9-10章作业参考解答

9-10章作业参考解答9-10章作业参考解答9-10章作业参考解答9-10章作业参考解答编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:第9章作业参考解答第190页1.试用平面直角坐标系把二维波动方程分离变数。解：二维波动方程： （1）

分离时间变数t和空间变数，令： （2）

代入（1），得： （3）分解为两个方程： （4） （5）

方程（4）的解为 （6）

（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在直角坐标下的表示式为 （7）

设： （8）

代入上式，整理后有 （9） （10） （11）第190页2.试用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。解：二维输运方程： （1）

分离时间变数t和空间变数，令： （2）

代入（1），得： （3）分解为两个方程： （4） （5）

方程（4）的解为 （6）

（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示式为 （7）

将分离，设： （8）

代入上式，整理后有 （9）得（考虑自然的周期条件） （10） （11）解（10）得本征值与本征函数为

令，则方程（11）化为m阶贝塞尔（Bessel）方程 （12）解得 （13）第194页2.在的邻域上求解。解： （1）这里，，所以是方程的常点。设 ， （2）代入（1），整理得即 （3）由项系数，得；

由项幂次的系数和为零，得系数递推公式或 （5）

由（5）得，，，由递推公式，可求出幂级数和的收敛半径就是说，只要x有限，级数解就收敛。第212页2.在的邻域上求解。[这个方程即（）]解： （1）

点是的一阶奇点，的二阶奇点，即是方程的正则奇点。在的邻域内，解具有如下形式， （2）将（2）代入（1），整理得 （3）

比较两边最低次幂项的系数，得：，因为，得判定方程：

两个根为，。将大根代入（3），比较的系数有：得：，（）；得一特解：因为为整数，将 （4）代回方程（1），有

即

因为是方程的解，所以，与项有关的系数为零，将代入，整理得 （5）

当，，由项的系数和为零得，所以，可取任意值

由（5）项的系数和为零得：，则，（，）所以仅存系数及项，同时将，代入（4），得方程（1）的解为第10章作业参考解答第240页1①以勒让德多项式为基，在上把展开为广义傅里叶级数。解：由于是l次多项式，而是四次多项式，所以，即比较两边系数，得 解得 所以第241页5.在本来是匀强的静电场中放置导体球，球的半径为。试求解球外的静电场。解：取球坐标系，以球心为极点，过球心而平行于的直线为极轴。因为是导体球，所以球内电势处处相等，设为u0。无论是感应电荷产生的电势，或是总电势都是绕极轴旋转不变的，所以问题与无关。又因球面上感应电荷在无限远处产生的电场为零，所以在无穷远处，仍是原来的电场。因为在球外处处没有电荷，所以在球外的电势满足Laplace方程。定解问题为 （1）在轴对称情况下，（1）的一般解为

代入边界得，

解得：，，所以有

代入边界，得比较两边的广义傅里叶系数，得，，，所以最终解为

第241页6.均匀介质球，半径为，介电常数为，把介质球放在点电荷的电场中，球心跟点电荷相距。求解这个静电场中的电势。解：取球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，无论是极化电荷产生的电势v，或是总电势u都是绕极轴旋转不变的，所以问题与无关。除了在介质球的表面（有极化电荷）和点电荷所在的点外，在球内外其他各处的电势都满足三维Laplace方程。1、球内电势：

在轴对称情况下的一般解为：，

考虑在球心应有限，所以，有 （1）2、球外电势：在球外，由于有点电荷存在，电势在球外并不处处满足Laplace方程。这个问题可以这样解决：根据电势叠加原理，球外一点的总电势为点电荷电场的电势和极化电荷的电势（待求）之和。即 （2）

而极化电荷的电势在球外满足Laplace方程，考虑极化电荷在无穷远处电势应趋于零，定解问题为

考虑边界条件，，所以有 （3）把（3）代入（2） （4）3、与的衔接电势在球面上连续， （5）电