矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同，等价与相似、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A=B。2、性质：（1）反身性：即A=A.（2）对称性：若A=B，则B=A（3）传递性：即若A=B，B=C，则A=C（4）若A为mxn矩阵，且r（A）=丫，则一定存在可逆矩阵P（m阶）一（I0、和Q（n阶），使得PAQ=r=B.其中I为r阶单位矩阵.100） rmxn（5）设A、B是两mxn矩阵，则A=B当且仅当r（A）=r（B）3、判定：矩阵等价的充要条件：两个sxn矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使B=PAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ.（二）矩阵的合同：1、定义：两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A二BPTAP二B成立，则称A,B合同，记作A=B该过程成为合同变换。2、性质：(1)反身性：任意矩阵A都与自身合同.(2)对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.(3)传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.(4)数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.(5)复数域上秩为厂的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：f=y2+y;・・・+y23、判定定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得PtAP=B，则称矩阵为合同矩阵(若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵)，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PtAP二B(三)矩阵的相似1、定义：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得b=P-iAP成立，则称矩阵A,B相似，记为a〜B。2、性质：性质3⑴反身性A二EtAE⑵对称性由B=CTAC即得A=（C-）BCt;(3)传递性A1=C1TAC1和A2=C2TAe2即得A2(。1。2》A(C1C)总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)P-1(kA+kA)P=kP-1AP+kP-1AP(其中k,k是任意11 22 1 1 2 2 1 2常数)；(5)P-1(AA)P=(P-1AP)(P-1AP)；12 1 2(6)若A与B相似，则Am与Bm相似(m为正整数)；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果B=P-1AP为满秩矩阵，那么B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1P.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8)相似的矩阵有相同的行列式；因为如果B=P-1AP，则有：|B尸|P-1AP|=|P-1||A||P|=|A|(9)相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设B=P-1AP，若B可逆，则B-1=(P-1AP)-1=PA-1P-1从而A可逆.且B-1与A-1相似.若B不可逆，则(P-1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.3、判定：设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P-1AP=B,则称矩阵A与B为相似矩阵(若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵)由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=B二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系(一)由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P，使1得P-1AP=B，此时若记P=P-1,Q=P，则有PAQ=B，因此由定义1得至【」n1 1 1 1阶方阵A,B等价.. .. (100、 (121V..一.一反过来，对于矩阵A= ,B= 等价，但是A与B并(010) (010)不相似，即等价矩阵未必相似.2、对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQ=B，(即A与B等价)，且PQ=E(E为n阶单位矩阵)，则A与B相似.证明：设对于n阶方阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ=B,即A与B等价.又知PQ=E,若记P=P-1,那么Q=P也即P-1AP=B，则矩阵1 1 1 1A,B也相似.3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵.证明：设n阶方阵A,B合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵P，使得牛Aq=B,若记P=Pt,Q=P，则有PAQ=B因此由定义1得到n阶方阵A,B等价11

反过来对于矩阵A反过来对于矩阵A二2、…J等价,但是A与B并不合同,即等价矩阵未必合同.4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵.证明：若存在一个正交矩阵P,即PtP=E使得P-1AP=B即A〜B，则有B=P-1AP=PtAP，即A与B合同.同理，若存在一个正交矩阵P，即PtP=E使得PtAP二B即A与B合同，则有B=PtAP=P-1APnA〜B由此可得.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（二）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系.另外，在一定条件下，两者是等价的.若矩阵A与B正交相似，则它们既是相似也是合同的.对于相似与合同矩阵之等价条件有以下联系如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A与B既相似又合同.证明：设A证明：设A与B的特征根均为八九公九n因为A与n阶实对称矩阵，则一定「 '同理「定能找到一「 '同理「定能找到一从而有Q-1AQ=P-1BP伍1存在一个n阶正交矩阵Q使得Q-1AQ=v伍1入 .一2个正交矩阵P使得P-1BP= .

4-)14P-1)1aQp-1)将上式两边左乘P和右乘P-1,得B二PQ-1AQP-1由于QtQ=E,PtP=E,P-1P=E有(QP-1)(QP-1)=(P-1}QtQP-1=(P-1}EP-1=PP-1=E，所以，QP-14-)14P-1)1aQp-1)若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同.证明：不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取U=A，有U-1ABU=A-1ABA=(A-1A)(BA)=BA，则AB与BA相似，又知A是正交阵，所以AB与BA既相似又合同. .(A0、(B0\若A与B相似且又合同，C与D相似也合同，则有n「与n10C)10D)既相似又合同.P-1AP=B,P-1CP1 1 2 2P-1,故P2)，则P-1=(P-1110PP-1AP=B,P-1CP1 1 2 2P-1,故P2)，则P-1=(P-1110P-12相似.又因为A与B合同，C与D合同，故存在可逆矩阵Q,Q2Q^AQ=B,Q;CQ「DQt=(Q1TQ2T)Qt(Q1T0)(a0)(QQ2T)［0C)(00)=(Q1TA 0)(Q10)Q2)［0 Q2TC人0Q2)(Q1TAQ10 )_(BQ2TCQ2) ^00)

D))合同.三、矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量;特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基