人教新课标1带电粒子在电场中的运动教学设计2

带电粒子在磁场中的圆周运动是历年来高考的必考题，题目的设置也是以能区分不同水平层次学生为目标的，在高考复习中必须作为重点专题，指导学生掌握方法，在这必考的题目中争取多得分。处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。下面对带电粒子在磁场中圆周运动的单解和多解问题进行分类解析。一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的单解型问题找圆心、画轨迹是解题的基础,是解题的“灵魂”，指导学生学会找带电粒子做匀速圆周运动的圆心、求出半径，再进一步求其它物理量就不难了。1.圆心与轨迹确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道一定是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键，而圆心一定在与速度方向垂直的直线上.在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两个方法：图1如图1所示，图中P为入射点，M为出射点，图1已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心Ｏ.②如图2所示，图中A为入射点，图2B为出射点，已知入射方向和出射点的图2位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心Ｏ.③圆心与轨迹的确定又常常借助于“圆的几何对称规律”如从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角一定相等(图3)；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出（图4）.图3图3图4图5a图5aRc一般利用几何知识解直角三角形.如图5中，已知有界磁场的宽度为a，带电粒子离开磁场时方向改变了30°，求粒子的轨道半径。由直角三角形函数关系得：R=asin30°图6*若并不知粒子离开磁场的偏转角，而知道入射点与出射点相距为b，则利用直角三角形关系，R2=a2+(R-c)2c2=b2图6由此可求R。3.运动时间的确定：先求周期T，再求出粒子运动这部分圆弧是整个圆周的几分之几，再求时间t如图6所示，要求粒子从A运动到B的时间，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从A点运动到B点，粒子速度偏向角(φ)等于圆心角(回旋角α)并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍.即：φ=α=2θ=ωt.利用圆心角(回旋角α)与弦切角θ的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式t=T可求出粒子在磁场中的运动时间.以下有7个以下有7个很好的选例可强化学生运用上述方法解决带电粒子在磁场中的更多问题图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。aa分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。再由洛仑兹力提供向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有解之由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为：【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为：由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。粒子从点O出发第6次穿过直线ab时的位置必为点P；故粒子运动经历的时间为，而粒子的运动周期代入前式有。粒子经过的路程：点O与P的距离为：【例3】如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？分析：粒子从A点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图示，作出A、P点速度的垂线相交于O’即为该临界轨迹的圆心，临界半径R0由得：故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0，即有：由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知。【例4】如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS＝L，档板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；①若电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？②若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？③若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为，则档板上出现电子的范围多大？分析：电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O。①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足R≥，由得B≤要使电子从S发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径:得：③解答：略【例5】图中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的α粒子；已知α粒子质量为，电量，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？解答：略【例6】一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。解答：略【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。二、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，出现多解原因包含以下几个方面：（1）带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.（2）磁场方向不确定形成多解有时题目中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向.此时必须要考虑磁感应强度方向的不确定而形成的多解.（3）临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下穿越有界磁场时，由于带电粒子的运动轨迹是圆周的一部分，因此带电粒子可能穿越了有界磁场，也可能转过180°能够从入射的那一边反向飞出（如例3），就形成多解.（4）带电粒子运动的重复性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往具有重复性的运动，形成了多解.以下有以下有4个很好的选例可运用上述的“不确定”解决带电粒子在磁场中运动有几种可能的问题【例8】在前面“【例4】”中若将档板取走，磁场磁感应强度为B，当电子以速率从点S射出后要击中O点，则点S处电子的射出方向与OS的夹角为多少？从S到点O的时间多少？【例9】一质量m带电q的粒子以速率V垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子经过一段时间受到的冲量的大小为mv，粒子重力不计。则此过程经历的时间为多少？【例10】在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间？【例11】如图3-6-10所示，一对平行极板长为x，板间距离为y，板间有垂直向里的磁感应强度为B的匀强磁场.一质量为m、带电荷量为q的电子，从左侧边界线的中点处平行于极板且垂直于磁感线的方向射入磁场，欲使电子不飞出匀强磁场区，它的速率v应满足什么条件思路分析：电子在洛伦兹力作用下发生偏转，根据左手定则可知，电子不可能向上偏转，只能向下偏转.电子飞出磁场有两种可能，一是运动半圆周后从下极板的左侧飞出，二是从下极板的右侧飞出.由此求出电子不飞出磁场的速率v的取值范围.带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题

找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

（04天津）钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。

（1）写出钍核衰变方程；

（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；

（3）求粒子在磁场中运动所用时间。

解析:（1）钍核衰变方程

①

（2）设粒子离开电场时速度为，对加速过程有

②

粒子在磁场中有③

由②、③得

④

（3）粒子做圆周运动的回旋周期

⑤

粒子在磁场中运动时间

⑥

由⑤、⑥得

⑦

二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题

导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。

（06年全国2）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有

r1＝①

r2＝②

分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为2r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离

d＝2（r2－r1）③

此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。

设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满足

nd＝2r1

④

则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，……为回旋次数。

由③④式解得⑤

由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件

n＝1，2，3，……⑥

三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字

（07全国1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：

①

速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。

轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。

设t1为粒子在0<x<a的区域中运动的时间，t2为在x>a的区域中运动的时间，由题意可知

由此解得：

②

③

由②③式和对称性可得

⑤

⑥

所以

⑦

即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得

⑧

由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标

⑨

四、带电粒子在有界磁场中的极值问题

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2-1）（mv0/Be）2。

五、带电粒子在复合场中运动问题

复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。

（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

（1）粒子经过C点时速度的大小合方向；

（2）磁感应强度的大小B。

解析：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有

①

加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有

②

③

由②③式得

④

设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量

v1＝

⑤

由①④⑤式得

v1＝＝

⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有

tanα＝

⑦

由④⑤⑦式得

⑧

（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有

⑨

设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得

⑩

⑾

由⑧⑩⑾式解得

R＝

⑿

由⑥⑨⑿式得

B＝

⒀

六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题

多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？

带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。

粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。

练习

1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）

A．B．C．D．

2．（07宁夏）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。

⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。

⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。求入射粒子的速度。

3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）

4．一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

5．如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

参考答案：

1．AC

2．

3．

4．

5．

与磁场有关的六种仪器的高考试题解析现代仪器很多都要用到磁场，利用带电粒子在磁场中受洛伦兹力运动，根据运动的轨迹来偏转、分析、选择粒子，而带电粒子在磁场中运动又是高考的重点，所以把带电粒子的运动和与磁场有关的仪器结合起来成为高考命题者追求的目标，下面就近几年来常考的几种题型归类如下：

1．速度选择器

由正交的匀强电场和匀强磁场组成，带电粒子必须满足唯一的速度大小和方向才能通过，否则会发生偏转，由得，即只有的粒子才能通过。

（06重庆）有人设想用下图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。粒子在电离室中电离后带正电，电量与其表面积成正比。电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域I，再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域II，其中磁场的磁感应强度大小为B，方向如图。收集室的小孔O3与O1．O2在同一条水平线上。半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0，刚好能沿O1O3直线射入收集室。不计纳米粒子重力。

（）

（1）试求图中区域II的电场强度；

（2）试求半径为r的粒子通过O2时的速率；

（3）讨论半径r≠r2的粒子刚进入区域II时向哪个极板偏转。

解析：（1）设半径为r0的粒子加速后的速度为v0，则

设区域II内电场强度为E，则

v0q0B=q0E

电场强度方向竖直向上。

（2）设半径为r的粒子的质量为m、带电量为q、被加速后的速度为v，则

得：

（3）半径为r的粒子，在刚进入区域II时受到合力为：

F合=qE-qvB=qB（v0-v）

由可知，当r>r0时，v<v0，F合>0，粒子会向上极板偏转；

r<r0时，v>v0，F合<0，粒子会向下极板偏转。

2．质谱仪

主要用于分析同位素，测定粒子的质量和比荷，主要由粒子源、加速电场、偏转磁场等组成，有单聚焦质谱仪、双聚焦质谱仪、飞行时间质谱仪、串列加速质谱仪，四极杆质谱仪等。

下图是一个质谱仪原理图，加速电场的电压为U，速度选择器中的电场为E，磁场为B1，偏转磁场为B2，一电荷量为q的粒子在加速电场中加速后进入速度选择器，刚好能从速度选择器进入偏转磁场做圆周运动，测得直径为d，求粒子的质量。不考虑粒子的初速度。

解析：粒子在电场中加速，由动能定理有，粒子通过速度选择器有，进入偏转磁场后，洛仑兹力提供向心力有，而联立。

3．回旋加速器

由两个D型金属盒做外壳，加上交变电源，交变电源的周期与粒子圆周运动的周期相等，金属盒对带电粒子可以起到屏蔽作用，粒子的最终速度和最大能量与D型盒的半径有关，得。

（05天津）正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。

（1）PET在心脏疾病诊疗中，需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂。氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的，反应中同时还产生另一个粒子，试写出该核反应方程。

（2）PET所用回旋加速器示意如图，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示。质子质量为m，电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t（其中已略去了质子在加速电场中的运动时间），质子在电场中的加速次数于回旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。

（3）试推证当Rd时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。

解析：

（1）核反应方程为

（2）设质子加速后最大速度为v，由牛顿第二定律有

质子的回旋周期

高频电源的频率

质子加速后的最大动能

设质子在电场中加速的次数为n，则

又

可解得

（3）在电场中加速的总时间为

在D形盒中回旋的总时间为

故

即当R>>d时，t1可忽略不计。

4．电磁流量计

原理：流管由非磁性材料制成，导电流体在其中流动，导电流体中的正负离子在洛伦兹力的作用下分别向相反方向偏转，两板间形成电势差，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力相平衡时，两极的电势差保持稳定，由得，流量

（01全国）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长