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§7.4常系数线性微分方程（二）三、欧拉（Euler）方程1可编辑ppt二阶常系数非齐次线性方程:(1)的通解常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.一、型(1)非齐次(2)齐次2可编辑ppt设非齐方程（1）的特解为：3可编辑ppt综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.4可编辑ppt特别地5可编辑ppt解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例16可编辑ppt解特征方程例2代入方程,得特征根7可编辑ppt利用欧拉公式8可编辑ppt注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.9可编辑ppt解例3原方程的特解原方程通解为10可编辑ppt解例4通解11可编辑ppt解例5原方程通解:12可编辑ppt解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例613可编辑ppt小结:(待定系数法)14可编辑ppt解例10则由牛顿第二定律得15可编辑ppt解此方程得代入上式得16可编辑ppt思考题1写出微分方程的待定特解的形式.17可编辑ppt思考题1解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）18可编辑ppt练习题119可编辑ppt20可编辑ppt练习题1答案21可编辑ppt22可编辑ppt解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.三、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．23可编辑ppt作变量变换将自变量换为24可编辑ppt上述结果可以写为用表示对自变量求导的运算25可编辑ppt将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解，把换为，即得到原方程的解.一般地，例求欧拉方程的通解．解作变量变换26可编辑ppt原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程27可编辑ppt特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为28可编辑ppt例2（04年研究生入学考试题）的通解为

欧拉方程【解】令则代入原方程，整理得通解为29可编辑ppt小结欧拉方程解法思路变系数的线性微分方程常系数的线性微分方程变量

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