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《复变函数》作业1、判断下列函数的可微性与解析性a. f(z)x2y2; b.f(z)x2iy22f(z)ax2by2xyi在原点解析，求实常数a。3f(z)在区域D上解析，求证：若f(z)在D上满足下列条件之一，则f(z)a.f(z)b.Ref(z)常数，或者Imf(z)常数；c.f(z)常数4、将下列函数写成abi形式sini b. i 3)5、求证方程tanzi无解。6、证明函数f(z)ex(xcosyysinyiexycosyxsiny)在复平面上解析，并求fz)。7f(z)z2z3z1域上单叶解析，求的范围。f(z)esin(z2z)8、证明函数 在C上无处解析。3z)z293z)z2

能分出三个单值解析分支，在去掉支割线后，求出点z2取负值的那个分支在zi的值。10、求一共形映射ww(z)，将复平面挖去负实轴的区域映射至1，并满足w(1)0,w(1)0。、求积分1

Rez2dz，积分路径为上半单位圆周。、下列积分中，哪些可直接应用柯西积分定理。zdzzzdz1） dz 2）zz25z5

z11 logzdz tanzdz3） z4） z13、用柯西积分公式或导数公式计算下列积分值。ee dz1）

zz(z

dz 2）

z2

(2z1)z2

f(z)zR(za)(z14设f(z)在复平面上解析C,aR,bRzR(za)(z由此证明刘维尔定理。15、求积分

1icoszdz的值。0 16Dzargz/2D圆弧边界上取一点Z1D内的有向曲线CO与Z1,求证Re

dz 17、求证cznn

c1z2 4nczn1的相同的收敛半径。n1 32 4318、用幂级数逐项求导法，求证 1 (z (zz3 2 2

z1119、设za是f(z)的m级零点，则它必定是f(z)的m-1级零点。20zaf(zng(zm级零点，试问下列函数在点za处的性质 1）f(z)g(z), 2）f(z)g(z)。21zaf(zng(z的mnm，求证lim

f(z)

f(m)(a)eiz22、用唯一性定理证明

coszisinz

zag(z) g(m)(a)23、将下列函数在指定圆环内展开成罗朗级数111）z(z2

0zzi1

e1z

前四项1 24、求下列函数的所有奇点，并指出其类: f(z) 1 25、函数f(z)

11在原点附近能否展成罗朗级数？

sinz ez1sin z26、设整函数f(z) n0

cznn

，若在X轴上，f(x)取实数，求证c

全是实数。n27、求证：在扩充复平面上除了有限个极点外均解析的函数必为有理函数。28、求下列函数在指定点的残数。1） z ,zz 2)

sinaz

(0,0),z0(z1)(zz2sinctg3）z3

，zk,k为整数29、求下列积分

cos11）z2

ezt1z2dz

2）

z2

z dzz2z2)

3）z1

dzz3(z2)30z

(n

1f(zz

f(z

)0

f(z),z

)f(z)n31f(z)

2sinz1z

n nC:z4求cargf(z

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