向量在高中数学中的作用

1OO1e1OO1e向量在高中数学教学中的作用作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引.其目的也很明确研究函数空间图形供新的研究手段充分体现它们的工具.但这“工具性有在深刻理解的基础才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块系”.，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强建系，有坐标就行实际应用中生得这些结论不易理解上这些结论只能逐步形成和完善记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板冠李.如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链.那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？（）是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”.1．线线

(])2

的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量题就化归为两个向量的夹两向量所成的角的范围为

]

a,b

a|a||

|a|ab

,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，b

BO

BO

BOb

||b|OOa

BO1

A

BO1

OO

A

(B)Oa1

A

，此时OB可以看作是与方上的单位向量的量积

ab中e)|a|

，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：

ba|b

（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）.1．线面

([0,])

的求法的新认识：|PAsin,PA（其中n为面的一个法向量重新可

O

A

sin以理解为：

|||PA

此OP又可以看作是

在上投影即

与方向的/

2||21122112211221122||2112211221122112单位向量e的数积PA

中e

n|

)

，故

sin

|

（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边.

1．3二角的平面角

([0,

])

的求法的新认识：E

n

n

n

ncoscos=（中12是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理B

解为：

|

|

n|nn|||nn

|

（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边★三大角的统一理解：

||

、

sin

|

、

||

nn|n|n|n||n|

|

、其从上述梳理完全可以看出其本质特征这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数“正弦或余弦的定义生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影即斜边向量与对边或邻方向上的单位向量的数量积理解与掌握这里“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区学习就会水到渠成！（它是空间三大距（点距点距异直线间距离用向量法求解“联系点”空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离考中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距.因对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份教按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离.2．点面求法的新认识：PO|PA|sin

|n||n|

|n||n|

（其中为面的个法向量n

此结论重新可以理解为：

dPA

n|n|

|

在上的投影，即

PA与方上的单位向量

的数量积

O

A

中e

n|n

)

/

22|||n||n22|||n||n2．点线求法的新认识：1）新认识之一：如图若存在有一条与l相的线时可以先求出由这两条相交直线确定的平面的

一个法向量点P到l的距

nd||n

.2）新认识之二：若不存在有一条与l相交直线时，我们可以先取l上一个向量，再利用AO

l

|POPA||

来解，即：OA|

,而数量ＯＢ可以理解为PA

在l上的向量的影，也即为

||PA

n|

|

.2．异面线间距离求法的新认：从这几年的高《纲说明》观们不难发现对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情实上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距.那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！如图所示：若直线l与线l是异面直线，求两异面直线的距.略解：在两直线上分别任取两点、、、C

l1

D，构造三个向量

ACBD

，记与两直AB

D

l2

线的公垂线共线的向量为,则由与D,得,则它们的距离就可以理解为CD在n上投影的绝nd|对值，即：.★三大距离的统一理:nnd|dCD|（点面距（面距

d

n|n

|

（点线距之一OA|

且

||PA

n|

|

（点线距之二其本质特征是个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投