必修5等比数列综合能力测评

本册综合能力测评一、选择题1.等比数列｛。〃｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A.—2B.1C.-2或1D.2或一1［解析］由题设条件可得a1+a1q+a^q2=3a1，q2+q-2=0,q=1或q=~2.［答案］C2.3—x若全集U=R，集合M={xlx2>4},N={xl而>0},则MOljN等于(2.{xlx<—2}{xlx<—2或x33}{xlx33}{x—2Wx<3}［解析］由x2>4可得x>2或x<-2,.*.M={xlx>2,或x<-2}.由W>°可得-1<X<3,:.N={xl-1<x<3}.［尸={xlxW-1,或x33},.*.MHlcN={xlx<-2,或x33}.故选B.［答案］B3.（2010-湖南）在△Ag。中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c若ZC=120°,c=V2。，则（）a>ba<ba=ba与b的大小关系不能确定-a+p'5a…,［解析］c2=a2+b2-2abcos120°=a2-b2-ab=0=b=2<a，故选A.［答案］A4.若x£(e—1,1),a=lnx,b=2lnx,c=(lnx)3,则()A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a［解析］由e-】<x<1,可知e-2<x2<x<1.又j=lnx为增函数，所以2lnx<lnx<0,又-1<lnx<0,

可知-1<lnx<(lnx)3<0,即b<a<c.选C.［答案］C已知等差数列｛aj的前20项和为100,那么a3a18的最大值是（）TOC\o"1-5"\h\zA.50B.25C.100D.2预［解析］由题可知S=a2。）=20（%+勺8）=100,所以a+a=10,2022318a+aa3'a18<^^T^）2=25.［答案］Bx~y^0设变量x,y满足约束条件<x+yW1，则目标函数z=5x+y的最大值为（、x+2y31A.2B.3C.4D.5=5，［解析］如下图，由图象可知目标函数z=5x+y过点4（1,0）时，z取得最大值，常获=5，［答案］D7•已知数列｛财满足an+1=*;b+an且7•已知数列｛财满足an+1=*;b+an且a1=-1,则｛a〃｝的通项an等于（）A.B.2-nC.1nD.2+1［解析］由a|=/+a，得n+1n(n+1)nan+1-an1

n(n+1)11一-nn+1.♦.a”=a,-an_]+an_]-a〃_2+,„+a2-a1+a1二洁-卜士-片+…+^牛-1［答案］A8.已知1Wx+yW3,2W2x—yW4,则z=3x+y的范围是()235［3,耳］B.［3,9］523C.［3,9］D.［3,耳］L+W1<x+yW3［解法一］利用线性约束条件、2x-yN22x-yW4求目标函数z=3x+y的最大、最小值.［解法二］设3x+y=a(x+y)+b(2x-y),可求得a=3，b=2,故3x+y£［3,23］.故选A.［答案］A设x,y£R+且xy—(x+y)=1,则()x+yW2”寸2+1x+y32(疆+1)x+yW(很+1)2x+y3(很+1)2x+y［解析］^x+y^2\xy,.•.xyW(2)2.又由xy-(x+y)=1,1+(x+y)=xyW，(x+y)2,4(x+y)2-(x+y)-130./.x+y^2^.'2+1).［答案］B(2010-安徽)设｛a〃｝是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,乙则下列等式中恒成立的是()A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)［解析］根据等比数列的性质：若｛an｝是等比数列，则S,S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列，即X,Y-X,Z-Y成等比数列，故(Y-X)2=X(Z-Y)，整理得Y(Y-X)=X(Z-X),故选D.［答案］D11.若关于x的不等式x2+ax—a—2>0和2x2+2(2a+1)x+4a2+1>0的解集依次为A和B,那么，使得A=R和B=R至少有一个成立的实常数a()可以是R中的任何一个数有无穷多个，但并不是R中所有的实数都能满足要求有且仅有一个。.不存在［解析］A=R,贝【J4=a2+4(a+2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a不存在；B=R，则J2=4(2a+1)2-8(4a2+1)<0成立，此时(2a—1)2>0,即a^1,a^R，故选B.［答案］BTOC\o"1-5"\h\z12.在数列｛a〃｝中，乃EN*,都有勺2堂心双"为常数)，则称｛a」为“差等比数列”.下n+1n列是对“差等比数列”的判断：①k不可能为。，②等差数列一定是差等比数列，③等比数列一定是等差比数列，④差等比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是()A.①②B.②③C.③④D.①④［解析］根据差等比数列的定义，等差数列和等比数列均不一定为差等比数列.由等比数列的定义可知，kU0.［答案］D二、填空题函数y=j~x2+2x~1中，自变量x的取值范围是.［解析］要使函数有意义，需-x2+2x-1，0,即x2-2x+1W0,/.(x-1)2W0.「.x=1.［答案］x=1已知实数x，y满足2x+y，1，则〃=x2+y2+4x—2y的最小值为.［解析］由u=x2+y2+4x-2y=(x+2)2+(y-1)2-5知，u表示点P(x,y)与定点A(-2,1)的距离的平方与5的差.又由约束条件2x+y，1知：点P(x,》)在直线l:2x+y=1上及其右上方.问题转化为求定点A(-2,1)到由2x+y，1所确定的平面区域的最近距离.故A到直线l的距离为A到区域G上点的距离的最小值.TOC\o"1-5"\h\z12X(-2)+1-114d*'22+12<5，169..d2=~5,..umin=d2-5=-5.9［答案］一5在△ABC,已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a,b,c分别是角A,B,C所对的边，则a2的最大值为.c［解析］因为sinAsinCcosB+sinBsinCcosA=sinC(sinAcosB+cosAsinB)=sinCsin(A+B)=sin2C,所以sinAsinBcosC=sin2C,由正弦定a2+b2-c2.一一ab一3理可得abcosC=c2，由余弦定理可得ab•2b=c2，从而3c2=a2+b232ab,即""Wg.ac当且仅当a=b时等号成立.3［答案］2仲］7对大于1的自然数m的三次幕可用奇数进行以下方式的“分裂”：23",3319,1〔11f13154317，….仿此，63可以分裂为，若m3的“分裂数”中有一个是59,则m的19值为.^3133135［解析］由题所示的分解规律，可知63,“分裂数”中含有59时，m=8.事373941实上，m3=E［m2-m+(2i-1)］.i=13133［答案］］358<3941三、解答题在△Ag。中，a、b、c分别是ZA.ZB.ZC的对边长，已知a、b、c成等比数列，.…-,bsinB……且a2—c2=ac—bc.求/A的大小及一^的值.［解］(1)，.，a、b、c成等比数列,.•.b2=ac.又a2~c2=ac-bc,b2+c2-a2=bc.在^ABC中，由余弦定理得b2+c2-a2bc1cosA=弟=福—=Z..*.ZA=60°.TOC\o"1-5"\h\z2bc2bc2(2)在^ABC中，由正弦定理得sinB=bSinA,a•b2=ac，ZA=60°，.bsinBb2sin60°3.•==sin60°=c.cca2(2010-潍坊模拟)在^ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边.若向量诳=(2,0)n与n=(sinB,1—cosB)所成的角为§.求角B的大小；若b=-h，求a+c的最大值.［解］(1)由题意得cos?=rm1ri3\m\-\n\2sinB12\;sin2B+(1-cosB)22即sinB_1\'2-2cosB22sin2B=1-cosB,2cos2B-cosB-1=0，cosB=-2或cosB=1(舍去)，2n.0<B<n，..B=亍n(2)由(1)知a+c=3

。—c_b_3_sinAsinCsinB.2nSinT•\a+c=2sinA+2sinC=2sinA+sin7-A=2sinA=2sinA+2cosA-=2sin何+3nnn2n.0<a<3，.・3<a+3<耳,.•.U<sin（A+|）W1,•\a+c=2sin^A+^E（侦3,2],故a+c的最大值为2.(2010・广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素。.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？［解法一］设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和》个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z=2.5x+4y,且x,y满足x，0,y，0,xEN,yEN<12x+8y，64,6x+6y，42,6x+10y，54.「、一、一____x，0,y，0,xEN,yEN<3x+2y，16,即x+y,7，”3x+5y，27.z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是zA=2.5X9+4X0=22.5,zB=2.5X4+4X3=22,zC=2.5X2+4X5=25,式广2.5X0+4X8=32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满

足要求.［解法二］设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z=2.5x+4y,且x,y满足(一x30,y30,x^N,y^N<12x+8y364,6x+6y342,l6x+10y^54.x30,y30,x^N,y^N<3x+2y316,即x+y37,l3x+5y^27.让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移，由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.20.满足不等式x—-~2W-~的x值也满足不等式x2—3(a+1)x+2(3a+1)W0,求a的取值范围.［解］化简"-守}w包尹得x2-(a+1)2x+2a(a2+1)W0..•.2aWxWa2+1,即集合A={xl2aWxWa2+1}.不等式x2-3(a+1)x+2(3a+1)W0可化为(x-2)(x-3a-1)W0其解集为B.①当a<3，B=［3a+1,2］.由已知可得ACB.'3a'3a+1W2a,

23a2+1,解得a=-1.1-3-a当②由已知可得AQB,.".2a=a2+1=2,a=1与a=3矛盾.③当a>|,B=[2,3a+1]由已知得AQB,解得1WaW3.3a+解得1WaW3.3a+13a2+1,综上所述，所求Q的取值范围为21.已知数列｛a〃｝是首项aj=4，公比q尹1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5,—2a3成等差数列.求公比q的值；设An=S]+S2+S3+„+Sn，求An.[解](1)V4a1?a5，-2a3成等差数列，2a5==4a1+(-2a3),,/a5=a1q4,a3=a1q2,2a1q4=4a1-2a1q2.*.，a1^0,.'.q4+q2-2=0，解得q2=1或q2=-2(舍去),又q尹1,/.q=-1.4[1-(4[1-(-1)n]

1-(-1)=2-2(-1)n.「•An=S1+S2+S3+„+Sn=[2-2(-1)1]+[2-2(-1)2]+[2-2(-1)3]+•••+[2-2(-1)n]=2n-2[(-1)+(-1)2+(-1)3+•.•+(-1)n]=2n+1-(-1)n=2n+1-(-1)n.=2n-21-(-1)22・有n2(nA4)个正数，排成nXn矩阵(n彳亍n列的数表):a11a12a1na21aa11a12a1na21a22a2n其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有an1an27ann13的公比都相等，且满足：a24=1，a42=8,a43=话.求公比q；用k表示%；4k求a11+a22+ann的值.［解］(1)因为每一行的数成等差数列，所以a42,a43,a44成等差数列，所以a44=2a431a1一-a42=4.又每一列的数成等比数列