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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为虚数单位,若复数满足,则()A. B. C. D.2.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.44.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知全集,集合,则()A. B. C. D.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.7.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20178.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()A.8 B.7 C.6 D.49.已知,则不等式的解集是()A. B. C. D.10.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.6011.已知集合,,则()A. B.C. D.12.函数的图象可能是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱外有一个外接球.若,,,则球的表面积为______.14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.15.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点,,,在半径为的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.16.二项式的展开式的各项系数之和为_____,含项的系数为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,且曲线在处的切线方程为.(1)求的极值点与极值.(2)当,时,证明:.18.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,求函数的极值;(2)设函数的导函数为,求证:函数有且仅有一个零点.19.(12分)设函数f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期;(II)若α∈(π6,π)且f(20.(12分)已知函数,,且.(1)当时,求函数的减区间;(2)求证:方程有两个不相等的实数根;(3)若方程的两个实数根是,试比较,与的大小,并说明理由.21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求和的直角坐标方程;(2)已知为曲线上的一个动点,求线段的中点到直线的最大距离.22.(10分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】分析:题设中复数满足的等式可以化为,利用复数的四则运算可以求出.详解:由题设有,故,故选A.点睛:本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数,属于基础题.2.B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r3.D【解析】可以是共4个,选D.4.A【解析】
利用复数的除法运算化简,求得对应的坐标,由此判断对应点所在象限.【详解】,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题.5.D【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,由补集和交集定义可求得结果.【详解】,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.6.A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.7.D【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.8.A【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,以此类推,能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,从下往上第五层正方体的棱长为:,从下往上第六层正方体的棱长为:,从下往上第七层正方体的棱长为:,从下往上第八层正方体的棱长为:,∴改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选:A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算,属于基础题.9.A【解析】
构造函数,通过分析的单调性和对称性,求得不等式的解集.【详解】构造函数,是单调递增函数,且向左移动一个单位得到,的定义域为,且,所以为奇函数,图像关于原点对称,所以图像关于对称.不等式等价于,等价于,注意到,结合图像关于对称和单调递增可知.所以不等式的解集是.故选:A【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式,属于中档题.10.D【解析】
根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率,再根据样本容量求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图,得:低于60分的频率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴样本容量(即该班的学生人数)是60(人).故选:D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率的应用问题,属于基础题11.A【解析】
根据对数性质可知,再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵,集合,∴由交集运算可得.故选:A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小,集合交集的简单运算,属于基础题.12.A【解析】
先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先求出球O1的半径,再求出球的半径,即得球的表面积.【详解】解:,,,,设球O1的半径为,由题得,所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为,所以外接球的半径为,所以球的表面积为.故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题,考查球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.14.【解析】
取的中点为M,由可得,可得M在上,当最小时,弦的长才最大.【详解】设为的中点,,即,即,,.设,则,得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.15.【解析】
先找到平面区域内任意两点的最大值为,再利用三角恒等变换化简即可得到最大值.【详解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中点E,AC中点F,BC中点G,如图所示显然平面区域任意两点距离最大值为,而,当且仅当时,等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题,涉及到距离的最值问题,在处理这类问题时,一定要数形结合,本题属于中档题.16.【解析】
将代入二项式可得展开式各项系数之和,写出二项展开式通项,令的指数为,求出参数的值,代入通项即可得出项的系数.【详解】将代入二项式可得展开式各项系数和为.二项式的展开式通项为,令,解得,因此,展开式中含项的系数为.故答案为:;.【点睛】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)极小值点为,极小值为,无极大值;(2)证明见解析【解析】
先对函数求导,结合已知及导数的几何意义可求,结合单调性即可求解函数的极值点及极值;令,问题可转化为求解函数的最值,结合导数可求.【详解】(1)由题得函数的定义域为.,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上单调递增.令,得∴在上单调递减∴的极小值点为,极小值为,无极大值.(2)证明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上单调递增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题,考查利用导数证明不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.18.见解析【解析】
(1)当时,函数,其定义域为,则,设,,易知函数在上单调递增,且,所以当时,,即;当时,,即,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数在处取得极小值,为,无极大值.(2)由题可得函数的定义域为,,设,,显然函数在上单调递增,当时,,,所以函数在内有一个零点,所以函数有且仅有一个零点;当时,,,所以函数有且仅有一个零点,所以函数有且仅有一个零点;当时,,,因为,所以,,又,所以函数在内有一个零点,所以函数有且仅有一个零点.综上,函数有且仅有一个零点.19.(I)π;(II)-【解析】
(I)化简得到fx(II)f(α2)=2sin【详解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π),故α+故α+π12∈sin(2α+【点睛】本题考查了三角函数的周期,三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.(1)(2)详见解析(3)【解析】
试题分析:(1)当时,,由得减区间;(2)因为,所以,因为所以,方程有两个不相等的实数根;(3)因为,,所以试题解析:(1)当时,,由得减区间;(2)法1:,,,所以,方程有两个不相等的实数根;法2:,,是开口向上的二次函数,所以,方程有两个不相等的实数根;(3)因为,,又在和增,在减,所以.考点:利用导数求函数减区间,二次函数与二次方程关系21.(1)..(2)最大距离为.【解析】
(1)直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.(2)曲线的参数方程为,设,计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】(1)由,得,则曲线的直角坐标方程为,即.直线的直角坐标方
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