微积分12微分方程课件

微积分理论冯国臣2022/11/17解一、问题的提出微积分理论冯国臣2022/11/10解一、问题的提出微积分理论冯国臣2022/11/17解微积分理论冯国臣2022/11/10解微积分理论冯国臣2022/11/17代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微积分理论冯国臣2022/11/10代入条件后知故开始制微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程:例实质:微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏常微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程的阶:微分微积分理论冯国臣2022/11/17分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微积分理论冯国臣2022/11/10分类3:线性与非线微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程的解:微分方微积分理论冯国臣2022/11/17(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:

积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.微积分理论冯国臣2022/11/10(2)特解:确定微积分理论冯国臣2022/11/17过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.微积分理论冯国臣2022/11/10过定点的积分曲线;一微积分理论冯国臣2022/11/17解微积分理论冯国臣2022/11/10解微积分理论冯国臣2022/11/17所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)微积分理论冯国臣2022/11/10所求特解为补充:微分微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程;微分方程的微积分理论冯国臣2022/11/17思考题微积分理论冯国臣2022/11/10思考题微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答中不含任意微积分理论冯国臣2022/11/17一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法微积分理论冯国臣2022/11/10一、可分离变量的微分微积分理论冯国臣2022/11/17例1

求解微分方程解分离变量两端积分二、典型例题微积分理论冯国臣2022/11/10例1求解微分方微积分理论冯国臣2022/11/17通解为解微积分理论冯国臣2022/11/10通解为解微积分理论冯国臣2022/11/17解由题设条件衰变规律微积分理论冯国臣2022/11/10解由题设条件衰变规律微积分理论冯国臣2022/11/17例4

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度微积分理论冯国臣2022/11/10例4微积分理论冯国臣2022/11/17设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:微积分理论冯国臣2022/11/10设在微小的时间间隔水微积分理论冯国臣2022/11/17即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为微积分理论冯国臣2022/11/10即为未知函数的微分方微积分理论冯国臣2022/11/17解例5

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量微积分理论冯国臣2022/11/10解例5微积分理论冯国臣2022/11/17的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到微积分理论冯国臣2022/11/10的通入量的排出量的改微积分理论冯国臣2022/11/17分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.三、小结微积分理论冯国臣2022/11/10分离变量法步骤:1.微积分理论冯国臣2022/11/17思考题求解微分方程微积分理论冯国臣2022/11/10思考题求解微分方程微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答为所求解.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答为所求解.微积分理论冯国臣2022/11/17一、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义微积分理论冯国臣2022/11/10一、齐次方程的微分方微积分理论冯国臣2022/11/17微积分理论冯国臣2022/11/10微积分理论冯国臣2022/11/17例1

求解微分方程微分方程的解为解微积分理论冯国臣2022/11/10例1求解微分微积分理论冯国臣2022/11/17例2

求解微分方程解微积分理论冯国臣2022/11/10例2求解微分微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程的解为微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程的解为微积分理论冯国臣2022/11/17可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义微积分理论冯国臣2022/11/10可化为齐次的方程为齐微积分理论冯国臣2022/11/17有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.微积分理论冯国臣2022/11/10有唯一一组解.得通解微积分理论冯国臣2022/11/17可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.微积分理论冯国臣2022/11/10可分离变量的微分方程微积分理论冯国臣2022/11/17解代入原方程得微积分理论冯国臣2022/11/10解代入原方程得微积分理论冯国臣2022/11/17分离变量法得得原方程的通解方程变为微积分理论冯国臣2022/11/10分离变量法得得原方程微积分理论冯国臣2022/11/17利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为微积分理论冯国臣2022/11/10利用变量代换求微分方微积分理论冯国臣2022/11/17小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程微积分理论冯国臣2022/11/10小结齐次方程齐次方程微积分理论冯国臣2022/11/17思考题方程是否为齐次方程?微积分理论冯国臣2022/11/10思考题方程是否为齐次微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答方程两边同微积分理论冯国臣2022/11/17一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.三、线性方程例如线性的;非线性的.微积分理论冯国臣2022/11/10一阶线性微分方程的标微积分理论冯国臣2022/11/17齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)微积分理论冯国臣2022/11/10齐次方程的通解为1.微积分理论冯国臣2022/11/172.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:微积分理论冯国臣2022/11/102.线性非齐次方程微积分理论冯国臣2022/11/17常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换微积分理论冯国臣2022/11/10常数变易法把齐次方程微积分理论冯国臣2022/11/17积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解微积分理论冯国臣2022/11/10积分得一阶线性非齐次微积分理论冯国臣2022/11/17解例1微积分理论冯国臣2022/11/10解例1微积分理论冯国臣2022/11/17例2

如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程微积分理论冯国臣2022/11/10例2如图所示，微积分理论冯国臣2022/11/17所求曲线为微积分理论冯国臣2022/11/10所求曲线为微积分理论冯国臣2022/11/17伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.微积分理论冯国臣2022/11/10伯努利(Bernou微积分理论冯国臣2022/11/17求出通解后，将代入即得代入上式微积分理论冯国臣2022/11/10求出通解后，将微积分理论冯国臣2022/11/17解例3微积分理论冯国臣2022/11/10解例3微积分理论冯国臣2022/11/17例4

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为微积分理论冯国臣2022/11/10例4用适当的微积分理论冯国臣2022/11/17解分离变量法得所求通解为微积分理论冯国臣2022/11/10解分离变量法得所求通微积分理论冯国臣2022/11/17解代入原式分离变量法得所求通解为另解微积分理论冯国臣2022/11/10解代入原式分离变量法微积分理论冯国臣2022/11/17小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程微积分理论冯国臣2022/11/10小结1.齐次方程2.微积分理论冯国臣2022/11/17思考题求微分方程的通解.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题求微分方程微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答微积分理论冯国臣2022/11/17解一、问题的提出微积分理论冯国臣2022/11/10解一、问题的提出微积分理论冯国臣2022/11/17解微积分理论冯国臣2022/11/10解微积分理论冯国臣2022/11/17代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微积分理论冯国臣2022/11/10代入条件后知故开始制微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程:例实质:微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏常微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程的阶:微分微积分理论冯国臣2022/11/17分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微积分理论冯国臣2022/11/10分类3:线性与非线微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程的解:微分方微积分理论冯国臣2022/11/17(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:

积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.微积分理论冯国臣2022/11/10(2)特解:确定微积分理论冯国臣2022/11/17过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.微积分理论冯国臣2022/11/10过定点的积分曲线;一微积分理论冯国臣2022/11/17解微积分理论冯国臣2022/11/10解微积分理论冯国臣2022/11/17所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)微积分理论冯国臣2022/11/10所求特解为补充:微分微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程;微分方程的微积分理论冯国臣2022/11/17思考题微积分理论冯国臣2022/11/10思考题微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答中不含任意微积分理论冯国臣2022/11/17一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法微积分理论冯国臣2022/11/10一、可分离变量的微分微积分理论冯国臣2022/11/17例1

求解微分方程解分离变量两端积分二、典型例题微积分理论冯国臣2022/11/10例1求解微分方微积分理论冯国臣2022/11/17通解为解微积分理论冯国臣2022/11/10通解为解微积分理论冯国臣2022/11/17解由题设条件衰变规律微积分理论冯国臣2022/11/10解由题设条件衰变规律微积分理论冯国臣2022/11/17例4

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度微积分理论冯国臣2022/11/10例4微积分理论冯国臣2022/11/17设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:微积分理论冯国臣2022/11/10设在微小的时间间隔水微积分理论冯国臣2022/11/17即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为微积分理论冯国臣2022/11/10即为未知函数的微分方微积分理论冯国臣2022/11/17解例5

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量微积分理论冯国臣2022/11/10解例5微积分理论冯国臣2022/11/17的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到微积分理论冯国臣2022/11/10的通入量的排出量的改微积分理论冯国臣2022/11/17分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.三、小结微积分理论冯国臣2022/11/10分离变量法步骤:1.微积分理论冯国臣2022/11/17思考题求解微分方程微积分理论冯国臣2022/11/10思考题求解微分方程微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答为所求解.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答为所求解.微积分理论冯国臣2022/11/17一、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义微积分理论冯国臣2022/11/10一、齐次方程的微分方微积分理论冯国臣2022/11/17微积分理论冯国臣2022/11/10微积分理论冯国臣2022/11/17例1

求解微分方程微分方程的解为解微积分理论冯国臣2022/11/10例1求解微分微积分理论冯国臣2022/11/17例2

求解微分方程解微积分理论冯国臣2022/11/10例2求解微分微积分理论冯国臣2022/11/17微分方程的解为微积分理论冯国臣2022/11/10微分方程的解为微积分理论冯国臣2022/11/17可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义微积分理论冯国臣2022/11/10可化为齐次的方程为齐微积分理论冯国臣2022/11/17有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.微积分理论冯国臣2022/11/10有唯一一组解.得通解微积分理论冯国臣2022/11/17可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.微积分理论冯国臣2022/11/10可分离变量的微分方程微积分理论冯国臣2022/11/17解代入原方程得微积分理论冯国臣2022/11/10解代入原方程得微积分理论冯国臣2022/11/17分离变量法得得原方程的通解方程变为微积分理论冯国臣2022/11/10分离变量法得得原方程微积分理论冯国臣2022/11/17利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为微积分理论冯国臣2022/11/10利用变量代换求微分方微积分理论冯国臣2022/11/17小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程微积分理论冯国臣2022/11/10小结齐次方程齐次方程微积分理论冯国臣2022/11/17思考题方程是否为齐次方程?微积分理论冯国臣2022/11/10思考题方程是否为齐次微积分理论冯国臣2022/11/17思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.微积分理论冯国臣2022/11/10思考题解答方程两边同微积分理论冯国臣2022/11/17一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.三、线性方程例如线性的;非线性的.微积分理论冯国臣2022/11/10一阶线性微分方程的标微积分理论冯国臣2022/11/17齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)微积分理论冯国臣2022/11/10齐次方程的通解为1.微积分理论冯国臣2022/11/172.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:微积分理论冯国臣2022/11/102.线性非齐次方程微积分理论冯国臣2022/11/17常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换微积分理论冯国臣2022/11/10常数变易法把齐次方程微积分理论冯国臣2022/11/17积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解微