广东高考数学(理)一轮题库22函数的单调性与最值

匠心文档，专属精选。第2讲函数的单一性与最值一、选择题1．以下函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单一递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x|D．y＝2|x|分析关于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg|x|为偶函数．答案C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则知足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)分析∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.答案Db2，＋∞．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞上都是减函数，则y＝ax＋bx在(03x))上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增b，＋∞上都是减函数，分析∵(0x)2b∴a<0，b<0，∴y＝ax＋bx的对称轴方程x＝－2a<0，2∴y＝ax＋bx在(0，＋∞)上为减函数．匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。1，x>0，＝2－4．设函数f(x)＝0，x＝0，g(x)，则函数g(x)的递减区间是xf(x1)－1，x<0，()．A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]x2，x>1，分析g(x)＝0，x＝1，如下图，其递减区间是－x2，x<1.[0,1)．应选B.答案B．函数y＝－x2＋x－3(x＜0)的单一增区间是()52A．(0，＋∞)B．(－∞，1]C．(－∞，0)D．(－∞，－1]分析二次函数的对称轴为x＝1，又由于二次项系数为负数，拋物线张口向下，对称轴在定义域的右边，所以其单一增区间为(－∞，0)．答案C6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，关于给定的正数K，定义函数fK(x)fx，fx≤K，－|x|1＝取函数f(x)＝2，当K＝时，函数fK(x)的单一递加区间K，fx>K，2为()．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)－|x|－|x|112，2≤，2分析f2(x)＝1－|x|1?2，2>2匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。1|x|，x≤－1或x≥1，12f2(x)＝12，－1<x<1.11f2(x)的图象如右图所示，所以f2(x)的单一递加区间为(－∞，－1)．答案C二、填空题7．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.分析∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单一递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单一递减，在[1，a]上单一递加，则当x＝1时，ymin＝－1.a2－2a，－2≤a<1，综上，g(a)＝－1，a≥1.a2－2a，－2≤a<1答案－1，a≥1．函数y＝－(x－3)|x的递加区间是_______．8|分析y＝－(x－3)|x|－x2＋xx>0，3＝x2－xx≤30.3作出该函数的图像，察看图像知递加区间为0，2.3答案0，29．已知函数fx＝ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取()2值范围是________．分析①当a＝0时，fx＝－x＋5在－∞，上为减函数；②当a＞0时，()12(3)要使fx＝ax2＋4(a－3)x＋5在区间－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝()2(3－a－a3必在x＝3的右边，即3≥，故a＜0时，不行能在区间aa＜≤；③当30a4匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。3(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是0，4.3答案0，4e－x－2，x≤0，10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．关于以下命题：2ax－1，x>0①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单一函数；1③若f(x)>0在2，＋∞上恒建立，则a的取值范围是a>1；④对随意的x1，2且x1≠2，恒有<0x<0xfx1＋x2fx1＋fx22<2.此中正确命题的序号是____________．分析依据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单一函数，故②错误；若f(x)>0在1，＋∞上恒建立，则2a×1－1>0，22a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对随意的x1，2且1≠2，恒有fx1＋x2<fx1＋fx2建立，故④正确．<0x<0xx22答案①③④三、解答题11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单一区间．解当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；当0<a<1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．2a12．已知函数f(x)＝x＋x(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，务实数a的取值范围．匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．2112a2－ax1－x2＋2－，21－x2＝121a](2)设x>x≥2，则f(x)－f(x)＝x＋x1x2x1x2[xx(xx)由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只要f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒建立，则a≤16.13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，此中常数a，b知足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单一性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．解(1)当a>0，b>0时，由于a·2x，b·3x都单一递加，所以函数f(x)单一递加；当a<0，b<0时，由于a·2x，b·3x都单一递减，所以函数f(x)单一递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.3a(i)当a<0，b>0时，2x>－2b，3a解得x>log2－2b；3xa(ii)当a>0，b<0时，2<－2b，3a解得x<log2－2b.14．函数f(x)对随意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，而且当x>0时，f(x)>1.求证：f(x)是R上的增函数；2(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－m－2)<3.解(1)证明设x1，x2∈，且x1x2，R<则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.匠心