浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷-4737

浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷一、选择题（每题

4分，共

40分）1．（4

分）（2013?镇海区校级自主招生）把

26个英文字母按规律分成

5组，现在还有

5个字母

D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其序次依次为（

）1）F，R，P，J，L，G，（）2）H，I，O，（）3）N，S，（）4）B，C，K，E，（）5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M2．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）若，则式子++等于（）A．﹣4x+3B．5C．2x+3D．4x+33．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）若不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，则a+b=（）A．B．C．D．4．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）若，则m﹣20072=（）A．2007B．2008C．20082D．﹣200825．（4分）（2014?余姚市校级自主招生）方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个B．2个C．4个D．6个7．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续扔掷二次，分别出现数字m、n，获取一个点P（m，n），则点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象以下列图，以下结论：①b＞0，②c＜0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右侧的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．10．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2）+2，则t的取值范围是（A．t=0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对二、填空题（每题6分，共30分）11．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）已知关于x的不等式mx﹣2≤O的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是．12．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其极点在一起，恰好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．13．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角极点A、B均在x轴上，则点B的坐标为．14．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．15．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成以下列图的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右侧用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走个小正方体．三、解答题（共50分）16．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．17．（8分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．18．（13分）（2013?镇海区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平川面不得小于6米．1）如图1，若水平距离间隔80米建筑一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的地址离地面最少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的地址离地面高度为20米的塔柱．①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的近来距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的近来距离为多少米？19．（13分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的剖析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的极点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上可否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上可否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为极点的四边形是平行四边形？若是存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若是不存在，请说明原由．20．（10分）（2013?镇海区校级自主招生）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只幸亏第2层至第33层中某一层停一次，关于每个人来说，他往下走一层楼梯感觉1分不满意，往上走一层楼梯感觉3分不满意，现在有32个人在第一层，而且他们分别住在第2至第33层的每﹣层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．2013年浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷参照答案与试题剖析一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其序次依次为（）1）F，R，P，J，L，G，（）2）H，I，O，（）3）N，S，（）4）B，C，K，E，（）5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；（2）有两条对称轴，而且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．故各个空，序次依次为：Q，X，Z，D，M．应选D．2．（4

分）（2013?镇海区校级自主招生）

若

，则式子

+

+等于（

）A．﹣4x+3

B．

5C．2x+3D．4x+3【解答】解：∵

，x﹣1≤0，x﹣3＜0，2x+1≥0，∴++==|x﹣1|+|x﹣3|+|2x+1|=1﹣x+3﹣x+2x+1=5．应选B．3．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）若不论

k取什么实数，关于

x的方程

（a、b

是常数）的根总是

x=1，则

a+b=（

）A．

B．

C．

D．【解答】解：把

x=1代入得：

﹣

=1，去分母得：4k+2a﹣1+kb﹣6=0，即（b+4）k=7﹣2a，∵不论k取什么实数，关于x的方程﹣=1的根总是x=1，∴

，解得：

a=

，b=﹣4，∴a+b=﹣，应选

C．4．（4分）（

2013?镇海区校级自主招生）若

，则

m﹣20072=（

）22A．2007B．2008C．2008D．﹣2008【解答】解：依照二次根式有意义的条件得：m﹣2008≥0，解得：m≥2008，则|2007﹣m|=m﹣2007，原式=m﹣2007+=m，=2007，2m﹣2008=2007，2m﹣2007=2008，应选：B．5．（4分）（2014?余姚市校级自主招生）方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：6xy+4x﹣9y﹣7=3y（2x﹣3）+2（2x﹣3）﹣1，=（2x﹣3）（3y+2）﹣1=0，所以（2x﹣3）（3y+2）=1，由于方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解，所以2x﹣3和3y+2也为整数，所以2x﹣3=3y+2=1也许2x﹣3=3y+2=﹣1，1=2，y1=﹣（不合题意舍去）x2=1，y2=﹣1所以，方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解为则方程6xy+4x﹣9y﹣7=0的整数解的个数为

x=1，y=﹣1；1组，应选：

A．6．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）在平面直角坐标系中有两点

A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（

）A．1个B．2个C．4个D．6个【解答】解：∵A，B的纵坐标相等，∴AB∥x轴，AB=3﹣（﹣2）=5．∵C是坐标轴上的一点，过点

A向

x轴引垂线，可得一点，过点

B向

x轴引垂线，可得一点，以

AB为直径作圆可与坐标轴交于

4点．∴依照直径所对的圆周角是

90°，满足条件的点共有

4个，为

C，D，E，H．加上

A、B共

6个．应选

D．7．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）

一个各面分别标有数字

1、2、3、4、5、6

的骰子，连续扔掷二次，分别出现数字

m、n，获取一个点

（Pm，n），则点

P既在直线

y=﹣x+6上，又在双曲线

上的概率为（

）A．B．C．D．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∵共36种等可能的结果，点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的有：（2，4），（4，2），∴点P既在直线y=﹣x+6上，又在双曲线上的概率为：=．应选C．8．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）二次函数2①b＞0，②cy=ax+bx+c的图象以下列图，以下结论：＜0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：∵抛物线张口向下，∴a＜0；又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，x=﹣＞0，b＞0，所以①正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，c＜0，所以②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，所以③正确；当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以④正确；∵对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）与（2，0）之间，∴当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，所以⑤不正确．应选C．9．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右侧的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：依照图形和题意可得：a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=所以正方形的面积为（1+2，）=应选：D．10．（4分）（2013?镇海区校级自主招生）二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2）+2，则t的取值范围是（A．t=0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对22【解答】解：∵y=﹣x+6x﹣7=﹣（x﹣3）+2，2ymax=f（3）=2，与ymax=﹣（t﹣3）+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，ymax=f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，ymax=f（t）=﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，应选C．二、填空题（每题6分，共30分）11．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）已知关于x的不等式mx﹣2≤O的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是．【解答】解：解不等式mx﹣2≤0移项得：mx≤2只有不等号方向改变，不等式才可能只有两个负整数解﹣1，﹣2．所以m＜0．则不等式的解集是：x≥依照题意得：﹣3＜≤﹣2，且m＜0解得：﹣1≤m＜﹣．12．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其极点在一起，恰好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得，++=．故答案为：++=．13．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角极点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（1+，0）．【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形，∴直线OP：y=x，联立y=（x＞0）可得P（2，2）；∴A（2，0），由于直线OP∥AQ，可设直线AQ：y=x+h，则有：2+h=0，h=﹣2；∴直线AQ：y=x﹣2；联立y=（x＞0）可得Q（1+，﹣1），即B（1+，0）．故答案为：（1+，0）．14．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．【解答】解：由题意得：，∴方程组

可变形为：∴

对吻合条件的

a1，b1，a2，b2都建立．故答案为：

．15．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成以下列图的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制）线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走

，但希望搬完后从正面、从上面、从右侧用平行光27个小正方体．【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体．9+8+3+5+2=27个．故最多可以搬走27个小正方体．故答案为：27．三、解答题（共50分）16．（6分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）∵F在AD上，∠EFC=90°，∴∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC，（3分）∴．（4分）∵BE：EA=5：3设BE=5k，AE=3k∴AB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k（5分）在△EBC中，依照勾股定理得222BE+BC=ECCE=15，BE=5k，BC=10k∴k=3（6分）AB=8k=24，BC=10k=30（7分）17．（8

分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，已知

ABCD是圆

O的内接四边形，

AB=BD，BM⊥AC于

M，求证：AM=DC+CM．【解答】证明：在MA∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AB=BD，

上截取

ME=MC，连接

BE，∴=，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BCE=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，AE=CD，AM=AE+EM=DC+CM．18．（13分）（2013?镇海区校级自主招生）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平川面不得小于6米．1）如图1，若水平距离间隔80米建筑一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的地址离地面最少应有多少米的高度？（2）如图2，若在一个坡度为米的塔柱．

1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的地址离地面高度为

20①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的近来距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的近来距离为多少米？2，【解答】解：（1）y=×40=1616+6=22米；固定电缆的地址离地面最少应有22米的高度．2）如图，以点A为原点，建立坐标系，∵斜坡的坡度为1：5，CD=50m，∴CE=10m，∴点B的坐标为（50，10），设抛物线的剖析式为y=2x+bx，10=×2500+50b，解得，b=﹣，∴抛物线的剖析式为

y=

x2﹣

x=

（x﹣15）2﹣2.25，∴设抛物线的极点为M，则

M（15，﹣2.25），作

MF⊥CD，交

DE于点

G，交

CD于点

F，MF=20﹣2.25=17.75m，又∵DF=15m，FG=DF=3m，MG=MF﹣FG=17.75﹣3=14.75m；即下垂的电缆与地面的近来距离为14.75m．19．（13分）（2013?镇海区校级自主招生）如图，直线AD对应的函数关系式为y=﹣x﹣1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的剖析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的极点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上可否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上可否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为极点的四边形是平行四边形？若是存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若是不存在，请说明原由．【解答】解：（1）令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，点A的坐标为（﹣1，0），设抛物线剖析式为y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得，所以，抛物线剖析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）∵P是线段AD上的一个动点，过

P点作

y轴的平行线交抛物线于

E点，∴设点P（x，﹣x﹣1），则点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），=﹣x﹣1﹣x2+2x+3，2=﹣x+x+2，=﹣（x﹣）2+，联立，解得，，所以，点D的坐标为（2，﹣3），P是线段AD上的一个动点，∴﹣1＜x＜2，∴当x=时，PE有最大值，最大值为；3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点F的坐标为（1，﹣4），点G的横坐标为1，y=﹣1﹣1=﹣2，∴点G的坐标为（﹣1，﹣2），GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，∵四边形GFEP为平行四边形，PE=GF，∴﹣x2+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去），此时，y=﹣1，∴点P的坐标为（0，﹣1），故，存在点P（0，﹣1），使得四边形GFEP为平行四边形；（4）存在．原由以下：①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，∴HD∥AQ，∴点H的纵坐标与点D相同，是﹣3，2此时，x﹣2x﹣3=﹣3，整理得，x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2（舍去），HD=2﹣0=2，∵点A的坐标为（﹣1，0），1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，∴点Q的坐标为（﹣3，0）或（1，0）；②当点H在x轴上方时，依照平行四边形的对称性