七上实数经典例题及习题

.z.知识点总结及题型考点一、实数的概念及分类〔3分〕1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。正整数又叫自然数。正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。2、无理数在理解无理数时，要抓住"无限不循环〞这一实质，归纳起来有四类：〔1〕开方开不尽的数，如等；〔2〕有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；〔3〕有特定构造的数，如0.1010010001…等；〔4〕*些三角函数，如sin60o等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值〔3分〕1、相反数实数与它的相反数时一对数〔只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零〕，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，假设|a|=a，则a≥0；假设|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根〔3—10分〕1、平方根如果一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根〔或二次方跟〕。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做"〞。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作"〞。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。〔0〕；注意的双重非负性：-〔<0〕03、立方根如果一个数的立方等于a，则这个数就叫做a的立方根〔或a的三次方根〕。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数〔3—6分〕1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它准确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边准确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点五、实数大小的比拟〔3分〕1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴〔画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可〕。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。2、实数大小比拟的几种常用方法〔1〕数轴比拟：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。〔2〕求差比拟：设a、b是实数，〔3〕求商比拟法：设a、b是两正实数，〔4〕绝对值比拟法：设a、b是两负实数，则。〔5〕平方法：设a、b是两负实数，则。考点六、实数的运算〔做题的根底，分值相当大〕1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进展；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进展。7、有理数除法运算法则就什么？两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？一样因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，一样因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:an9、有理数乘方运算的法则是什么？负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去〔加〕括号时如果括号外的因数是正数，去〔加〕括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号一样；括号外的因数是负数去〔加〕括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有〔〕

A、1B、2C、3D、4

解析：此题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数

应选C

举一反三：

【变式1】以下说法中正确的选项是〔〕

A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数

【答案】此题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是〔〕

A、1B、1.4C、D、

【答案】此题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，应选C．

【变式3】

【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴类型二．计算类型题2．设，则以下结论正确的选项是〔〕

A.B.

C.D.

解析：〔估算〕因为，所以选B

举一反三：

【变式1】1〕1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2〕-27立方根是__________.3〕___________，___________，___________.

【答案】1〕；.2〕-3.3〕，，

【变式2】求以下各式中的

〔1〕〔2〕〔3〕

【答案】〔1〕〔2〕*=4或*=-2〔3〕*=-4

类型三．数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是〔〕．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】选C

[变式2]实数、、在数轴上的位置如下图：

化简

【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简以下各式：

(1)|-1.4|(2)|π-3.142|

(3)|-|(4)|*-|*-3||(*≤3)

(5)|*2+6*+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1)∵=1.414…＜1.4∴|-1.4|=1.4-

(2)∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3)∵＜,∴|-|=-(4)∵*≤3,∴*-3≤0,

∴|*-|*-3||=|*-(3-*)|

=|2*-3|=

说明：这里对|2*-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的根本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

(5)|*2+6*+10|=|*2+6*+9+1|=|(*+3)2+1|

∵(*+3)2≥0,∴(*+3)2+1＞0

∴|*2+6*+10|=*2+6*+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+-=类型五．实数非负性的应用5．：=0，**数a,b的值。

分析：等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a,b的值。

解：由题意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21为所求。

举一反三：

【变式1】(*-6)2++|y+2z|=0，求(*-y)3-z3的值。

解：∵(*-6)2++|y+2z|=0

且(*-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得∴(*-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】则a+b-c的值为___________

【答案】初中阶段的三个非负数：，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为*cm，

根据题意得*2=112+13×8

∴*2=225

∴*=±15

∵边长为正，∴*=-15不合题意舍去，

∴只取*=15(cm)

答：新的正方形边长应取15cm。

举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。〔4个长方形拼图时不重叠〕

〔1〕计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

〔2〕当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积

多24cm2，求中间小正方形的边长.

解析：〔1〕如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为=

大正方形的面积=，

一个长方形的面积=。

所以，

答：中间的小正方形的面积，

发现的规律是：〔或〕

(2)大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，

又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2

所以有，

化简得：

将代入，得：cm

答：中间小正方形的边长2.5cm。

类型七．易错题7．判断以下说法是否正确

〔1〕的算术平方根是-3；〔2〕的平方根是±15.

〔3〕当*=0或2时，〔4〕是分数

解析：〔1〕错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

〔2〕表示225的算术平方根，即=15.实际上，此题是求15的平方根，

故的平方根是.

〔3〕注意到，当*=0时，=，显然此式无意义，

发生错误的原因是无视了"负数没有平方根〞，故*≠0，所以当*=2时，*=0.

〔4〕错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高8．〔1〕的整数局部为a，小数局部为b，求a2-b2的值.

〔2〕把以下无限循环小数化成分数：①②③

〔1〕分析：确定算术平方根的整数局部与小数局部，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，则较小的整数即为算术平方根的整数局部，算术平方根减去整数局部的差即为小数局部．

解：由得

的整数局部a=5,的小数局部，

∴

〔2〕解：(1)设*=①

则②②-①得

9*=6

∴.

(2)设①

则②②-①，得

99*=23

∴.

(3)设①

则②②-①，得

999*=107，

∴.学习成果测评：A组〔根底〕

一、细心选一选

1．以下各式中正确的选项是〔〕

A．B.C.D.

2.的平方根是()

A．4B.C.2D.

3.以下说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是

无理数。其中正确的说法有〔〕

A．3个B.2个C.1个D.0个

4．和数轴上的点一一对应的是〔〕

A．整数B.有理数C.无理数D.实数

5．对于来说〔〕

A．有平方根B．只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定

6．在〔两个"1〞之间依次多1个"0〞〕中，无理数

的个数有〔〕

A．3个B.4个C.5个D.6个

7．面积为11的正方形边长为*，则*的范围是〔〕

A．B.C.D.

8．以下各组数中，互为相反数的是〔〕

A．-2与B.∣-∣与C.与D.与

9．-8的立方根与4的平方根之和是〔〕

A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是〔〕

A．B.C.D.

二、耐心填一填

11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。

12．的算术平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。

14．∣*∣的算术平方根是8，则*的立方根是_____。

15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整数有______个。

17．假设∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。

18．假设∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。

19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。

20．一个正数*的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，*=_____。

三、认真解一解

21．计算

⑴⑵⑶⑷∣∣+∣∣⑸×+×⑹4×[9+2×〔〕]〔结果保存3个有效数字〕

22．在数轴上表示以下各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用"〞号连接：参考答案：

一:1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D

二：11、，π-312、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-1519、220、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹37.9

22、B组〔提高〕一、选择题：

1．的算术平方根是〔〕

A．0.14B．0.014C．D．

2．的平方根是〔〕

A．－6B．36C．±6D．±

3．以下计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，

其中正确的个数有〔〕

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．在以下各式中，正确的选项是〔〕

A．;B．;C．;D．

5．以下说法正确的选项是〔〕

A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数

6．以下说法错误的选项是〔〕

A．B．C．2的平方根是D．

7．假设，且，则的值为〔〕

A．B．C．D．

8．以下结论中正确的选项是〔〕

A．数轴上任一点都表示唯一的有理数;B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;

C.两个无理数之和一定是无理数;D.数轴上任意两点之间还有无数个点

9．-27的立方根与的平方根之和是〔〕

A．0B．6C．0或-6D．-12或6

10．以下计算结果正确的选项是〔〕

A．B．C．D．二．填空题:

11．以下各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、

⑦0.3030003000003……〔相邻两个3之间0的个