数轴上的动点问题

数轴上的动点问题数轴上的动点问题数轴上的动点问题数轴上的动点问题编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。【题1】甲乙两地相距200米，小明从甲地步行到乙地，用时3分钟，小明的平均速度为多少米每秒【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地 乙地【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。20018010（米/秒）9【解法二】x米/秒200180xx10。9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。2】A、BA表示的数为0B200PA出发，以1ABBt。tP运动的距离；tP表示的数；tPB的距离。PAB的三等分点【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无根据路程=速度×时间，有：APt；APt，故点P表示的数为t；点B表示的数为200，点P表示的数为t，且PBPB200t。若P为AB的三等分点，有两种情况：①AP=2PBt2200t，解得t400秒；3②2AP=PB2t200t，解得t200秒；3现在，我们将【题2】一般化，线段AB一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：3AAaB表示的数为bAB200PA出发，以1ABBt。aB；atP表示的数；tPB的距离。【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。ba200b200a；由路程=速度×时间得，APt，即A、P两点间的距离为t；同（1）Pat。BPBPbata200at200t。AB的长度固定，点P到B的距离跟A、B表示的数无关。接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看4。4】A、BA表示的数为0B200PA出发，以1ABBQB2BAAt。P、Q40t；t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。在运动的过程中，点P和点Q的位置有三种情况：P在Q的右边，P和Q重合，P在Q的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q到A后，Q停止，但P继续往B①P、Q都在运动时，0秒t100秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，故P、Q两点间的距离为2002tt。根据题意有：2002tt40。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。②Q停止运动，P继续运动，此时PQ距离＞100，故不符合题意。①PQPQ的左边，此时有数Q＞数P0秒t200秒，此时：3PQ2002tt2003t②PQQPPQ200秒t100秒3PQt2002t3t200③Q停止运动，P继续向B运动直至停止，数Q为0，数P＞数Q，100秒＜t200秒，此时：PQt0t【提炼】第（1）问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看5】和6。其处理的核心，依然是表示出相关的数。5】A、BA表示的数为0B200PA出发，以1ABBQB2BAAt。PAQt；QBPt。【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t的代数式表示出数Q、数P，利用两点间距离公式解题。P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，若PAQAP=PQt2002tt，解得：t50秒；P表示的数为tQ2002tQBP2002tt2t，t40秒。6】A、B两点对应的数分别是-24，PA、B、P1个单位每秒、4个单位每秒、2A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。【分析】按理说有三种情况，A为P、B中点，B为A、P中点，P为A、B中点，但结合条件，发现A不可能为P、B中点，故此种情况可以舍去。设运动时间为t，则运动过程中，点A表示的数为t-2，点P表示的数为4t，点B表示的数为4+2t。①B为A、P中点，有AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10秒；②P为A、B中点，有AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=秒；接着，我们进一步加深难度，将动线段的等分点放进来，主动点带从动点，看处理是否发生变化呢请看7。7A表示的数是BQB右侧一点，QAM，QB的四（N靠近点QQ在B①1M3BN②M2BN2 4 3的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你判断正确的结论，并求出其值。QBQ=m即可。则点Q表示的数就可以用含m设BQ=m，则点Q表示的数为m+1，AQ=m+1+3=m+4,QM1AQm2；BN3BQ3m，2 2 4 4将QM、BN代入上面两个式子即可：①1QM3BN1m2m1，值与m有关； 2 4 22 4②QM2BNm223m2，值与m无关；3 2 3 4【解后反思】QM2BNm223m2的值与BQ的长度没有关系，只与AB的长度有关系，故3 2 3 4可以将数A、数B推广到任意数，便得到了一般化的情况。【思考】线段（直线、射线）上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗最后，放几个题结束本文。1】A、B两点对应的有理数分别为-812PO1个单位长度QO2时间为t秒。P、Q分别表示的数；当t3PQ的值；tAP=BQt值；若不存在，说明理由。2】A、BCDA、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12；线CD1个单位的速度移动，移动时间为t秒。当t0秒时，AC的长度为 ；当t2秒时，AC的长度为 ；用含有t的代数式表示AC的长为 ．当t秒时，AC－BD=5，当t秒时AC+BD=15．若点ACDA2AC=2BDt的值；若不存在，请说明理由．【题3】如图，E为线段AC上靠近点A的三等分点，B、D为线段EC上的两点，且满足CD=2BD。DE=6cmAB的长；ACDC14倍，求DC