四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺穿插滚动练(三)(含答案详析)

穿插转动练(三)内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、推理与证明一、选择题1．设会集A＝{x|x＝3k＋1，k∈N}，B＝{x|x≤7，x∈Q}，则A∩B等于()A．{1,3,5}B．{1,4,7}C．{4,7}D．{3,5}答案B剖析当k＝0时，x＝1；当k＝1时，x＝4；当k＝2时，x＝7，A＝{1,4,7}．应选B.2．函数f(x)＝ax＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－1，最大值与最小值之积为－3，则a的值为48()11A.2B.3C．2D．3答案A剖析ax与logax拥有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处获取，f(1)＋f(2)131＝－4，f(1)·f(2)＝－8，解得a＝2.3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝n(n∈N*)，则a100的值为()A．5050B．5051C．4950D．4951答案D剖析由于a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，，an－an－1＝n－1，以上各式相加得an－a1＝1＋2＋3＋＋(n－1)＝nn－1，2即an＝nn－12＋1，100×99＋1＝4951，应选D.因此a100＝24．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110答案D剖析∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.S10＝10×20＋1×10×9×(－2)＝110.2x≥1，5．实数x，y满足y≤a，a>1，若目标函数z＝x＋y获取最大值4，则实数a的值为()x－y≤0，3A．4B．3C．2D.2答案C剖析画出可行域得直线y＝－x＋z过(a，a)点时获取最大值，即2a＝4，a＝2.6．若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为()πB.πA.－，0，088πD.πC.－，0，044答案A2π2π剖析πf(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，这个函数的最小正周期是ω，令ω＝π，解4ππ得ω＝2，故函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(2x＋4)，把选项代入检验得点－8，0为其一个对称中心．7．已知函数x－1在直线mx＋ny－1＝f(x)＝a＋3(a>0且a≠1)的图象过一个定点P，且点P14()0(m>0，且n>0)上，则m＋n的最小值是A．12B．16C．25D．24答案C14m＋4n4m＋4n4n剖析由题意知，点P(1,4)，因此m＋4n－1＝0，故m＋n＝m＋n＝17＋m＋4m≥25，当且仅当4n4m25.nm＝n，即m＝n时，“＝”成立，因此所求最小值为8．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(5＋x)＝f(5－x)，在[0,5]上只有f(1)＝0，则f(x)在[－2012,2012]上的零点个数为(

)A．804C．806

B．805D．808答案

C剖析f(5＋x)＝f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)是周期为

10的偶函数，且f(9)＝f(1)＝0，f(x)在[0,2010]上有402个零点，f(2011)＝f(1)＝0，故f(x)在[0,2012]上有403个零点，又f(x)是偶函数，故f(x)在[－2012,2012]上共有806个零点．9．已知数列{an}满足a1＝2，且对任意的正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若数列{an}的前3n项和为Sn，则Sn等于()2n－12nA．2－(3)B．2－(3)nn＋122C．2－3n＋1D．2－3n答案D剖析令m＝1，得an＋1＝a1n，即an＋12·aan3}是首项为22×1－2nn＋1332为q＝3的等比数列，于是Sn＝2＝2－3n.1－310．已知g(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)在(－1,0)上有g(x)>0，则f(x)＝a|x－1|A．在(－∞，0)上是递加的B．在(－∞，0)上是递减的C．在(－∞，－1)上是递加的D．在(－∞，－1)上是递减的

2a1＝3，公比()答案C剖析∵x∈(－1,0)，∴x＋1∈(0,1)．由g(x)>0知0<a<1.又y＝|x＋1|在(－∞，－1)上递减，因此f(x)在(－∞，－1)上是递加的，选C.11．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的选项是()答案D剖析y＝x＋a在B，C，D三个选项中对应的a>1，只有选项D的图象正确．12．已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈0，3时，f(x)＝ln(x2－x2＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9答案C33剖析当x∈－2，0时，－x∈0，2，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间33339－2，2上有3个零点(在区间0，2上有2个零点)．依照函数周期性，可得f(x)在2，2上也有3个零点，在9，6上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．2二、填空题13．已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．答案22剖析由于点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，因此有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋2n2m2nm2n2≥2·2＝22＋＝22，当且仅当m＝2n时“＝”成立．14．若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是奇函数，则sinα·cosα＝________.答案251剖析∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，则sinα＝2cosα，tanα＝2，由2，得1＋tanα＝2cosα2122cosα＝5，∴sinα·cosα＝2cosα＝5.15．已知经过计算和考据有以下正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，依照以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．答案若m>0，n>0，则当m＋n＝20时，有m＋n<210剖析观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是若m>0，n>0，则当mn＝20时，有m＋n<210.16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2bsinA，则ABC的面积为________．答案32剖析由题意知，bsinA＝1，又由正弦定理得：bsinA＝2sinB，故解得sinB＝1，因此2△ABC的面积为132acsinB＝2.三、解答题17．设函数f(x)＝cosx＋2π＋2cos2x，x∈R.32(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝3，求的值．(1)f(x)＝cosxcos2π2π解3－sinxsin3＋cosx＋113＝－2cosx－2sinx＋cosx＋1132cosx－2sinx＋15π＝sinx＋6＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．5π(2)由f(B)＝1得sinB＋6＋1＝1，5π即sinB＋6＝0，又因0<B<π，π故B＝6.方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2.方法二由正弦定理bcsinB＝sinC，得π2πsinC＝2，C＝3或3.π当C＝3时，A＝2，从而a＝b2＋c2＝2；2ππ当C＝3时，A＝6，π又B＝6，从而a＝b＝1.故a的值为1或2.7x＋518．已知函数f(x)＝x＋1，数列{an}满足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0.数列{bn}中，b1f(0)且bn＝f(an－1)．1(1)求证：数列an是等差数列；(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn.－1＝1，(1)证明由2an＋1－2an＋an＋1n＝0得1aan＋1an2因此数列1是等差数列．an1＝f(0)＝5，(2)解由于b1－1＋57a＝5，因此－1＋1a7a1－2＝5a1，因此a1＝1，1＝1＋(n－1)×1，因此an＝2.an2n＋17an－2bn＝＝7－(n＋1)＝6－n.annn11－n当n≤6时，Tn＝2(5＋6－n)＝2；n－6当n≥7时，Tn＝15＋2(1＋n－6)n2－11n＋60＝2.n11－n，n≤6，2因此，Tn＝n2－11n＋602，n≥7.19．已知向量m＝(3sinx，1)，n＝(cosx，cos2x)．记f(x)＝m·n.4442π的值；(1)若f(α)＝3，求cos(－α)23(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，若f(A)＝1＋3，试判断△ABC的形状．2xx2x3x1x1xπ1解f(x)＝3sin4cos4＋cos4＝2sin2＋2cos2＋2＝sin(2＋6)＋2.απ13(1)由已知f(α)＝2得sin(2＋6)＋2＝2，αππ2π于是＋＝2kπ＋，k∈Z，即α＝4kπ＋，k∈Z，26232π2π2π∴cos(3－α)＝cos(3－4kπ－3)＝1.(2)依照正弦定理知：(2a－c)cosB＝bcosC?(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC?2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinπA?cosB＝2?B＝3，1＋3∵f(A)＝，2Aπ11＋3Aππ2ππ2π∴sin(2＋6)＋2＝2?2＋6＝3或3?A＝3或π，而0<A<3，π因此A＝3，因此△ABC为等边三角形．20．为保增加、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可供应就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可供应就业岗位32个，增加GDP200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们供应的就业岗位很多于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP最大？解设甲项目投资x(单位：百万元)，乙项目投资y(单位：百万元)，两项目增加的GDP为z＝260x＋200y，依题意，x、y满足x＋y≤30，2x＋4y≤100，24x＋32y≥800，x≥0，y≥0，所确定的平面地域如图中阴影部分，x＋y＝30，x＝10，即A(10,20)．解得2x＋4y＝100，y＝20，x＋y＝30，x＝20，即B(20,10)．解得24x＋32y＝800，y＝10，设z＝0，得y＝－1.3x，将直线y＝－1.3x平移至经过点B(20,10)，即甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元时，两项目增加的GDP最大．21．已知函数f(x)＝－2x＋4，令Sn＝f(12)＋f(3)＋＋f(n－1)＋f(1)．)＋f(nnnn(1)求Sn；na(2)设bn＝(a∈R)且bn<bn＋1对所有正整数n恒成立，求a的取值范围．解(1)方法一由于f(x)＋f(1－x)＝6，n＝f(12n－1，Sn)＋f(n)＋＋f(n)＋f(1)∴2Sn＝f1＋fn－1＋f2＋fn－2＋＋fn－1＋f1＋2f(1)＝6n－2.nnnnnn即Sn＝3n－1.12n－1方法二Sn＝f(n)＋f(n)＋＋f(n)＋f(1)12n－1n＝－2(n＋n＋＋n＋n)＋4n＝3n－1.ann11a(2)由a＋n<，得：a(－)<0(*)，SnSn＋13n－13n＋2显然a≠0.①当a<0时，则1－a，>03n－13n＋2∴由(*)式得an<0.但当n为偶数时，an>0，矛盾，因此a<0不合题意；②当a>0时，由于an>0恒成立，由an(1－a)<0，3n－13n＋2得a>3n＋23，＝1＋3n－13n－1当n＝1时，1＋35取最大值2，3n－15故a>2.5综上所述，a的取值范围为(2，＋∞)．a22．已知函数f(x)＝lnx－x.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；3(2)f(x)在[1，e]上的最小值为2，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上函数y＝x2的图象恒在函数y＝f(x)图象的上方．a解(1)f′(x)＝x＋x2＝x2(x>0)，x＋a当a>0时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递加函数．(2)由f′(x)＝0得x＝－a，①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数．f(x)min＝f(1)＝－a＝3得a＝－322(舍)．②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数．a3e则f(x)min＝f(e)＝1－e＝2得a＝－2(舍)．③当－e<a<－1时，由f′(x)＝0得x0＝－a.当1<x<x0时，f′(x)<0，f(x)在(1，x0)上为减函数；当x0<x<e时，f′(x)