参数方程圆锥曲线的参数方程课件

椭圆的参数方程第1页/共59页椭圆的参数方程第1页/共59页1复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？第2页/共59页复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.2M如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:y＝NM＝x＝ON＝

这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为|OA|cosθ＝acosθ，|OB|sinθ＝bsinθ第3页/共59页M如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两3φOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:

x2+y2=r2θ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称为点M的离心角第4页/共59页φOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何4小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：——离心角一般地：

在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b第5页/共59页小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：——离心角一般地：5练习把下列普通方程化为参数方程.

(1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程第6页/共59页练习把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)(36

练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是

.解：把代入椭圆参数方程可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:第7页/共59页练习O是坐标原点，P是椭圆7xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.第8页/共59页xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐8

例1、如图，在椭圆上求一点M，(1)使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.第9页/共59页例1、如图，在椭圆9yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX

例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。第10页/共59页yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例10双曲线的参数方程第11页/共59页双曲线的参数方程第11页/共59页11AB'BOyxM

A'以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。研究双曲线的参数方程第12页/共59页AB'BOyxMA'以原点O为圆心,a,b(a>0,12

AB'BOyxM

A'第13页/共59页AB'BOyxMA'第13页/共59页13•baoxy)MBA事实上第14页/共59页•baoxy)MBA事实上第14页/共59页14(t是参数,t>0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4第15页/共59页(t是参数,t>0)化为普通方程,画出方程的曲线.表15第16页/共59页第16页/共59页16不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为

则直线MA的方程为

解得点A的横坐标为

平行四边形MAOB的面积为由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关第17页/共59页不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为则直线MA的方程为解17说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第18页/共59页说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心18例3第19页/共59页例3第19页/共59页19

例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO证明：设双曲线方程为取顶点A2(a,0),弦AB∥Ox，∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角．第20页/共59页例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶20MOyx·B·A

例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：，解：设A，B坐标分别为则中点为M于是线段AB中垂线方程为将代入上式,∴(∵A，B相异)，第21页/共59页MOyx·B·A例5已知双曲线，21

例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。第22页/共59页例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线22MFOYXA前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。第23页/共59页MFOYXA前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程23

设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α

显然，当α在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程.因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得由方程(α为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.第24页/共59页设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一24如果令则有（t为参数）(α为参数)

当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当时，（t为参数）

就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．第25页/共59页如果令则有（t为参数）(α为参数)当t=0时25C练习第26页/共59页C练习第26页/共59页26

例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．第27页/共59页例1如图，O为原点，A,B为抛物线27当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？第28页/共59页当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？第2828第29页/共59页第29页/共59页29

练习已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1∩C2≠φ，求m的取值范围。代入得cos2φ+4cosφ+2m-1=0所以t2+4t+2m-1=0在[-1,1]内有解；第30页/共59页练习已知椭圆C1:303已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D,E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.练习第31页/共59页3已知A,B,C是抛物314经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk)第32页/共59页4经过抛物线y2=2px(p>0)的顶325已知椭圆上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|·|OQ|为定值。第33页/共59页5已知椭圆33

练习对于一切实数，若直线与曲线恒有公共点，则m的范围是：ABCD直线恒过点当直线与曲线恒有公共点时，必满足第34页/共59页练习对于一切实数，若A34抛物线的参数方程第35页/共59页抛物线的参数方程第35页/共59页35直线的参数方程第36页/共59页直线的参数方程第36页/共59页36请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜式:一般式:温故知新第37页/共59页请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜37问题情景第38页/共59页问题情景第38页/共59页38M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点M(x，y)，则xOy第39页/共59页M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点M(x，y39探究思考|t|=|M0M|M0M所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义，要牢记xOy第40页/共59页探究思考|t|=|M0M|M0M所以，直线参数方40分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解；2.分别如何解.ABM(-1，2)xyO第41页/共59页分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去41解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.M(-1，2)ABxOy第42页/共59页解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在42M(-1，2)ABxOy第43页/共59页M(-1，2)ABxOy第43页/共59页43探究思考第44页/共59页探究思考第44页/共59页44B第45页/共59页B第45页/共59页45B第46页/共59页B第46页/共59页465.动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.第47页/共59页5.动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别是47第48页/共59页第48页/共59页48第49页/共59页第49页/共59页49辨析:例:动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向分速度分别为9，12，运动开始时，点M位于A(1，1)，求点M的轨迹的参数方程.请思考:此时的t有没有明确的几何意义?没有第50页/共59页辨析:例:动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方50重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:第51页/共59页重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:第51页/共5951第52页/共59页第52页/共59页52第53页/共59页第53页/共59页53第54页/共59页第54页/共59页54例3当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?PMOyx第55页/共59页例3当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并55第56页/共59页第56页/共59页56思考：

在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？第57页/共59页思考：

在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？第557小结:1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义，简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.探究:直线的参数方程形式是不是唯一的|t|=|M0M|第58页/共59页小结:1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t58感谢您的欣赏第59页/共59页感谢您的欣赏第59页/共59页59椭圆的参数方程第1页/共59页椭圆的参数方程第1页/共59页60复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？第2页/共59页复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.61M如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:y＝NM＝x＝ON＝

这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为|OA|cosθ＝acosθ，|OB|sinθ＝bsinθ第3页/共59页M如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两62φOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:

x2+y2=r2θ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称为点M的离心角第4页/共59页φOAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数φ的几何63小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：——离心角一般地：

在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b第5页/共59页小结椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：——离心角一般地：64练习把下列普通方程化为参数方程.

(1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程第6页/共59页练习把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)(365

练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是

.解：把代入椭圆参数方程可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:第7页/共59页练习O是坐标原点，P是椭圆66xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.第8页/共59页xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐67

例1、如图，在椭圆上求一点M，(1)使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.第9页/共59页例1、如图，在椭圆68yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX

例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。第10页/共59页yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例69双曲线的参数方程第11页/共59页双曲线的参数方程第11页/共59页70AB'BOyxM

A'以原点O为圆心,a,b(a>0,b>0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。研究双曲线的参数方程第12页/共59页AB'BOyxMA'以原点O为圆心,a,b(a>0,71

AB'BOyxM

A'第13页/共59页AB'BOyxMA'第13页/共59页72•baoxy)MBA事实上第14页/共59页•baoxy)MBA事实上第14页/共59页73(t是参数,t>0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4第15页/共59页(t是参数,t>0)化为普通方程,画出方程的曲线.表74第16页/共59页第16页/共59页75不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为

则直线MA的方程为

解得点A的横坐标为

平行四边形MAOB的面积为由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关第17页/共59页不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为则直线MA的方程为解76说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第18页/共59页说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心77例3第19页/共59页例3第19页/共59页78

例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO证明：设双曲线方程为取顶点A2(a,0),弦AB∥Ox，∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角．第20页/共59页例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶79MOyx·B·A

例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：，解：设A，B坐标分别为则中点为M于是线段AB中垂线方程为将代入上式,∴(∵A，B相异)，第21页/共59页MOyx·B·A例5已知双曲线，80

例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。第22页/共59页例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线81MFOYXA前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。第23页/共59页MFOYXA前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程82

设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α

显然，当α在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程.因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得由方程(α为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.第24页/共59页设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一83如果令则有（t为参数）(α为参数)

当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当时，（t为参数）

就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．第25页/共59页如果令则有（t为参数）(α为参数)当t=0时84C练习第26页/共59页C练习第26页/共59页85

例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．第27页/共59页例1如图，O为原点，A,B为抛物线86当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？第28页/共59页当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？第2887第29页/共59页第29页/共59页88

练习已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1∩C2≠φ，求m的取值范围。代入得cos2φ+4cosφ+2m-1=0所以t2+4t+2m-1=0在[-1,1]内有解；第30页/共59页练习已知椭圆C1:893已知A,B,C是抛物线y2=2px(p>0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D,E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.练习第31页/共59页3已知A,B,C是抛物904经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk)第32页/共59页4经过抛物线y2=2px(p>0)的顶915已知椭圆上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|·|OQ|为定值。第33页/共59页5已知椭圆92

练习对于一切实数，若直线与曲线恒有公共点，则m的范围是：ABCD直线恒过点当直线与曲线恒有公共点时，必满足第34页/共59页练习对于一切实数，若A93抛物线的参数方程第35页/共59页抛物线的参数方程第35页/共59页94直线的参数方程第36页/共59页直线的参数方程第36页/共59页95请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜式:一般式:温故知新第37页/共59页请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜96问题情景第38页/共59页问题情景第38页/共59页97M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点M(x，y)，则xOy第39页/共59页M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点M(x，y98探究思考|t|=|M0M|M0M所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义，要牢记xOy第40页/共59页探究思考|t|=|M0M|M0M所以，直线参数方99分析:3.点M是否在直线上