UcV—0，仍称二者Cr相容。定义：m维拓扑流形M的一族坐标卡A—｛(Ua,9a)：aeJ｝称为一个Cr微分构造，若满足条件(r>1):覆盖性：｛U/aeJ｝覆盖M；相容性：A中任二个坐标卡Cr相容；极大性：与A中任一个坐标卡Cr相容的坐标卡一定在A中。(M,A)称为m维Cr流形，简称光滑流形。当迭置映射为解析同胚，称为解析流形，或很流形。只满足覆盖性与相容性的一族坐标卡匕称为一个地图册(atlas)。与地图册匕相容的卡称为容许坐标卡(admissiblechart)。不难证明，对给定的地图册A0，存在唯一的极大地图册A，包含匕:A刀A0。或者说，任一地图册可用唯一方式扩充为极大地图册(即微分构造)。因此在验证一个拓扑空间是否为一个Cr微分流形时，只需验证：(1)分离公理T,(是否为Hausdorff空间)；2

(2)坐标卡集的覆盖性与Cr相容性(不要求极大性)。实际背景：航海家使用海图(chart)。一张海图不能描述整个地球表面，需要一个覆盖全球的地图册(atlas)。同一地区可能出现在两张地图中；由于投影的局限性，它在两张地图中的形状可能有差别，但应该是合理的差别。也就是说，两张地图应该相容。流形论中的基本名词chart与atlas来源于此种背景。例1。Ktm。一个坐标卡(U,9U)=(Rm,idU)。欧氏空间虹是m维解析流形。例2.。圆周S1={(xi,x2)e>2:(xi)2+(x2)2=1}；是摩的有界闭集，故为紧集。它是股2的拓扑子空间，故满足可数公理A与分离公理T(为Hausdorff空间)。考虑坐标卡:2一U={(xi,尤2)U={(xi,尤2)eS1:尤2〉0};1U={(xi,x2)eS1:x2<0}；2={(xi,x2)eSi:xi〉0};i={(xi,x2)eSi:xi<0};2Ui9u(x)=x1;9(x)=x2;V19(x)=x2.验证其中一对的解析相容性，其余类似。对于UcV=S1C{第一象限}:迭置映射9"；UiTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"9(UcV)={xie(0,i)};9(UcV)={x2e(0,i)}uiiivii=9。9-1:(0,1)—(0,1)及其逆由下列公式给出，它们都是解析的:匕Uix2=9(xi)=%：1-(xi)2;xi=9-1(x2)=9(x2)=疽1-(x2)2。迭置映射9"；UiWwU1V1由此，圆周S1是紧致的1维解析流形。例3。球面S2。设(&1,&2,&3)是R3的直角坐标，定义：S2={(&1,&2,&3)eR3If(&1,&2,&3)三(&1)2+(&2)2+(&3)2=1}。f:唉TR连续，故S2=f-1(1)是财的闭集；它显然有界，故为紧集。作为R3的拓扑子空间，s2满足可数公理气与分离公理T2。考虑两个穿孔球面：U=S2-{(0,0,1)},U=S2-{(0,0,-1)}，+-它们构成S2的开覆盖。利用球极投影(stereographicprojection)球极投影建造两个解析相容的坐标卡。设(xi,x2)为赤道平面上的坐标；xi,x2轴与&1,&2轴重合。球极投影以北极N=(0,0,1)为投影中心，球面上一点P=(&1,&2,&3)的像P'=9+(P)是NP或者其延长线与赤道平面的交点；北半球的点映到赤道圆外，南半球的点映到赤道圆内。不难算出:

9:UT%,(&1,&2,&3)1(x1,X2)—(&1,&2);1-&39-1^2TU,(X1,X2)f1,&2,&3)-(2X1,2X2，(X1)2-(X2)2-1).(X1)2+(X2)2+1类似地以南极S=(0,0,-1)为投影中心，球面点P的象P"=◎(P)是SP或其延线与赤道—平面的交点。与前相反，北半球的点映到赤道圆内，南半球的点映到赤道圆外。同理算出:中：UT隗2,(&,&2,&3)I(y1,y2)=1-1^-(&1,&2);(yi)2+(y2)2+1":隈2tU,(y1,y2)l(&,&2,&3)=(2y1'2y2'1-(y1)2-(y2)2)迭置映射(坐标变换)是解析函数，故(yi)2+(y2)2+1(y1,y2)=/、，、(口］2)；(%1)2+(X2)2(X1,X2)=/、'/、(y1,y2);(yi)2+(y2)2其中岭=代2-{(0,0)}为穿孔平面。复数形式更简单。令Z5+赤,w=y1+沪，则:中-。町：^w=含=中-。町：^w=含=I;甲。甲-1:I=w=—;+-Iw|2w是关于单位圆的反演，满足IZW1=1。总之，球面S2是紧致的2维解析流形。例4。积流形。设M,N分别为m,n维微分流形。则MxN是m+n维微分流形。由拓扑学，若M,N是Hausdorff空间，则MxN是Hausdorff空间。MxN的微分构造由坐标卡(UxV,中xw)决定，其中(U&)，(V,W)分别为M,N的坐标卡，积映射定义为:中xw:UxVT中(U)xw(V)全(中xw)(UxV),(p,q)I(中(p),w(q))e股m+n;特别，环面T2=S1xS\；n环面Tn=S1x..・xS1分别是紧致的2维与2n维解析流形。例5。开子流形。设(M,A)是一个m维Cr流形。设N是M的一个开子集。则N仍是m维Cr流形。事实上，由M的坐标卡(U,中)，可得N的坐标卡(UcN,^1心)，其全体产生的m维Cr流形构造。全体kxk非退化实矩阵在矩阵乘法下构成一个群，称为一般线性群，记为GL(k'假)。我们证明它有流形构造。事实上，给kxk实矩阵A的变元一个确定的排序，则可将A看成一个k2维向量。考虑连续函数f:Rk2tr,f(A)=detA。则GL(k,R)=f-1(隈-{0})，是技k2的开子集，因而是股k2的开子流形；从而GL(k，取)是k2维光滑流形。§2.2商流形由已知的流形生成新的流形，常见的手段是子流形，积流形和商流形。积流形已如上述。开子流形比较简单，坐标卡可从原空间继承。圆周和球面是闭子流形，坐标卡的制作就不显然。一般情形下子流形的讨论与分类，内容丰富，后面将进一步介绍。下面研究商流形，它的制作分三个层面：集合论，拓扑构造，微分构造。我们将通过详细构造射影空间，来说明原则和方法。商集合。设X为一集合，其中定义了一个等价关系…(满足反身性，对称性，传递性)。则有点x的等价类：无=[x]={ygXIy〜x}。以全体x为元素的集合称为商集合，记为X"。X的元素y到它所属的等价类的映射兀称为自然投射：兀：X—X/〜；兀(y)=[x]，若^x。显然自然投射兀为满射。商拓扑。设(X,T3为拓扑空间。X：〜的子集U定义为开集，若K-1(U)是X的开集。容易证明：匕={UuX：〜IK-1(U)gT}满足开集三公理，是X：〜的一个拓扑，称为“相对于等价关系•••而言”的商拓扑。因此在映射兀下，开集的原象为开集。这样便有：命题：在X：〜的商拓扑下，自然投射兀:XTX"是连续的满射。开的等价关系。设集合X中定义了一个等价关系…。当X是微分流形，若要商集合X；.〜是也微分流形，需验证下列三个条件：X-是拓扑空间，这在上面已经做到了；X;'〜满足分离公理T(是Hausdorff空间)；2X」上有微分构造。在一般情形下做不到；例如，由拓扑学知道，X是Hausdorff空间并不能保证X；〜也是Hausdorff空间，要对等价关系加一定的限制才行。引理：设A是X的任意子集。定义X的子集[A]=U[x]。则有恒等式：xgA[人]=兀-1(兀(A))。证明：[x]=K-1(x)=K-1(K(x))；.•.[A]=U[x]=U丸T(丸(x))顼T(丸(U{x}))二丸T(丸(A)).定义：设・••是拓扑空间X中的等价关系。称••为开的，若任给X的开子集an[A]也是X的开子集。引理：设・••是拓扑空间X中的等价关系。则••是开的。自然投射兀是开映射。证明：(n)设…是开的。任取X的开子集A，则[A]也是X的开子集。由引理中的等式，兀T(兀(A))是X的开子集。按商过拓扑的定义，兀(A)是X;.〜的开子集。故兀是开映射。(u)设兀是开映射。任取X的开子集A，则兀(A)是X：〜的开子集。由兀的连续性，兀-1(兀(A))是X的开子集。按引理中的恒等式，[A]是X的开子集。商空间的可数性与分离性。命题：设兀是开映射。若X满足可数公理A2，则商空间X/〜也满足可数公理A2。证明：设B={U_IieZ+}是X的可数基。则B「{兀(U_)1ie气}为商空间X，〜的可数基；证明如下。首先，兀是开映射，故兀(U)是X..，〜的开集。其次，任取X;〜的开i集W，则K-1(W)是X的开集，因而可由B的成员并出：兀—1(W)=UU；a:.W=K(兀—1(W))=K(UU)=U兀(U).'a'aaa后一行的第一个等式是因为兀是满射。命题：设兀是开映射。则X，〜是Hausdorff空间。下列集合S是XxX的闭集：S={(兀y)eXxXIx〜y}。证明：(n)设X!〜是Hausdorff空间。任取(x,y)史S，只需证(x,y)有开邻域与S不交。(x,y)史S；nx,y不等价；n兀(x)。兀(y)；n兀(x),兀(y)在X；〜有不交开邻域U,V。故U=K-1(U),V=K-1(V)分别是x,y在X中的开邻域；UxV是(x,y)在XxX中的开邻域。现证UxV与S不交。若不然，设有交点(x‘,y')；则一方面，(x‘,yf)eS，则x'〜y‘，兀(x)=n(yf)；另方面，(x‘,y')eUxV，故x'eU,yfeV；n兀(x')eU,兀(y')eV。U,V有公共点兀(x)=K(y)，矛盾。(u)设集合S闭，往证Xj〜是Hausdorff空间。任取X"中的不同点兀(x)。兀(y)。则x,y不等价，(x,y)史S。存在(x,y)的开邻域UxV与S不交(因S闭)。VxreU,y'eV；n(x‘,y')史S；nx',y'不等价；n兀(x‘)。兀(y')。因此兀(U)c兀(V)=0。兀是开映射，故兀(U),兀(V)是兀(x)，兀(y)的不交开邻域。射影空间尸小。考虑X=虹+"{0}，其元素为x=(x1,…,xm+1)壬(O^-^O)。定义其中的等价关系^y:若存在实数t。0，使得y=tx。用商空间来定义射影空间：P^L=X/〜={[x]Ixe>m+1—{0}}。命题：自然投射兀：X—P^L是开映射。证明：任取实数t。0，易证映射%:X—X,也(x)=tx是一个同胚；且有

[x]=U加（x）}。t^-{0}t对于X的任何开集U，也（U）是开集；由下式知[U]是开集：txgUxgUtG-{0}因此等价关系•••是开的。由引理，丸为开映射。[u]=u[x]=uU{gtxgUxgUtG-{0}因此等价关系•••是开的。由引理，丸为开映射。't^-{0}'（是Hausdorff空间）。丸为开映射，由拓扑学，P^=冗（X）（是Hausdorff空间）。丸为开映射，由拓扑学，P^=冗（X）满足A。考2证明：X=IRm+1-{0}满足A，2xiyi'xjyjxiyi'xjyjf(x,y)=z1<i,j<m+1;i丰jf(X,y)=0o(m+1)x2矩阵(xy)的秩为1o列向量线性相关y=tx,(t丰0)oy。故S={(x,y)gXxXI-y}=f-1(0)为XxX的闭子集。丸为开映射。因此P^=XU〜是Hausdorff空间。命题：P^L有Cs微分构造。证明：制作m+1个坐标卡气,g「如下。考虑：V={xGX=Rm+1-{0}|xa。0}；U=兀（V）。（1）V是X中的开集，因其补集{xa=0}是『中的独点集{0}在连续映射xa:XT取下的原象，为闭集。（2）丸为开映射。因此Ua为P^中的开集。（3）全体V组成X的开覆盖；丸为满射，故全体U组成兀（X）=P^L的开覆盖。a设[x]Gua；任取yG[x]，定义y1ya-1ya+1ym+1g(y)=(——，.•.，，，.••，)G技m。ayayayaya易知它的取值与y在[x]中的选取无关：^xoy=txog(y)=g(x)，因此g([x])=ga(U{y})=Ug(y)=g(x)。ye[x]ye[x]故中a([x])是恰当定义的(properlydefined,well-defined)og:U履T股m是单射。事实上，g([x])=g([z])og(x)=g(z)o^>zo[x]=[z]。aaaag:UaT取m是满射。事实上，任取&=(&'…,&m)G隈m，定义x=g(&)全(&'…,如-1,1,如，…,&m)GV。

因此找到［目=兀⑴e匕，使得甲「［却=^3)=&。由此糙既单且满，是一一映射，故有逆映射，且中a(冗(］))=&n中「(&)=K(X)=K(g(&))。显然g：(&1,...,&m)-(&1,...,&a-1,1,&a，…,&m)是连续映射(每个分量映射或为投射或为常值映射)；故逆映射P「：技m-Ua是连续映射。Xm+1）。XaPa:Uam的连续性证明如下。考虑X1Xa-1Xa+1Po丸:VT股m；(X1,・・・,Xm+1)H＞(,•••,,TOC\o"1-5"\h\z由于在匕上xa。0,故每个分量映射都连续，因此糙。冗是连续映射。任给隗m的开集W，(中。兀)-1(W)=K-1(p-1(W))aa是匕的开集，因而是X的开集(因V是X的开子集)。由商拓扑定义，Pa1(W)是商空间X，〜的开集；它又包含于X;〜Xm+1）。Xaaa坐标卡的相容性，证明如下。为了技术上的方便，用坐标卡(Ua,Wa)代替(Ua,Pa)，只相差一个C-同胚，其中定义W:UTBLm至｛xeBm+1|Xa=1｝；\o"CurrentDocument"1X1Xm+1\△/匕匕\Wa(x)=—x=(一，…，)=(&；，•••，&m+1)；局部坐标为勺=XY；‘xa,(y=1,…,m+1),*=1。当U以cU°。。，对其中的［x］有xa。0,x°。0。考虑迭置映射甲珅日叩。(UcU°)TW(UcU°);(&1,...,&m+1)1(&1,•…,&m+1)；°°aa分量映射为&Y=&/-■&a；&a=Xa/X°。0，8；显然是C®的。ap°°附注：考虑m=1,2,3的特例，有助于认识实射影空间。P1R是以平面上的直线(去掉原点)为元素的集合；也可看成圆周S1粘合对径点的结果。将S1去掉一半，只剩下直径两端的两点需要粘合，其结果在拓扑上仍旧是一个圆周。因此P1R与S1同胚。P＜是以三维空间中的直线(去掉原点)为元素的集合；也可看成球面S2粘合对径点的结果。去掉南半球，则只需要粘合赤道上的对径点。若进一步将北半球展平，则知P＜与粘合边界对径点的闭圆盘D2同胚；因而与粘合边界对径点的闭矩形块同胚。与P＜同胚的图形(拓扑空间)有：粘合对径点的S3；粘合边界对径点的3维实心球D；粘合边界对径点的3维立方体；特殊正交群SO(3,取)。

§2.3光滑映射A光滑函数定义：设f:MtR为Cr流形M上的函数；(U,9)为流形M的一个坐标卡。称f09-1:9(U)tM为函数f在此坐标卡中的局部表示。定义：C流形M上的函数f:MtR称为一个k阶光滑函数，或Ck函数(k<r)，若它在每一个坐标卡(U,9)中的局部表示是Ck的，即在％的开集9(U)中，处处有直到k阶的连续偏导数。M上的全体Ck函数记为Ck(M,R)，简记为Ck(M)。命题：流形M上的函数的光滑性与局部坐标的选择无关。证明：设在某点处有两个坐标卡：(U,9)与(V,W)。则下列等式表明，函数的两种局部表示f。9-1与f。甲-1的可微阶数是相同的，只要不超过迭置映射的可微阶数：(f")V(UCV广(f°9-1)。(9。甲-1)9(UeV)V(UeV)定义：在流形M的一点p处的k阶光滑函数类记为Ck；函数f属于Ck的意义是：存pp在点p的一个邻域Up，使得f:Upt吹有定义且k阶光滑。注意〃，随f的不同而不同。命题(f")V(UCV广(f°9-1)证明：取坐标卡(U,9)。按定义，技m的对偶基伯，｝决定U中的局部坐标函数xi=&09:U-R；它在任一个坐标卡(V,V)中的局部表示xiW-1恰为迭置映射的第i个分量函数:xioy-1=8io(9oy-1)因而与迭置映射有相同的光滑阶。定义：(x1,...,x〃)称为流形M在U中的局部坐标系。也记为(U,9,xi),(U,xi)，或简单地记为(U,9)。在文献中，xi既表示坐标函数，也表示坐标函数的取值。B光滑映射映射的局部表示定义：设M,N分别为m,n维微分流形;f:MtN为一映射；(U,9)与(V,V)分别为M,N在点pgM,q=f(p)gN处的坐标卡。称映射的局部表示V。f09-1:9(Uef-1(V))tv(V)为f在此坐标卡中的局部表示，其定义域与值域分别为技”与股〃的开集。称f在p点光滑，若它的局部表示在9(p)点光滑。称

f为光滑映射，若它在M的每一点光滑。容易证明，映射的光滑性与坐标的选取无关。特例：当M=(a,b)eM，映射f称为光滑曲线；当N=R，映射f成为光滑函数。定义：设M,N都是n维微分流形；f:MTN为一同胚。称f为微分同胚(或光滑同胚)，若f及其逆都是光滑映射。容易证明，微分同胚是微分流形间的一个等价关系。§2.4切空间切空间是微分流形在一点处的线性化，它的原型是曲线的切线和曲面的切平面。A欧氏空间的切向量.设V为m维向量空间，其中定义了通常的欧氏度量。设｛8」，｛的｝是V,V*中的对偶基底。则V的每一点q可表示为：q=咒xi(q)8。ii=1考虑V中过点p的一条光滑曲线Y:Y:(—")tV,Y(0)=p;Y(t)=Yxi(Y(t))8.i

i=1由微积分，Y在p处的切向量通过直接求导得出:dV=dtY(t)=YY(t)=Yxi(Y(t))8.i

i=1由微积分，Y在p处的切向量通过直接求导得出:dV=dtY(t)=YVi8；Vi=—idtt=0i=1切向量Xi(Y(t))。t=0/\d//八、V(Xi)Xi(Y(t))dt换句话说，分量v等于切向量对坐标函数的作用。由此可定义它对任意光滑函数f的作用:V(f)=土f(Y(t))t=0它是线性的，对两个函数乘积的作用，满足Leibniz法则。我们考察了三个对象：点q，点的坐标Xi(q)，点的函数f(q)。它们沿曲线Y(t)的变化率产生三个对象：切向量V，切向量的分量V，切向量对任意光滑函数f的作用v(f)。在欧氏空间中，三个对象都能确定切向量，它们互相等价：

dv=dv=—dt，八/xdY(t)；v(司=—dtt=0x(Y(t));v(f)=df(Y(t))。然而在一般微分流形上定义切向量，只能选择不够直观的第三种；原因很简单，对抽象的微分流形上的点，不能直接求导。我们观察在欧氏空间中，这种新的切向量定义意味着什么。引进符号Yi(t):Yi(t)=X(Y(t)),Y(t)=£Yi(t)5。ii=1则切向量的分量vi=Yi(0)。由于f(Y(t))=f(Y1(t\…,Ym(t))，故:v(f)=%f(Y(t))=£Yi(0)f二^^vi£(f)。t=0i=1i=1v=£v=£vii=1d

dxiv=£vi5；ii=1我们看到，除了基由｛5「…,5m｝换为仞如，…,dldxm｝外，其余是一样的。也就是说，新、旧定义是线性同构的。切空间2.4.B微分流形的切向量切空间定义：微分流形M在点p处的切向量是一个映射v:C”TR，满足：可加性：v(f+g)=v(f)+v(g)；齐次性：v(人f)=Xv(f)；Leibniz法则：v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)；Pf,geC8；"eR。M在点p处全体切向量的集合，p称为M在点p处的切空间，记为TM；其中的线性运p算定义为：(人v+Rw)(f)=Xv(f)+Rw(f)；Vv,weTM；VX,ReBL。p命题：设p为流形m的一点。过p的每一条光滑曲线y：(-n,n)tm，y(0)=p，决定M在p处的一个切向量v，它的取值为：v(f)=df(y(t))；VfeC。t=0证明：直接验证，知映射v满足切向量定义中的三个条件。C切空间设M是m维微分流形，peM,(U,甲)是M在p处的坐标卡。取甲(U)u回中的基R｝及其对偶基｛5i｝。每个如都是麟中的线性坐标函数，它决定M的开邻域U中的局部坐标函数R:xi=5io中:UTR,q^>xi=xi(q),(i=1,...,m)。按照惯例，Xi既表示坐标函数，也表示坐标函数的取值。在隈m的开集甲(U)中，过点X0=P(p)的坐标直线为：x=X0+5t。经同胚中-1作用，成为流形M的开集U中过点p的坐标曲线Y:jYj：(—£,£)—U,11yj(t)=9-1(x0+5t)。Yj在点p处的切向量记为/xj，它是切空间TM中的元素。命题：—(f)(p)里(顼—1)(9(p))，WeC-。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dxjdxjp证明：a3、dq,,、、d,q、,R、d(f。9—1)云-f)=dtf(Yj(t))=d(fo9—1)(xo+5t)=—ax~.—pt=0t=0…a/、推论：u(xi)=5i。dxjj为进一步理解上列公式中符号的合理性，观察下列函数取值的等式：f(q)=(f。9-1)(9(q))=(f。9-1)(x1，…，xm)。左式中的f(q)是流形上的函数，不能直接对q求导。右式中的f。9-1是隗m的开集上的函数，可对9(q)=(x1,...,xm)的分量xi求偏导数，来定义左式。由此可见，插入可以抵消的9-1和9以后，意义大不一样。文献上常采用简化的写法：dd(f。9-1)(/)=；dxjdxj注意左式与右式分别在p与9(p)取值，这是容易发生混淆的地方。定理：设M为m维微分流形，peM。则切空间TM为m维向量空间；p处的每一p局部坐标系(U,9,xi)决定TM的一组基｛ddxi｝；TM中的任一切向量v有展式：

证明:V=证明:V=2TV(Xi)—dxii=1断语1：切向量V在任一常值函数上的作用值为零。事实上，按定义:v(1)=v(1・1)=2v(1)nv(1)=0；v(人)=Xv(1)=0。断语2：C中的任一函数f在p点附近可表为：pf(q)=f(P)+于(xi(q)-Xi(p))gi(q),i=1其中gjgC，满足g_(p)=(djdxi)(f)。事实上，记x=甲(q)=(x1,...,xm)，x0=p(p)。考虑f的局部表示F(x)=(fW-1)叩(q))=f(q)，F(x°)=f(p)，它是技m的开集甲(U)中x0附近的光滑函数。由Newton-Leibniz公式：F(x)=F(x)+[—F(x+1(x-x))dt0dt000=F(x)+j尤(xi-xi)^^(x+1(x-x))dt0i=1=F(x)+£(xi-xi)G(x),i=1其中G(x)=/(x+1(x-x))dt。0定义gj(q)=G(甲(q))。则有8Fd(f冲-1)//8…,W)=G(号=寥今=L⑪(p))亏(f)(p)。断语3：任一向量v可表示为:V=2mV(xi)~~。dxii=1事实上，将切向量V作用于断语2中的表达式。由断语1及Leibniz法则，得到:V(f)=£V(xi)gi(p)=£V(xi)f(f)。

i=1i=1断语4：(d-'dx1,...,didxm｝线性无关。事实上，假定C12+...+顷旦=0；

dx1dxm将其作用于坐标函数xi，得c=0。定理全部证完。D余切空间设M是m维微分流形，peM，则切空间TM是m维向量空间。由线性对偶理论，p它的对偶空间也是m维向量空间，称为M在p处的余切空间，记为T*M；其元素a称为pM在点p处的余切向量，是切空间TM上的线性函数。按线性对偶理论，有双线性配对p函数：<•,•>:TMxT*MtR,3,a)—vv,a>=a(v)=v(a)。设feC。因(kv+Rw)(f)=Xv(f)+Rw(f)，Vv,weTM；人,Re映；故v(f)是veTM上的线性函数，是一个余切向量，称为函数f在点p^微分，记为df:pdf(v)=v(f)=<v,df>。设(U,9,)为M在点p处的局部坐标系，则坐标函数的微分dxi,...,dxm是m个余切向量，在切向量上的取值为：dxi(v)-v(xi)-<v,dxi>；VveTM。P特别，取v—a；a”：dxi(—)——(xi)—<—,dxi>=E。dxjdxjdxjj定理：设M是m维微分流形，peM，(U,9,x，)是M在p处的局部坐标系。则{dxi,…,dxm}是余切空间t*m的基底，且是{a；；axi,...,a;axm}的对偶基。pE切空间与余切空间中的基变换设流形M在p处有两个坐标系(U,9,x，)，(V,v,yj)。则切空间TM中有两组基底p{auaxi,...,aiaxm},{a/ayi,…,a^dym}。按照切向量的展开公式，分别有：a冒a,、aa麟a,、a

——=乙——(yj)——;——=乙——(xi)——。axi1axiayjayj1ayjax，基变换矩阵就是Jacobi矩阵。用方向微分算子来定义切向量，在计算中带来很大的便利。余切空间T*M中两组基底{dxi},{dyj}之间的变换公式为：dxi-尤X；dyj=泛K。j=1'i=1上述各种公式与微积分中复合函数求导公式是一致的。问题：球面S2上以北极，南极为中心的球极投影坐标(xi,x2),(yi,y2)，坐标变换为:

=1X1•*X1y1"y2J3)2+32)2一32JLx2J(yi)2+(y2)2Ly2J计算球面的切平面TS2与余切平面T；S2中相应基底的变换公式。§2.5切映射切映射是微分流形之间的光滑映射在一点处的线性化。其原型是函数在一点处的微分。A函数的拉回函数的拉回V人,ReH；Vg,heC^(N)。设M,N为微分流形；F:MrN为光滑映射。则N函数的拉回V人,ReH；Vg,heC^(N)。g(q)=g(F(p))=(goF)(p)。记此函数为F*g兰g°F。则得一映射：F*:C-(N)—C-(M),glF*g^^F,称为函数的拉回。命题：拉回映射F*是线性映射：F*(人g+口h)=XF*g+口F*h；证明：VpeM，F*(人g+Rh)(p)=(人g+Rh)(F(p))=人g(F(p))+Rh(F(p))

=人(F*g)(p)+R(F*h)(p)=(人F*g+RF*h)(p).类似定义局部光滑函数的拉回。容易证明它也是线性映射：F*:C°°—C8；g1F*gMg。F。B切映射设M,N分别为m,n维微分流形；F:M—N为光滑映射，piq=F(p)。则M在p处的任一切向量v，被映为N在q处的一个切向量&二^F*。下面验证&的确是N在q处的一个切向量：&是一个映射CjT朕，定义为：g1&(g)=v(F*g)=v(g。F).&是线性映射。因为它是两个线性映射v,F*的复合。⑶&满足Leibniz法则。利用v满足Leibniz法则，计算:顷fg)=v(fg。F)=v((f°F)-(g。F))=(f°F)(p)-v(goF)+(goF)(p)-v(f。F)=f(q)&(g)+g(q)顷f).定义：光滑映射F:M—N在点p处的切映射，是切空间之间的一个映射:F:TM—TN；^>F^^F**ppF(p)*p切映射也称为映射F在点p处的微分；也可记为dF\三F。p*p切映射命题：切映射是线性映射：F(人v+pw)=人Fv+pFw;Vv,wgTM;VX,pe映。证明：容易证明，两端对任一光滑函数的作用相等。命题：设M,N,K是微分流形；F:MrN，G:N-K是光滑映射；peM，q=f(p)。则(G°F)*=F*。G*;GF)*「=G*f(p/F*p-证明：VggC8(K),VpgM，我们有((G。F)*g)(p)=g((G。F)(p))=g(G(F(p)))=(G*g)(F(p))=((F*。G*)g)(p).这就证明了第一式。VvgTM，下列计算给出第二式：p(G^F)v=v。(G^F)*=voFG*=(FvG*

"=GF(p)FV)=(G*F(p/J”C切映射的局部坐标表示设M,N分别为m,n维微分流形；F:MTN为光滑映射；peM,q=F(p)eN。在切映射F*的作用下，M在p处的切向量v，被映为N在q处的切向量F*v。引理：F*pv对N上任一光滑函数g的作用结果为：Fv(g)=v(goF)。*p证明：按定义得：Fv(g)=(voF*)(g)=v(F*g)=v(^F)。*p设M,N分别在p,q有坐标卡(U,中,xi),(Kw,yj)。不失一般性，设F(U)uV。F的一M_〜.一■__局部表示F=WoFw-i：9(U)TW(V)是欧氏空间隈m，隈n的开集之间的光滑映射，n个分量函数为：C/、，C、/、/一、/、/yj—Fj(x)=(sjoF)(x)=(sjo^oFo9-1)(x)=(yjoF)(p)。注意符号yj既表示函数值，又表示函数关系。利用局部坐标卡，我们有切空间TM，TNpq的基：｛动办1,…,6[6xm｝,｛。/颐,...,djdyn｝。将F^v按此基展开：Fv-£(Fv)(yj)——lLv(y^F)—。

*p*p6yj6yjj-1j-1其中换算系数利用了引理。命题：光滑映射F:MTN在点p处的切映射F在基底｛^dxi｝,｛dldyj｝下的变换p矩阵，等于F的局部表示的Jacobi矩阵：_n_F(仝)-E匹£。*pdxidxi