保险精算模型寿险精算 熊福生课件

第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存1定义意义：新生儿在

岁之前死亡的概率。与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：寿命与生存分布定义寿命与生存分布2定义意义：新生儿能活到

岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：寿命与生存分布定义寿命与生存分布3定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)，T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿命T(0)=X。T的分布函数

：寿命与生存分布定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称4寿命与生存分布寿命与生存分布5寿命与生存分布剩余寿命的生存函数：特别：寿命与生存分布剩余寿命的生存函数：6寿命与生存分布：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率寿命与生存分布：x岁的人至少能活到x+1岁的概率7寿命与生存分布定义：未来存活的完整年数，简记整数余命K的概率函数寿命与生存分布定义：未来存活的完整年数，简记8寿命与生存分布平均余命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差寿命与生存分布平均余命：剩余寿命的期望值(均值),简9寿命与生存分布期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差寿命与生存分布期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值10第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存11生命表至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。使用参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。生命表至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。12生命表生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表生命表的定义13生命表原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：生命表原理14生命表个新生生命能生存到年龄X的期望个数：

个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作生命表个新生生命能生存到年龄X的期望个数：15生命表个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：特别：n=1时，记作个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：生命表个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：16

：在死亡的人数。：x岁的人在死亡的概率。

：是一个

的存活函数生命表：在17生命表:x岁人群的未来累积生存年数分别表示未来寿命和未来整值寿命的平均值,是未来存活年龄的平均值,表示未来平均存活时间.生命表:x岁人群的未来累积生存年数18生命表运用生命表基本函数,可以定义和表述寿险精算中常用的死亡概率.以

表示x岁的人在之间死亡的概率生命表运用生命表基本函数,可以定义和表述寿险精算中常用的死亡19生命表已知计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。生命表已知20生命表生命表21生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用生命表选择-终极生命表构造的原因22生命表生命表23生命表生命表24第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存25死亡力定义：在

时刻一瞬间的死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系死亡力定义：在时刻一瞬间的死亡率，简记26死亡力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数死亡力死亡效力与密度函数的关系27死亡力显然由死亡力定义公式,有:死亡力显然28死亡力DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)死亡力DeMoivre模型(1729)29死亡力Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)死亡力30死亡力至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这几个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。死亡力至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这几个常用模31第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存32有关分数年龄的假设

使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balolucci假定(调和插值)有关分数年龄的假设使用背景:33三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)三种假定均匀分布假定(线性插值)34三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数35例2.2：已知

分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：例2.2：已知36例2.2答案例2.2答案37例2.2答案例2.2答案38例2.2答案例2.2答案39第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存40定义意义：新生儿在

岁之前死亡的概率。与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：寿命与生存分布定义寿命与生存分布41定义意义：新生儿能活到

岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：寿命与生存分布定义寿命与生存分布42定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)，T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿命T(0)=X。T的分布函数

：寿命与生存分布定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称43寿命与生存分布寿命与生存分布44寿命与生存分布剩余寿命的生存函数：特别：寿命与生存分布剩余寿命的生存函数：45寿命与生存分布：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率寿命与生存分布：x岁的人至少能活到x+1岁的概率46寿命与生存分布定义：未来存活的完整年数，简记整数余命K的概率函数寿命与生存分布定义：未来存活的完整年数，简记47寿命与生存分布平均余命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差寿命与生存分布平均余命：剩余寿命的期望值(均值),简48寿命与生存分布期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差寿命与生存分布期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值49第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存50生命表至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。使用参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。生命表至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。51生命表生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表生命表的定义52生命表原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：生命表原理53生命表个新生生命能生存到年龄X的期望个数：

个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作生命表个新生生命能生存到年龄X的期望个数：54生命表个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：特别：n=1时，记作个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：生命表个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：55

：在死亡的人数。：x岁的人在死亡的概率。

：是一个

的存活函数生命表：在56生命表:x岁人群的未来累积生存年数分别表示未来寿命和未来整值寿命的平均值,是未来存活年龄的平均值,表示未来平均存活时间.生命表:x岁人群的未来累积生存年数57生命表运用生命表基本函数,可以定义和表述寿险精算中常用的死亡概率.以

表示x岁的人在之间死亡的概率生命表运用生命表基本函数,可以定义和表述寿险精算中常用的死亡58生命表已知计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。生命表已知59生命表生命表60生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用生命表选择-终极生命表构造的原因61生命表生命表62生命表生命表63第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存分布理论基础第一章寿命与生存分布生命表死亡力非整数年龄的生存分布假设生存64死亡力定义：在

时刻一瞬间的死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系死亡力定义：在时刻一瞬间的死亡率，简记65死亡力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数死亡力死亡效力与密度函数的关系66死亡力显然由死亡力定义公式,有:死亡力显然67死亡力DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)死亡力DeMoivre模型(1729)68死亡力Makeham模型(1860)Weibu