课件-线性代数

第五章

特征值与特征向量第一节

特征值与特征向量第二节

相似矩阵与矩阵对角化条件第三节

实对称矩阵的对角化第一节

特征值与特征向量—

特征值与特征向量的概念定义

5.1

设

A

为

n

阶方阵，若存在数

及

n

维列向量X

0

使AX

X

，则称

为A

的特征值，X

为A

的属于特征值

的特征向量。问题：方阵A

的特征值与特征向量是否存在？即满足AX

X

的n

维列向量X

0

与数

是否存在？存在的话如何求解？二

特征值与特征向量的求法设A

为n

阶方阵，

为数，X

为n

维列向量，则AX

X

，

X

0(

A

E)

X

0

，

X

0det(

A

E

)

0即方阵A

的特征值与特征向量的存在取决于是否存在数

满足det(

A

E

)

0

.定义

5.2

设

n

阶方阵

A

(ai

j)nn

，称

A

E为

A

的特征矩阵，

det(

A

E)

为

A

的特征多项式，

det(

A

E)

0

为

A

的特征方程。其中，det(

A

E)a11

a21an1a12a22

an2a1n

a2nann

1122

(1)n

n

(ann

a

a)n1

A

(1)n

det结论：设A

为n

阶方阵，则在复数范围内，

的n

次方程det(A

E)

0

有n

个根，重根按重数算。即在复数范围内A

的特征值一定存在，且A

的全体特征值的个数为n

（包括相同的特征值），并一定存在n

维列向量X

0

使(A

E)X

0

，即A的属于特征值

的特征向量也一定存在。注意：当A

的特征值

为复数时，A

的属于特征值

的特征向量X

一般为复的n

维列向量。特征值与特征向量的求法：（

1

）设A

为n

阶方阵，在复数范围求出A

的特征方程det(A

E)

0

的n

个根1

,2

,为1

,

2

, ,

n,n

，则A

的全体特征值（

2

）对每个不同的特征值

i，求出线性方程组(

A

E

)

X

0

X

,

X

,i

的基础解系

i1

i

2Xi,ir

，则A

的属于特i

i征值

i

的全体特征向量为k1

X

i1

k

2

X

i

2r

k

Xir，其中ik1

,

k2

,,kr

为任意不全为零的常数。例

设4

3

2

2A

2

2

2

42

，求A

的特征值及特征向量.解：det(A

E)

(

2)2

(

5)

，A

的特征值为1

2

2

，3

5

.1

2

2当 时

，(

A

2E

)

X

0的基础解系为X1

2

1 0

，

X

2T21T

，A

的属于特征值2

的全体0特征向量为k1X

1

k

2

X

2

，其中k1

,k2

为任意不全为零的常数。2当3

5

时，X3

12

为(A

5E)X

0

的基础解T系，

A

的属于特征值

5

的全体特征向量为

k3

X

3

，其中

k

3

0

。三

特征值与特征向量的性质性质

1

方阵

A

的属于特征值

的特征向量

X1

,

X

2

,Xt,的非零线性组合

X

k1

X1

k2

X

2

kt

Xt于

0

也是A

的属特征值性质的2特征若向n量阶。方阵A

(ai

j

)n

n

的特征值为1

,2

,则有,

n

，det

A

nn

n

i

，i

1

i

aiii

1

i

1n其中a

ii称为A

的迹，记为tr

(

A

)。i

1性质1

证明：设AXi

Xi

，Xi

0

，(i

1,

2,,t

)，则A(k1

X1

k2

X

2

k1

AX1

k2

AX

2

k1

X1

k2

X

2

(k1

X1

k2

X

2

即当

k1

X1

k2X

2

kt

Xtkt

Xt

)kt

AXtkt

Xtkt

Xt

)

0

时，k1

X1

k2X

2

ktXt

也是A

的属于特征值

的特征向量。性质

3

若

为方阵

A

的特征值，

X

为

A

的属于特征值0的特征向量，设多项式f

(x)

a1m

a

x

a

xm

，则矩多0

1

m项式

f

(

A)

a

E

a

A

a

阵m的特征值为f

(

)，且X

为f

(

A)A方阵

的属于特征值

f

(

)

的特征向量。证：设AX

X

，X

0

，则A2

X

AX

2

X

,f

(

A)

X

(a

E

a

A

0

1a

Am)

Xma

Am

Xm

a

EX

a

AX

0

1

a

X

a

X

0

1m

a

mX0

1

m

(a

a

a

m)

X

f

(

)

X即f

(

)为f

(A)的特征值，X

为f

(A)的属于f

(

)的特征向量。例

设三阶方阵

A

的特征值为1

0

、2

4

、3

3

，B

A2

4

A

8E

，求det

B

.1

2

3解：设

B

的特征值为

、

、2

f

(x)

x

4x

8，

，则1

f

(1)

8

、2

f

(2

)

8

、3

f

(3

)

5因此detB

12

3

8

8

5

320性质

4

方阵

A

的不同特征值对应的特征向量线性无关。即若Ai

i

i

，i

0

(i

1,

2

,,m)，1

,2

,

,m

互i1

2相同，则不,

,,

m性质5设1

,2

,线性无关。,m

为n

阶方阵A

的互不相同特征值，对应于

i

的线性无关特征向量为X

i1

,

X

i

2

, ,

X

ir

，

(i

1,

2

, ,

m)则特征向量组X

11

,

X

12

,,X

mr,

X

1r

,

X

21

,

X

22

,1,

X

2

r

，…，X

m1

,

X

m

2

,2m也线性无关。性质4

证明：当m

1时，由1

0

知1

线性无关，结论成立。设m

k

时结论也成立，则当m

k

1时，设方程11

111

1k

11

0k

kk

k

1k

1

0

k

k

k

1k

1k

1

0

k

k

1k

k

1k

1k

1

则k k

1

k

k1

(k

1

1)1

(

)

0即因

线性无关，只有i1

,2

, ,

k

(k

1i

)

0

(i

1,

2

, ,

k)

，又由i

k

1

知

i

0

(i

1,

2

, ,

k

)

，因此

k

1k

1

0

，再由k

1

0

知

k

1

0

，即1,2

,法原理，对任意正整数m

，1

,2

,,k

,k

1

线性无关，由归纳,

m

线性无关。例

设

A

为n阶可逆方阵，证明：A

的特征值不为零；若

为A

的特征值，则1

为A1

的特征值。证（1）（反证法）若

0

为A

的特征值，则det(

A

0E)

det

A

0与

A

可逆

，即

A

的特征值不为零；（2）设AX

X

，X

0

，则A1

AX

A1

X

A1

X由

0

知A1

X

1

X

，X

0

，即1为A1

的特征值。第二节

相似矩阵与矩阵对角化条件—

相似矩阵及其性质定义

5.3

设n

阶方阵

A

、

B

，若存在n

阶可逆矩阵

P

使P1

AP

B，则称

A与B相似，记为

A~B，且称

P为将A变为

B

的相似变换矩阵。例如a12aa2

~

a3

1a3

a注意：设n

阶方阵A

、B、C

，则有：A

~A若A

~

B

，则B

~A若A

~

B

，B~

C，则A

~

C证明：(1)由A

E

1

AE

知A

~

A若A

~

B

，则存在可逆矩阵P

使P1

AP

B

，因此A

PBP1

P1

1

BP1

，即B

~

A若A

~

B

，B~

C

，则存在可逆矩阵P

、Q

使P1

AP

B

，Q1BQ

C

，即P1

AP

QCQ1

，Q1P1

APQ

C

，因此(PQ)1

A(PQ)

C

，即A

~

C

.相似矩阵的共同特征性质

1

相似矩阵有相同的秩。性质

2

相似矩阵的行列式相等。性质

3

相似矩阵或都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它们的逆阵也相似。性质

4

相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。相似矩阵共同特征的证明：设A

~

B

，则存在可逆矩阵P

使P1

AP

B

，有（1）（2）rankB

rank

(P1

AP)

rankA

.det

B

det(P1

AP)

det(P1

)

det

A

det

P

(det

P)1

det

A

det

P

det

A

.（3）

由det

B

det

A

知A

、B

或都可逆或都不可逆，当它们都可逆时B1

P1

AP1

P1

A1P

，即A1~

B1.（4）det(B

E)

det(P1

AP

E)

det(P1

AP

P1

EP)

det

P1

(

A

E)P

det(P1

)

det(

A

E)

det

P

det(

A

E)

.二矩阵可对角化条件方阵

A

与对角矩阵相似

A

可对角化定理5.1n阶方阵

A与对角矩阵

diag

(1

,

2

, ,

n

)A相似的充要条件是

有

n

个线性无关特征向量。即有

n

维列向量1

,

2

, ,

n

线性无关，

且

Ai

i

i

(i

1,

2

, ,

n)

，

使,)，其中P

,

,n

1

2

n1

2P1

AP

diag

(

,

,,。推论1

若

n

阶方阵

A

有

n

个互不相同的特征值，则

A

必可对角化。定理5.1证明：因为n

维列向量组

1

,2

,,n

线性无关的充要条件是阵

P矩

1

2n

可逆，所以A

~

diag

(1

,

2

, ,

n

)存在可逆矩阵P

使P1

AP

diag

(1

,2

,,

n)

AP

Pdiag

(1

,

2

, ,

n

)1

2

n1

12

2n

nA

P1

2nA

A

Ai

i

i

(i

1,

2

, ,

n)

(

1

,

2

,无关),n

线性

A

有n

个线性无关特征向量定理

5.

2

设0

为方阵

A

的一个k

重特征值，对应于0

的线性无关特征向量的最大个数为l

，则

k

l

.定理

5.3

方阵

A

与对角矩阵相似的充要条件是

A

的每个特征值对应的线性无关特征向量的最大个数等于该特征值的重数。定理5

3设

n

阶方

阵

A

的

全

部

不

同

特

征

值1

2

,

, ,

m

，且为i为det(

A

E)

0

的

ri

(i

1,

2

, ,

m)重根，则A

与对角矩阵相似的充要条件是对于每个i，(A

i

E

)X

0

的基础解系含ri

(i

1,2,。,m)个向量例

设A

31

51判断A

能否对角化.解：det(

A

E)

(

4)(

2)A

的特征值为1

4

，2

2

，即A

可对角化。例

设0

1

1 0

A

4

3

0

21判断A

能否对角化.解：det(

A

E)

(

2)(

1)2

，1T

，1T

，2A

的特征值为1

2

，2

3

1.(

A

2E

)

X

0

的基础解系为

X1

0

0(

A

E

)

X

0

的基础解系为

X

2

1即A

不可对角化。例

设4

3

2

2A

2

2

2

42

，判断A

能否对角化.解：

det(

A

E

)

(

2)2

(

5)

，A

的特征值为1

2

2

，

3

5

，(

A

2E)

X

0

的基础解系为X1

210T

，

X

2201T

，(A

5E)X

0

的基础解系为X

3

1A

可对角化，令P

X1

,X

2

,X

3

，有P1

AP

diag

(2

,

2

,

5)2

2T

，第三节

实对称矩阵的对角化—

向量内积定

义

5.4R

n

(a1

,

a2

, ,

aTn)设 中

向

量，1

2

n)，称ni

1T

(b

,b

,

,

bT

a

b

i

i

为

与

的内积，记为

,

，且把定义了内积的向量空间称为内积空间。内积性质：(1)(2)(

,

)

(

,

)

；(

,

)

(

,

)

(

,

)

，

R(

,

)

(

,

)

(

,

)

；；(3)(4)(

,

)

0

，当且仅当

0

时(

,

)

0n定义

5.5

设

R

中向量T1

2n

(a

,

a

, ,

a)，定义

的长度为(

,

)，记为，即a2

a21

a2

2n

(

,

)

T

向量长度的性质：(1)

0

，当且仅当

0

时

0

；(2)(3)k

k

，

k

R

；；(4)(

,

)

注意：长度为1

的向量称为单位向量，若

R

n

，

0

，1

则

为单位向量，并称其为

的单位化向量。定义

5.6

设

,

R

n

，且

0

，

0

，定义

与的夹角为

arccos

,

，

(0

)记为

,，即有cos

,

,

二正交向量组定义5.7设

,

R

n

，若(

,

)

0

，则称

与

正交。注意：n

维零向量与任意n

维向量正交。定义5.8R

n中一组两两正交的非零向量称为正交向量组。定理5.4正交向量组线性无关。,

m，并设方程

kmm

0证：设正交向量组1,2

,k11

k22

则有(i

,

k11

k22

kmm

)

(

i

,

0)

，

(i

1,

2, ,

m)即k1(

i

,

1

)

k2

(

i

,

2

)

ki(

i

,

i

)

km

(

i

,

m

)

0因为(i

,

j

)

0

(i

j)，所以ki(i

,

i

)

0

，又由

i

0

知(i

,

i

)

0

，所以只有ki

0

(i

1,

2

, ,

m)

，即1

,2,

,m线性无关。正交基

正交向量组组成的基单位正交基

正交基中每个向量都是单位向量例如

R

n

的基本单位向量组1T0)，2e

(1,0

,

,

e

(

0

,

1

,

,T0)，…，,1)Tne

(0,

0,满足i

je

,

e

01i

ji

j，

(i

,

j

1,

2

,

,n)即e1

,e2

,,en

是R

n

的单位正交基。问题：（1）如何由

r

维内积空间V

(

R

n

的子空间)

的一组基1

,

2

,,

r

构造的单位正交基？V（2）如何把R

n

的正交向量组扩充为R

n

的正交基？定理5.5(设1

,

2

,正交化方法),

r

是r

维内积空间V

的一组基，令1

1

，

221

1

,

1

,

2

1

，…，

11

1

,

,

r

1

r

1

1

,

r

r

1

,

r

r

rr

1则1

,2

,V,r

是的一组正交基。单位化：若

1

,

2

, ,

是

V

的一组正交基，

令

i1i

r(i

1,

2

, ,

r)

，则1

,2

, ,

r是Vi

，的一组单位正交基。定理

5.5(正交化方法)证明：因为

11

i

,

,

,

i1

i1

i1

,

i

i

i

1

1所以i

是1

,

2

,则i1(i

1,

2

,

,r),

i

的线性组合，则i

V

，且i

0

，否由1i1

,

,

1

i

i1

i1

1

i1

i1

0i

,

,

知1

,

2

,

,

i

线性相关，与1

,

2

,,

r

线性无关

.再用数学归纳法证明

1

,

2

, ,

r

两两正交.当

r

2

时，(1

,2

)

0

，结论成立.设r

m

时结论也成立，即1

,

2

,,m

两两正交，则当r

m

1时，由kk

k

,

k

,

m1

m1m

m1

k

1得

mkik

k

,

,

k

,

m1

m1

ik

1

,

,

m1

i

m1

,

i

i

,

m1

0(i

1,

2

,

,m),

m

都正交，所以

1

,

2

, ,

m

,

m

1

两两即m

1

与1

,2

,正交，由归纳法原理，对任意正整数

r，

1

,

2

, ,

r

两两正交.因此

1

,

2

, ,

r

线性无关，又因为V

是

r

维内积空间，1

,

2

,所V

以,r

是的一组正交基。x1

2x2

x3

x4

0例

求齐次线性方程组

x

x

x

0

1

2

3的解空间W

的一组正交基，并把它扩充为R

4

的一组单位正交基.解：该齐次线性方程组的一个基础解系：1

10

1 0T

，

121

01T

，即为W

的一组基，令：1

1，1

21

1

,

,

2

2

1121T1

1

2

，则1

,2

是W

的一组正交基。41

2

34T设

x

x

x

x

R1，，使

2

,

0

,

0，即x1

x3

01

2

3

41

x

x

1

x

x

02

2其一个基础解系为

1

11T

，令1

11

22

2

，11

11

1 0T

，

0

1

0213

,

,

123T

1

3，则1

,2

,1

,2

是R

4

的一组正交基，令1

1

，21

1

31

2

11

2

，

1

，4221

则1

,

2

,3

,

4

是R

4

的一组单位正交基。三正交矩阵及其性质若n

阶实矩阵A

满足AT

A

E

，则称A

为正交定义5.9矩阵。A

为正交矩阵

AT

A

E

A1

AT定理

5.6（正交矩阵的构造）

n

阶实矩阵

A

为正交矩阵的充要条件是A

的列（行）向量组是R

n

的单位正交基。定理5.6

证明（以列为例）：设A

12n

，则T1

11

22

12

2TTTTT

T

1

1

n

2

2

n

T

n

T

n n

T

n

n

1n

2

1

2A

A

T

T

TTi j

n

n

(

)又E

(

)i

jn

n

，其中i

j

0i

ji

j

，1(i

,

j

1,

2

,

,n)，则A为正交矩阵T

A

A

E

T(

)

(

)i j

n

n i

j

n

n

0

i

jTi

ji

j

(

,

)

i

j1

i

j，(i

,

j

1,

2

,

,n)

1

,

2

,,

n

是R

n

的单位正交基。正交矩阵的性质1若A

为正交矩阵，则A1

也为正交矩阵；若A

、B为同阶的正交矩阵，则AB也为正交矩阵；若

A

为正交矩阵，则det

A

1

.23证：（1）

(A1

)1

(AT

)1

A1

T

，A1

为正交矩阵；（2）

(AB)T

(AB)

BT

AT

AB

BT

B

E

，AB

为正交矩阵；（3）1

det

E

det

AT

A

det

AT

det

A

det

A2

，det

A

1定义

5.10

设T

为

n

阶正交矩阵，

X

、Y

为

R

n

上的列向量，则称变换Y

TX

为R

n

上的正交变换。定理5.7（正交矩阵的保形性）设正交变换Y

TX

，若Y1

TX1

，Y2

TX

2

，则有(1)(2)(3)Y1

,

Y2

X1

,

X

2

；Y

XY1

,

Y2

X1

,

X

2

1

2证：(1)

Y

,Y

TX12

121TT

T,

TX

TXTX

X

T

TX1

2

X

T

X

X1

,

X

2

定理5.8（矩阵的QR分解）设A

为n

阶满秩矩阵，则存在

n

阶正交矩阵Q

和n

阶上三角矩阵R

，使A

QR

.注意：矩阵的QR

分解也可推广到降秩矩阵.四实对称矩阵的对角化定理5.9实对称矩阵的特征值都是实数。证：设A

为n

阶实对称矩阵，AX

X

，X

0

，

为

的共轭复数，X

为X

的共轭复向量，A

为A

的共轭复矩阵，则X

T

AX

X

T

X

X

T

XX

T

AX

X

T

AT

X

AX

T

X

AXT

X

X

T

X

X

T

XT(

)

X

X即

，因为1

0

X

x2nT

0

，所以x

x2nnX

T

X

xnT

x

i

i

ii1

i1

x

x

01x

x

n

1x22xx因此

0，

，即

为实数。实对称矩阵的不同特征值所对应的实的特征定理5.10向量正交。证：设A

为实对称矩阵，AX1

1

X1

，AX2

2

X

2

，1

2

，X1

0

，X

2

0

，则

2

122

1

21

2

2

1

212TT

X

,

X

X

X

X

X

X

T

AX

X

T

AT

X1

2

1

1

2TX

X

T

X

AX

1