2020年九年级数学中考三轮冲刺复习：《圆》 证明与计算综合（一）

18/182020年中考三轮冲刺复习培优练习：《圆》证明与计算综合（一）1．已知四边形ABCD是平行四边形，且以AB为直径的⊙O经过点D．（Ⅰ）如图（1），若∠BAD＝45°，求证：CD与⊙O相切；（Ⅱ）如图（2），若AD＝6，AB＝10，⊙O交CD边于点F，交CB边延长线于点E，求BE，DF的长．2．如图，⊙O过▱ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCD＝2∠DAF．（1）求证：△ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是⊙O的切线；（3）若AB＝2，AD＝，求⊙O的半径．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．4．已知AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD交AM于点E，连按AB和BE．（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED＝2∠BAM；（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE＝∠BDC，求证：AE＝2CN；（3）如图3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的长．5．如图，在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠D＝30°，斜边CD与以AB为直径，O为圆心的半圆相切于点P，OD与半圆交于点E，连接PA，PE，PA与OC交于点F．猜想与证明：（1）当∠BOD＝60°时，试判断四边形AOEP的形状，并证明；探索与发现：（2）当AB＝6时，求图中阴影部分的面积；（3）若不再添加任何辅助线和字母，请写出图中两组相等的线段．（半径除外）6．如图，AB是⊙O的直径，点D是半圆圆角上的一点，连结AD，过点B作⊙O的切线BC交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连结DE，延长DE交AB的延长线于点F，连接BD．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE＝EF＝2，求图中阴影部分的面积．7．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．8．如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，①求证：ED是⊙O的切线；②求证：DE2＝BF•AE；③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．9．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，BE＝2，求∠F的度数．10．已知AB为⊙O直径，以OA为直径作⊙M．过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E．（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；（2）证明：∠EAC＝∠OCB；（3）若AB＝4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值．

参考答案1．（Ⅰ）证明：连接OD．∵∠A＝45°，OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝45°，∴∠BOD＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠CDO+∠BOD＝180°．∴∠CDO＝∠BOD＝90°．∴OD⊥DC，∴CD与⊙O相切．（Ⅱ）如图2中，连接DE，EF，BD．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBD＝90°．∴DE是⊙O直径．∴DE＝AB＝CD＝10．∴BE＝BC＝AD＝6．在Rt△DEF和Rt△CEF中，EF2＝DE2﹣DF2，EF2＝CE2﹣CF2∴DE2﹣DF2＝CE2﹣CF2．设DF＝x，则CF＝10﹣x．∴102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2．解得．即．2．（1）证明：∵四边形ADCH是圆内接四边形，∴∠ADC+∠AHC＝180°，又∵∠AHC+∠AHB＝180°，∴∠ADC＝∠AHB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B，∴∠AHB＝∠B，∴AB＝AH，∴△ABH是等腰三角形；（2）证明：连接OC，如右图所示，∵边AB与⊙O相切于点A，∴BA⊥AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴CD⊥AF，又∵FA经过圆心O，∴，∠OEC＝90°，∴∠COF＝2∠DAF，又∵∠PCD＝2∠DAF，∴∠COF＝∠PCD，∵∠COF+∠OCE＝90°，∴∠PCD+∠OCE＝90°，即∠OCP＝90°，∴直线PC是⊙O的切线；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝2，∵FA⊥CD，∴DE＝CE＝1，∵∠AED＝90°，AD＝，DE＝1，∴AE＝，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，∵∠OED＝90°，DE＝1，∴r2＝（4﹣r）2+12解得，r＝，即⊙O的半径是．3．（1）证明：连结OA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF＝AE＝8cm．又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝6cm．在Rt△ODF中，OD＝＝10cm，即⊙O的半径为10cm．4．解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，∴∠ENC＝∠EFA＝90°．∵∠AEF＝∠CEN，∴∠BAM＝∠BCD．∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，∴BN＝CN，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠BCD，∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；（2）连接AC，如图2，∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，∴＝，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，∴BD＝BE．在△ABE和△CDB中，，∴△ABE≌△CDB，∴AE＝CB．∵BN＝CN，∴AE＝CB＝2CN；（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，则有AP＝BP＝AB，CQ＝DQ＝CD．∵AB＝CD，∴AP＝CQ，∴OP＝＝＝OQ．∵AM垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠BEA＝∠CEA．∵OH⊥BE，OQ⊥CD，∴OH＝OQ，∴OP＝OQ＝OH，∴＝＝＝＝．又∵＝，∴＝．设AO＝7k，则EO＝4k，∴AE＝AO+EO＝11k＝11，∴k＝1，∴AO＝7，EO＝4，∴AM＝2AO＝14，∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．5．解：（1）当∠BOD＝60°时，四边形AOEP为菱形．证明：连接OP，如图所示．∵CD切半圆于点P，∴OP⊥CD，又∵∠D＝30°，∴∠DOP＝60°，又∵∠BOD＝60°，∴∠AOP＝60°，∵OE＝OP＝OA，∴△OAP与△OPE为等边三角形，∴OA＝AP＝PE＝EO，且∠PAO＝60°，∴四边形AOEP为菱形．（2）连接OP．在Rt△OPD中，OP＝AB＝3，∠OPD＝90°，∠D＝30°，∴PD＝＝3，∠POE＝60°，阴影部分的面积S＝PD•OP﹣π•OP2＝﹣π．（3）在Rt△OPD中，∠OPD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝＝2PD＝AB，∠POE＝60°．在△OPE中，OP＝OE，∠POE＝60°，∴△OPE为等边三角形，∴PE＝OE．故可得出OD＝AB，PE＝OE．6．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠BDC＝90°，且E为BC中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BC为切线，∴∠OBE＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵DE＝BE，∴BE＝2，EF＝4，∴在Rt△BEF中，∠F＝30°，又DF为切线，∴∠DOB＝60°，在Rt△ODF中，DF＝2+4＝6，∠F＝30°，∴OD＝2，∴S扇形BOD＝π•OD2＝2π，S△ODF＝OD•DF＝6，∴S阴影＝S△ODF﹣S扇形BOD＝6﹣2π．7．解：（1）∵OC⊥DE，∴DC＝EC＝DE＝×2＝，∵弦DE垂直平分半径OA，∴OC＝OA＝OE，在Rt△OCE中，∵OE＝2OC，∴∠E＝30°，∴OC＝CE＝1，∴OE＝2，即⊙O的半径为2；（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，∵∠DPA＝45°，∴∠DDC＝45°，∴∠EOF＝2∠EPF＝90°，△PCD为等腰直角三角形，∴图中阴影部分的面积＝S扇形EOF﹣S△OEF＝﹣•2•2＝π﹣2；∵BC＝AB﹣AC＝4﹣1＝3，而DC＝，∴BD＝＝2，∵BC垂直平分DE，∴BD＝BE＝2，∵BD＝DE＝BE，∴△BED为等边三角形，∴∠BED＝60°，∴∠BFD＝∠BED＝60°，∵△PCD为等腰直角三角形，∴PC＝DC＝，∴OP＝PC﹣OC＝﹣1，∴PB＝2﹣（﹣1）＝3﹣，在Rt△PBH中，∠BPH＝∠DPC＝45°，∴BH＝PH＝PB＝，在Rt△BHF中，∠HBF＝30°，∴HF＝BH＝•＝，∴PF＝PH+HF＝+＝，∴S△PBF＝••＝．8．（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD，即D点为AC的中点，∵点O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，而DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，而OB＝OD，∴∠BDO＝∠OBD，∴∠ADE＝∠OBD，∴Rt△AED∽Rt△DFB，∴DE：BF＝AE：DF，∴DE：BF＝AE：DE，∴DE2＝BF•AE；（3）解：∵∠A＝∠C，∴cosA＝cosC＝，在Rt△CDF中，cosC＝＝，设CF＝2x，则DC＝3x，∴DF＝＝x，而DF＝3，∴x＝3，解得x＝3，∴DC＝9，在Rt△CBD中，cosC＝＝，∴BC＝×9＝，即⊙O的直径为．9．（1）证明：如图，连接OD，AD．∵AC是直径，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为4，AB＝AC，∴AC＝AB＝4+4＝8，∵BE＝2，∴AE＝8﹣2＝6，∵DE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AED＝∠BED＝∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠DAE＝∠BDE，∵∠AED＝∠BED，∴△AED∽△DEB，∴＝，∴＝，解得：DE＝2，在Rt△BED中，tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，∴∠CDF＝∠EDB＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝