教程大二课件

(a1

,a2

,,an

)aT

a

a2

an

a1

预备知识:n

维向量的表示方法n

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用aT

,bT

,

T

,

T

等表示，如：n

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用a,b,

,

等表示，如：注意：１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.4.1向量组的线性相关与线性无关一、向量、向量组与矩阵二、线性相关性的概念三、线性相关性的判定四、向量组的线性相关性质五、线性表示、线性相关以及线性无关三者的关系六、小节若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如矩阵A

(aij)

有n个m维列向量a

aa

amn

mj

m

2m1a2na22

a2

j

A

a21a1n

a1

ja12

a11向量组a1,a2

,,an

称为矩阵A的列向量组.一、向量、向量组与矩阵aa

aa11

22mn

a

jaann又有m个n维行向量mn类似地,矩阵A

(aij

)aA

aaman

mm21aa2na2221aa1na1211

T1

T2

Ti

Tm向量组

T

,

T

,

…，

T

称为矩阵A的行向量组．1

2

m反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.m个n维列向量所组成的向量组1

,

2

,,

m

,构成一个n

m矩阵A

(1

,

2

,,

m

)的向量组1

,

2 ,

m

,T

T

T构成一个m

n矩阵m个n维行向量所组成

T

mT

TB

211

x1

2

x2

n

xn

b线性方程组的向量表示

a11x1

a12

x2

a1n

xn

b1

,

a21

x1

a22x2

a2n

xn

b2

,am1

x1

am

2

x2

amn

xn

bm

.方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１给定向量组A

:1

,2

,,m，对于任何一组实数k1，k2，,km，向量k11

k2

2

km

m称为向量组的一个线性组合，k1，k2，,km

称为这个线性组合的系数.b

11

2

2

m

m给定向量组A

:1

,

2

,,

m

和向量b,如果存在一组数1，2，,m，使有解.则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b

能由向量组A

线性表示．即线性方程组x11

x2

2

xm

m

b也就是方程组Ax

b

有解其中，A

1

,

2

,

n

.B

(1，

2，,

m

,b)的秩.

2

1

0定理1

向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵

A

(1，

2，,

m

)的秩等于矩阵例

0

0

0

21向量

b

3

即可由向量组

0，

1，3213

3

0

1

0线性表示，且为：b

20即r(A)

r(B).)定义２设有两个向量组A

:

1

,

2

,,

m及B

:

1

,

2

,,

s

.若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．

0

0

1

0

1

0

0

2

1

2

3B

[

A,

b]

,

,

,

b

0

1

0

3(因为1.若1

,

2

,,n线性无关,则只有当k1

kn

0时,才有k11

k2

2

knn

0

成立.2.对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.注意:二、线性相关性的概念定义３给定向量组A

:1

,2

,,

m

,如果存在不全为零的数k1

,k2

,,km

使k11

k2

2

km

m

0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．线性相关,若

0,则说

线性无关.包含零向量的任何向量组是线性相关的.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面.3.向量组只包含一个向量

时,若

0则说21，，m，到也即齐次线性方程组组性相关还是无关

m

m

x

x

2

x1

]Ax

[1

,

2

,

,

x11

x22

xmm

0有无非零解的问题，故而由上章关于齐次线性方程组的定理，即有三、线性相关性的判定定理

2

向量组1

,2

,,m线性相关的充要条件是矩阵

A

[1

,2

,,m

]的秩

r(

A)

m.其中m是向量的个数其逆否命题是“向量组1

,2

,,m线性无关的充要条件是r(

A)

m.”推论对m维向量组1

,2

,,m，它线性相关的充要条件是A

0推论的逆否命题是对m维向量组1

,2

,,m，它线性无关的充要条件是A

0n

维向量组

0,0,1,TnTT1

2e

1,00,,,1e

，,0e,,,0称为n维单位坐标向量组,

其线性相关性

.解是n阶单位矩阵.n维单位坐标向量组构成的矩阵I

(e1

,e2

,,en

)由 I例１及定理2

的推论知n维单位坐标向量组线性无关

，

，

7

4

2

，及2，的1321，线性相关性.

5

2

01

11321试

向量组解分析对矩阵（1，

2，

3），施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,可同时看出矩阵（1，

2，

3）及（1，

2）的秩，利用定理2即可得出结论.例２已知7

141

0

2(1

,

2

,

3

)

1

25~223r

(

5)

0

0

1

0

2

0

2

20可见r(1

,2

,3

)

2，故向量组1

,2

,3线性相关r(1

,2

)

2,

故向量组1

,2线性无关.~r12

(

1)r13

(

1)5

0

1

0

2

0

2

25例3

已知向量组

1

,2

,3

线性无关,

b1

1

2

,b2

2

3

,b3

3

1

,试证b1

,b2

,b3线性无关.证法1

设有x1

,

x2

,

x3使x1b1

x2b2

x3b3

0即

x（1

1

2）

x2

(

2

3

)

x3

(

3

1

)

0,亦即（

x1

x3

)1

(

x1

x2

)

2

(

x2

x3

)

3

0,因1，

2，

3线性无关，故系数必全为零，即有x1

x2

0,x2

x3

0.x1

x3

0,b1

,b2

,b3线性无关.故方程组只有零解

x1

x2

x3

0，所以向量组证法201

2

3

1

2

31

0

1即有，

(b

,

b

,

b

)

(a

,

a

,

a

)

1

1

0

1

1可对应记作B

AC.由b1

1

2

,b2

2

3

,b3

3

1

,由1

0

1C

1

1 0

2

00

1

1知r(B)

r(A).而利用定理2，知r(A)

3,进而知向量组b1

,b2

,b3线性无关.接下来，

性相关判定的几个性质若向量组A：1

,2

,,m

线性相关,则性质1：四、向量组的线性相关性质反之，若一个组都线性无关.含有零向量的向量组必线性相关.向量组线性无关，则它的向量组B

:1

,,m

,m1

也线性相关.反言之,若向量组B

线性无关,则向量组A也线性无关.说明：

性质1

可推广为:

一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关.

特别地，设2

jjjrja,

m),a

a1

j

a1

j

a

2

j

,

,

b

(

j

1,

2,

arj

ar

1,

j

性质2：即

j添上一个分量后得向量bj

.若向量组A：1

,2

,,m线性无关,则向量组B：b1

,b2

,,bm也线性无关.反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.说明：

性质

2

是对增加一个分量（即维数增加1）而言的，若增加多个分量,结论也成立.

即“线性无关向量组的“加长”向量组必线性无关。”或“线性相关向量组的“截短”向量组必线性相关。”性质3：m

个n维向量组成的向量组，当维数n

小于向量个数m时一定线性相关.

2

0

例4

试判断向量组

1

51

0

,71

50

2

0,

0

3

0

23

1

,的线性相关性。解法一新向量组，，2，1311

000

0

,20

100

0

,由0

1

01

0

0

0

00

1

0

0

0

0

0

1

02

7

2

1

0

5

5

3

0

11

,

2

,

3

,

1

,

2即知1

,2

,3

,1

,2线性无关再由性质1，即知1，2，3

线性无关解法二

2

0

1

51

0

,71

50

2

0,

0

3

0

23

1

,的“截短”向量组：11

0

0,02

0

1,

1

0,03显然

1，

2，

3线性无关，故1，2，3也无关。中至少有一个向定理3

向量组1

,2

,,m（当m

2

时）线性相关1

2

m的充分必要条件是

,

,,五、线性表示、线性相关、线性无关三者的关系量可由其余m

1

个向量线性表示．而不是

“每一个”对向量组

1，

3，5T

,

0，0，0T

,因其为含零向量的向量组，所以该组线性相关。但也只有

0

,

而无

(

)

!定理4：设向量组A

:1

,2

,,m线性无关,而向量组B

:1

,,m

,b

线性相关,则向量b必能由向量组

A线性表示,且表示式是唯一的.有r(A)

r(B).因A组线性无关，有r(A)

m;因B组线性相关，有r(B)

m

1.所以m

r(B)m

1，即有r(B)

m.由r(A)

r(B)

m,知方程组(1

,2

,,m)x

b有唯一解，即向量b

能由向量组A线性表示，且表示式唯一.证明

记A

(1

,2

,,m

),

B

(1

,2

,,m

,b),例5

已知向量组1，2，3

线性相关，2，3，4线性无关，问：（1）1可否由2

,

3线性表示，为什么？（2）4是否可由1，2，3

线性表示？为什