角函数的最值公开课等奖课件

三角函数的最值三角函数的最值一、高考要求

1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.

2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.

3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点,常见方法有:1.涉及正、余弦函数以及

asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.二、重点解析一、高考要求1.能利用三角函数的定义域、值域三、知识要点2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函数可通过适当变换、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在关系式中时,可考虑换元法处理.常见的三角换元

1.若

x2+y2=1,可设

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可设

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.对于

1-x2,由于

|x|≤1,可设

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.对于

1+x2,可设

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.对于

x2-1

,可设

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

三、知识要点2.形如y=asin2x+bs6.对于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,则

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例题1.求函数

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.仅当

tan2x=cot4x,即

tanx=1

时取等号.∴当

x=k(kZ)

时,y

取最小值

5;4

y

无最大值.6.对于x+y+z=xyz,由在△ABC中,解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

仅当

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

时取等号.2x

2x

2x

22y

无最小值.∴当

x=2arctan

时,y2

取最大值

.222716439∴当

x=2arctan

时,y

取最大值

;222x

2.求函数

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.解:由已知y>0,只需考察y2的最值.=3.已知函数

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期为

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴当

2x+

=,即

x=0

时,f(x)

取得最大值

1;4

4

∴当

2x+

=,即

x=

时,f(x)

取得最小值

-2

.4

83

3.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsin解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.设

0≤x≤,求函数

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴当

t=-1,即

x=

时,y

取最大值27.当

t=

2

,即

x=时,

y

取最小值20-8

2

.4

解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+1

5.已知函数

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定义域为[0,

],值域为

[-5,1],求常数

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域为

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.5.已知函数f(x)=2asin2x-236.求

y=的最值及对应的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,则

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1对于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函数.∴当

t=1

时,ymin=f(t)min=0,此时,sinx=-1,x

的集合为:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

当

t=3

时,ymax=f(t)max=

,此时,sinx=1,x

的集合为:836.求y=

7.函数

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值为

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,则

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812讨论如下:②若

0≤

≤1,则

t=时,由题设

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,则

t=0

时,由题设

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,则

t=1

时,由题设

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320综上所述

a=.327.函数y=sin2x+acosx+a-8.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法1

从方程有解的角度考虑.原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,则

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

从二次函数图象及性质考虑.问题转化为:“a

为何值时,f(t)=2t2+2t+a-3

的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在

[-1,1]

内.”∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,8.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法3

正难则反,从反面考虑.∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的两根均在

[-1,1]

之外,则72当

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

时,∴

f(1)<0.解得:a<-1.故满足条件的

a

的取值范围是

[-1,].72解法4

从分离参数的角度考虑.原方程即为:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.728.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,课后练习1.求函数

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期为

.∴当

2x=2k+即

x=k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值

;4

2

34∴当

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

时,

f(x)

取最小值

.4

2

14课后练习1.求函数f(x)=解:

由已知当

a>0

时,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函数

y=acosx+b(a,b为常数),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当

a<0

时,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43当

a=0

时,

不合题意.综上所述,bsinx+acosx

的最大值为

5.

解:由已知当a>0时,bsinx+acosx=-3解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,则

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,则当

t=-1

时,y

有最大值3.求函数

y=cos2x-2asinx-a(a

为定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,则当

t=-a

时,y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,则当

t=1

时,y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a

4.当

a≥0

时,求函数

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相应的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

为常数,∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴当

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,则

-

2

≤-a≤0,当

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

时,f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,则当

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

时,45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

4.当a≥0时,求函数f(x)=(sinx

5.设

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范围.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,则

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

对

t[0,1]

恒成立.故可讨论如下:(1)若

m<0,则

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,则

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,则

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.综上所述

m>-

.12

即

m

的取值范围是

(-

,+∞).125.设[0,],且cos2解法2

题中不等式即为

2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0,],2

∴0≤sin≤1.当

sin=1

时,不等式显然恒成立,此时

mR;当

0≤sin<1

时,m>-恒成立.1+sin2

2(1-sin)令

t=1-sin,则

t(0,1],且

2t

1+(1-t)21t2t

m>-

=1-(

+)

恒成立.易证

g(t)=1-(

+)

在

(0,1]

上单调递增,有最大值

-

,1t2t

12∴m>-

.12即

m

的取值范围是

(-

,+∞).12

5.设

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范围.2

解法2题中不等式即为2(1-sin)m>-1-sin

6.设

0≤≤,P=sin2+sin-cos.(1)若

t=sin-cos,用含

t的式子表示

P;(2)确定

P

的取值范围,并求出

P

的最大值和最小值.解:

(1)∵t=sin-cos,∴t2=1-2sincos=1-sin2.∴sin2=1-t2.∴P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=

2

sin(-).4

∵0≤≤,∴-

≤-≤

,4

4

43

即

P=-t2+t+1.∴-

≤sin(-)≤1.

224

∴-1≤t≤

2

.

∵P=-t2+t+1

的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为

12直线

t=,12∴当

t=时,P

取最大值;54当

t=-1

时,P

取最小值

-1.54从而

P

的取值范围是[-1,

].6.设0≤≤,P=sin2+sin-c

7.已知

f(x)=2cos2x+3

sin2x+a(aR),(1)若

xR,求

f(x)

的单调增区间;(2)若

x[0,

]

时,f(x)

的最大值为

4,求

a

的值;(3)在

(2)

的条件下,求满足

f(x)=1

且

x[-,]

的

x

的集合.2

解:

(1)f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a

=2sin(2x+

)+a+1.6

由

2k-≤2x+≤2k+得:6

2

2

k-≤x≤k+.3

6

∴

f(x)

的单调递增区间为

[k-,k+](kZ);6

3

6

(2)由

2x+=得

x=2

6

[0,],2

故当

x=时,f(x)

取最大值

3+a.6

由题设

3+a=4,∴a=1.(3)在

(2)

的条件下,f(x)=2sin(2x+

)+2.6

2

1∵f(x)=1,∴sin(2x+

)=-.6

又由题设

2x+

[-

,],6

611613∴2x+

=-或

-

或

或

.6

6

65

67

611∴x=-,-,

,

.2

6

2

65

6

2

65

故所求集合为

{

-,-,

,

}.2

7.已知f(x)=2cos2x+3sin8.设

f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤

).(1)用

a

表示

f(x)

的最大值

M(a);(2)当

M(a)=2时,求

a

的值.4a122

解:

(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令

t=sinx,则

0≤t≤1,故有:

f(x)=g(t)=-t2+at-+

=-(t-)2+

-+

(0≤t≤1).4a122a4a24a12要求

f(x)

的最大值

M(a),可分情况讨论如下:g(t)

在

[0,1]

上先增后减.g(t)

在

[0,1]

上为减函数.①当

<0,即

a<0

时,2a∴M(a)=g(0)=-

;124a②当

0≤

≤1,即

0≤a≤2

时,2a③若

>1,即

a>2

时,2a∴M(a)=g()=

-+

;2a4a24a12g(t)

在

[0,1]

上为增函数.∴M(a)=g(1)=

a-.12348.设f(x)=cos2x+asinx---

,a<0,124a∴M(a)=

-+

,0≤a≤2,

4a24a12a-,a>2.1234若

-+

=2,

即

a2-a-6=0,4a24a12(2)由(1)知,若-

=2,则

a=-6;4a12解得

a=3

或

-2.均不合题意,舍去;1234若

a-

=2,则

a=.310综上所述,

a

的值为

-6

或

.310-,a<0,124a∴M(a)=小魔方站作品盗版必究语文小魔方站作品盗版必究语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您角函数的最值公开课等奖课件角函数的最值公开课等奖课件附赠中高考状元学习方法附赠中高考状元学习方法群星璀璨---近几年全国高考状元荟萃群星璀璨---近几年全国高考状元荟萃

前言

高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。前言高考状元是一青春风采青春风采青春风采青春风采北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：692分(含20分加分)

语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中

报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学1班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一角函数的最值公开课等奖课件上海2006高考理科状元--武亦文武亦文格致中学理科班学生班级职务：学习委员高考志愿：复旦经济高考成绩：语文127分数学142分英语144分物理145分综合27分总分585分上海2006高考理科状元--武亦文武亦文格致中学理科班学生

“一分也不能少”

“我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上10：30休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。”当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。”

“一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习

坚持做好每个学习步骤

武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”

坚持做好每个学习步骤上海高考文科状元--- 常方舟曹杨二中高三(14)班学生班级职务：学习委员高考志愿：北京大学中文系高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分575分 (另有附加分10分)上海高考文科状元--- 常方舟曹杨二中高三(14)班“我对竞赛题一样发怵”

总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。“我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的“口味”。“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔三角函数的最值三角函数的最值一、高考要求

1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.

2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.

3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点,常见方法有:1.涉及正、余弦函数以及

asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.二、重点解析一、高考要求1.能利用三角函数的定义域、值域三、知识要点2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函数可通过适当变换、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在关系式中时,可考虑换元法处理.常见的三角换元

1.若

x2+y2=1,可设

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可设

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.对于

1-x2,由于

|x|≤1,可设

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.对于

1+x2,可设

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.对于

x2-1

,可设

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

三、知识要点2.形如y=asin2x+bs6.对于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,则

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例题1.求函数

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.仅当

tan2x=cot4x,即

tanx=1

时取等号.∴当

x=k(kZ)

时,y

取最小值

5;4

y

无最大值.6.对于x+y+z=xyz,由在△ABC中,解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

仅当

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

时取等号.2x

2x

2x

22y

无最小值.∴当

x=2arctan

时,y2

取最大值

.222716439∴当

x=2arctan

时,y

取最大值

;222x

2.求函数

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.解:由已知y>0,只需考察y2的最值.=3.已知函数

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期为

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴当

2x+

=,即

x=0

时,f(x)

取得最大值

1;4

4

∴当

2x+

=,即

x=

时,f(x)

取得最小值

-2

.4

83

3.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsin解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.设

0≤x≤,求函数

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴当

t=-1,即

x=

时,y

取最大值27.当

t=

2

,即

x=时,

y

取最小值20-8

2

.4

解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+1

5.已知函数

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定义域为[0,

],值域为

[-5,1],求常数

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域为

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.5.已知函数f(x)=2asin2x-236.求

y=的最值及对应的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,则

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1对于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函数.∴当

t=1

时,ymin=f(t)min=0,此时,sinx=-1,x

的集合为:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

当

t=3

时,ymax=f(t)max=

,此时,sinx=1,x

的集合为:836.求y=

7.函数

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值为

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,则

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812讨论如下:②若

0≤

≤1,则

t=时,由题设

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,则

t=0

时,由题设

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,则

t=1

时,由题设

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320综上所述

a=.327.函数y=sin2x+acosx+a-8.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法1

从方程有解的角度考虑.原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,则

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

从二次函数图象及性质考虑.问题转化为:“a

为何值时,f(t)=2t2+2t+a-3

的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在

[-1,1]

内.”∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,8.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法3

正难则反,从反面考虑.∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的两根均在

[-1,1]

之外,则72当

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

时,∴

f(1)<0.解得:a<-1.故满足条件的

a

的取值范围是

[-1,].72解法4

从分离参数的角度考虑.原方程即为:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.728.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,课后练习1.求函数

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期为

.∴当

2x=2k+即

x=k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值

;4

2

34∴当

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

时,

f(x)

取最小值

.4

2

14课后练习1.求函数f(x)=解:

由已知当

a>0

时,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函数

y=acosx+b(a,b为常数),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当

a<0

时,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43当

a=0

时,

不合题意.综上所述,bsinx+acosx

的最大值为

5.

解:由已知当a>0时,bsinx+acosx=-3解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,则

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,则当

t=-1

时,y

有最大值3.求函数

y=cos2x-2asinx-a(a

为定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,则当

t=-a

时,y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,则当

t=1

时,y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a

4.当

a≥0

时,求函数

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相应的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

为常数,∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴当

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,则

-

2

≤-a≤0,当

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

时,f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,则当

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

时,45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

4.当a≥0时,求函数f(x)=(sinx

5.设

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范围.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,则

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

对

t[0,1]

恒成立.故可讨论如下:(1)若

m<0,则

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,则

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,则

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.综上所述

m>-

.12

即

m

的取值范围是

(-

,+∞).125.设[0,],且cos2解法2

题中不等式即为

2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0,],2

∴0≤sin≤1.当

sin=1

时,不等式显然恒成立,此时

mR;当

0≤sin<1

时,m>-恒成立.1+sin2

2(1-sin)令

t=1-sin,则

t(0,1],且

2t

1+(1-t)21t2t

m>-

=1-(

+)

恒成立.易证

g(t)=1-(

+)

在

(0,1]

上单调递增,有最大值

-

,1t2t

12∴m>-

.