2023学年度教案-基本不等式3

§基本不等式（第二课时）(检测时间：90分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a、b是正实数，给出以下不等式：①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2，其中恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④2．函数y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－1)＋5))(x>1)的最小值为 ()A．－3B．3C．43．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为 ()A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．16 D．不存在4．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，则lgxlgy的最大值是 ()A．4 B．2C．1 D．eq\f(1,4)5．若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为()A．8B．12C6．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是 ()A．eq\f(7,2) B．4C．eq\f(9,2) D．57．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么 ()A．a＋b有最小值2(eq\r(2)＋1)B．a＋b有最大值(eq\r(2)＋1)2C．ab有最大值eq\r(2)＋1D．ab有最小值2(eq\r(2)＋1)8．若xy是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是 ()A．3 B．eq\f(7,2)C．4 D．eq\f(9,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)9．设x>－1，则函数y＝eq\f((x＋5)(x＋2),x＋1)的最小值是________．10．一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(eq\f(v,20))2千米，则这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．11．若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．12．函数y＝loga(x＋3)－1(a>1，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________．三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．（本小题满分10分）已知正常数a、b和正变数x、y，满足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．14．（本小题满分12分）设x，y都是正数，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝3，求2x＋y的最小值．

15．（本小题满分12分）单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S的取值范围是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？四、探究与拓展（本题满分14分）16．求函数的值域。答案1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．A8．C9．910．811．2eq\r(3)12．813．解：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，等号在eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)即eq\f(y,x)＝eq\r(\f(b,a))时成立，∴x＋y的最小值为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.14．eq\f(8,3)15．解：(1)设正面铁栅长xm，侧面长为ym，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.由条件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥2eq\r(4x·9y)＝12eq\r(xy).∴6eq\r(S)＋S≤160，即(eq\r(S))2＋6eq\r(S)－160≤0.∴0<eq\r(S)≤10，∴0<S≤100.故S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100m2时，4x＝9y，且xy解