冀教新版八年级下学期《2 2 .1 平行四边形的性质》同步练习卷

冀教新版八年级下学期《22.1平行四边形的性质》同步练习卷解答题(共50小题).如图，在团4BCO中，E,F分别是CD,A8上的点，且。求证：AE=CF..已知，中，DMLAC,BNLAC,M,N为垂足.求证：DM=BN..如图，在团ABC£>中，A8=3,AD=4,NABC=60°,过BC的中点E作ERLAB,垂足为点F,与OC的延长线相交于点”.(1)求EF的长；(2)求△OEF的面积..如图，在平行四边形ABCO中，BC=6cm,将纸片沿对角线AC对折，NC边与AO边交于点E,此时，△CDE恰为等边三角形.求：(1)AB的长度；(2)请说明4c与8B'的位置关系.并求4c的长度；(3)阴影部分的面积.

B,连接BE并延长交CD的延长线于点F.(1)试说明：AABE咨ADFE；(2)连接CE,当BE平分NABC时，试说明：CEJ_8F..如图，在13ABe。中，对角线4c与8。相交于点O,ZCAB=ZACB.(1)求证：AC1BD；(2)过点。作O凡LA8于点尸，OF交AC于点£EF=3,£0=4,OC=10,求NA8C的度数..如图，在平行四边形ABCO中，E,F为对角线50上的两点，且NBAE=NDCF.求证:BE=DF..如图，在团ABCQ中，AB=(>cm,BC=\\cm,对角线AC,80相交于点O,求△BOC与△40B的周长的差.

B C.平行四边形ABC。中，C£>=8,ZC=60°,点、P为边BC上一动点,连接。尸，作/4OP的平分线交CB的延长线于F.(1)求证：PD=PF；10.在回4BCQ中，NA4O的平分线交直线BC于点E,交直线10.在回4BCQ中，NA4O的平分线交直线BC于点E,交直线0c于点尺(2)若N4BC=120°,FG//CE,FG=CE,分别连结08、DG(如图2),求NBCG的度数.11.已知：如图，在13ABec中，N8C£>的平分线CE交A。于点E,N48C的平分线BG交CE于点凡交4。于点G.AE GQ8乜 十12.如图，平行四边形中，A£LL8c于E,AE GQ8乜 十12.如图，平行四边形中，A£LL8c于E,(1)若NEAF=65°,求NBA。的度数；AFLCD^F.(2)若BG将AO分成3：1的两部分，且40=20,求团4BCC的周长.(2)若AE=3cro,BC=5an,CD=4cm,求AF的长..如图，在12ABec中，E,尸分别在AO,BC上，且AE=C/，连结BE、DF.求证：BE=DF..如图所示，点E,尸是平行四边形ABCC对角线80上的点，BF=DE,求证：AE=CF..(1)如图在平行四边形ABC。中，PQ.MN分别平行。C、40、PQ、MN交于。点,其中S四边形amop=3,S四边彩mbqo=4,S四边形ncqo=10，则△Z)MQ的面积=.⑵已知正数小1满足等=4,等=9,等得,野甘,则…7.如图，平行四边形4BCO中，AC、8。为对角线且相交于点O,BC=8,BC边上的高为4,求阴影部分的面积..在回ABC。中，点。是对角线AC、B。的交点，AC垂直于8C,且A8=10cm,AO=8cm.求：(1)AC的长;与求：(1)AC的长;与CF相等吗？请说明理由..如图，回A8CO中，E是BC的中点，连结AE并延长交DC的延长线于凡试问：AB.如图：平行四边形ABCC中，NABC的平分线交AO于E,/BCO的平分线交4。于F,且AB=3,DE=2,(1)求平行四边形A8C£)的周长.(2)求证：BE1.CF(3)若CF=2,求BE的长.(2)BE//DF.D(2)BE//DF.D <一21.如图，过平行四边形ABCO对角线交点()的直线交AO于E,交BC于F,若A8=5,BC=6,OE=2,求四边形EFCC周长..已知，如图，E,尸是13ABe。的对角线AC上的两点，AE=CF,试说明:(1)AABC^ACDF；oo22.如图，在平行四边形ABC。中，E、尸分别是BC、A3上的点，且AE〃CF,求证：AEAC=4,求回AC=4,求回A8CD的周长及面积..如图，平行四边形ABCO中，E与产分别是AO,BC上一点，在：（S）AE=CF,②BE//DF,③N1=N2,（4）ZA+ZC=180°中，请选择一个适合的条件，证明：BE=DF.（1）（1）你选择的条件是.（只需填写序号）；（2）证明:.我们知道平行四边形的一条对角线把这个平行四边形分成两个全等的三角形.如图，请你用“g”表示这两个全等三角形，并写出图中相等的边和相等的角.DD.如图，在回48CD中，NABC的平分线交AO于点E,交CQ的延长线于点尸,（1）请写出图中的等腰三角形，并证明其中•个三角形是等腰三角形；（2）若E恰好是AO的中点，A8长为4,NABC=60°,求△8CF的面积.

.如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成.△ABC中，A点坐标为(2,3)、8(-2,0)、C(0,-1).(1)AB的长为,NACB的度数为；(2)若以A、B、C及点。为顶点的四边形为平行四边形，试画出其中一个平行四边形,并写出所画平行四边形中。点的坐标..如图，在平行四边形ABCQ中，点、M、N分别在线段D4、BA的延长线上，且BD=BN=DM,连接BM、ON并延长交于点P.(1)求证：ZP=90°ZC；2.如图，在回ABC。中，NAOC的平分线交AB于E,若NAOE=25°,AD=3cm,EB=\cm,求：(1)ZB,NC的度数;(2)回ABC£)的周长.

E.已知：如图，在回4BCQ中，BE、CE分别平分NABC、/BCD,E在AO上，BE=\2cm,CE=5cm.求团ABC3的周长和面积..在团ABC。中，E是A。上一点，AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得NEGB=NEAB,连接AG.(1)如图1,当与AB相交时，若NE4B=60°,求证：EG=AG+BG；(2)如图2,当EF与4B相交时，若NEAB=a(0°<a<90"),请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含a的式子表示);(3)如图3,当E尸与8相交时，且NEAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.图2.如图，平行四边形ABCO中，点£是4。的中点，连接BE并延长交的延长线于点F.(1)求证：△ABE/ADFE；(2)连接CE,当8E平分NABC时，CE与8尸有怎样的位置关系？试说明理由..如图，分别延长团ABC。的边CO,AB至ijE,F,使。E=BF,连接EF,分别交4£>,BC于G,H,连结CG,AH.求证：CG〃A”.

Jh C.如图，在团4BCO中，BO为对角线，EF垂直平分BO分别交40、BC的于点E、F,交BD于点O.(1)试说明：BF=DE；(2)试说明：AABE乌ACDF；(3)如果在E1ABC。中，AB=5,40=10,有两动点P、。分别从B、。两点同时出发，沿△BAE和各边运动一周，即点P自Bm停止，点Q自。一尸一C-£)停止，点P运动的路程是m,点。运动的路程是小当四边形8P。。是平行四边形时，求机与〃满足的数量关系.(画出示意图).如图，已知EL4BCO,4E平分NBAO,交。C于E,。尸_L8C于R交AE于G,且。尸=AD.(1)试说明DE=BC；(2)试问A8与OG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.BFC.如图：SABCD中，ZBCD的平分线CE交边AD于E,ZABC的平分线BG交CE于F,交A。于G,求证：AE=BG..在平行四边形ABC。中，AB=2BC,M是AB的中点，求证：DMLCM..如图，平行四边形ABCD中，CF1BD,且C尸=80,连接A尸，E为A尸中点，连接EB、ED,判断△EBO的形状，并证明你的结论..如图，在团ABCO中，对角线BOLAB,G为8。延长线上一点且ACBG为等边三角形,NBCD、NA8O的角平分线相交于点E,连接CE交BO于点凡连接GE.(1)若CG的长为8,求团A8CO的面积：(2)求证：CE=BE+GE..在团ABC。中，ZA=ZDBC,过点。作。E=QF,且NECF=NABO,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.(1)如图1,若点£在。尸上，EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及NABO与NA/NP满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2)如图2,若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明(1)中的结论.

DD.如图，在回ABC。中，BE交对角线4c于点E,£>F〃BE交AC于点凡(1)写出图中所有的全等三角形(不得添加辅助线)；(2)求证：BE=DF..已知AC是12ABe。的一条对角线，BM_LAC于M,DNLAC于N,求证：(1)△ADN94CBM；(2)连接。8,则08平分A/N.A.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)以AC为对角线画一个平行四边形4BCZX.如图，已知团4BCO的周长为100,对角线AC、8。相交于点O,ZXAOO与△AOB的周长之差为20,求A。，CD的长.

.已知：如图，^ABCD中，点E是A3的中点，延长CE交BA的延长线于点F.猜想AB与AF有什么关系？为什么？.如图所示，在平行四边形A8CD中，AE_LBC于点E,A尸_LCO于点凡NE4尸=45°,且AE+AF=2V2.求平行四边形ABCC的周长.B EC.如图，已知平行四边形A8CO及四边形外一直线/,四个顶点A、B、C、。到直线/的距离分别为a、b、c、d.(1)观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论.(2)现将/向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论..如图，在回ABCC中，E为BC的中点，连接OE.延长OE交A8的延长线于点F.求证：AB=BF.

.如图，四边形ABC。是平行四边形，且AB=10,AD=S,AC±BC,求。4的长及回ABC。的面积..如图，在团A8CD中，AD=6cm,点、P、。分别是边BC、40上的动点，点P以一定的速度沿BC从B向C匀速运动，与此同时点Q以相同的速度沿AO从A向。运动，连接AP、PD、BQ、CQ、AP.BQ交于点、H,PD、CQ交于点/,连接H/.试猜想：在运动的过程中，H/的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出川的长度?冀教新版八年级下学期《22.1平行四边形的性质》2019年同步练习卷参考答案与试题解析—.解答题（共50小题）.如图，在13ABe。中，E,尸分别是CD,AB上的点，且DE=BF.求证,：AE^CF.【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得4B〃C£>,AB=CD,再求出CE=AF,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形AFCE是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证.【解答】证明：四边形ABC。是平行四边形，J.AB//CD,AB=CD,,:DE=BF,；.CD-DE=AB-BF,即CE=AF,...四边形AFCE是平行四边形，：.AE=CF.【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，主要利用了平行四边形的一组对边平行且相等以及有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形..已知，团ABCC中，DMLAC,BNLAC,M,N为垂足.求证：DM=BN.【分析】根据平行四边形的性质，由AAS证明△AOMgACBN,再根据全等三角形的性质即可求解.【解答】证明：'：DM±AC,BNLAC,

:.NAMD=NCNB=90°,•.•在团ABC。中，AD=BCS.AD//BC,:.NDAM=NCBN,在△AOM与△CBN中，rZAMD=ZCNB<NDAH二NCBN,,AD=BC：./\ADMW丛CBN(A4S),：.DM=BN.【点评】本题考查了利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明.3.如图，在回ABCO中，48=3,AD=4,ZABC=60°,过8c的中点E作 垂足为点尸，与OC的延长线相交于点(1)求E尸的长；(2)求△OEF的面积.【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=C£>=3,AO=3C=4,求出BE、BF、EF；(2)根据相似得出CH=1,EH=yf3,根据三角形的面积公式求△£>"/的面积，即可求出答案.【解答】解：(1)•.•四边形4BCO是平行四边形，：.AD=BC=4,AB//CD,AB=CD=3,为8c中点，：.BE=CE=2,"：ZB=60°,EFLAB,NFEB=30°,由勾股定理得：EF=14

(2)'：AB//CD,:.NB=NECH,在△BFE和△C4E中，rZB=ZECH<BE=CE,,ZBEF=ZCEH：.4BFE且ACHE(ASA),：.EF=EH=\f3,CH=BF=\,S^dhf~~DH,FH-4yf3,5adef=—5adwf=2V3.【点评】本题主要考查对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.4.如图，在平行四边形ABCO中，BC=6cm,将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点£,此时，△CDE恰为等边三角形.求：(1)AB的长度；(2)请说明4c与8B'的位置关系.并求AC的长度；(3)阴影部分的面积.5'B C【分析】(1)首先根据等边三角形的性质可得=OC=FC,NO=60°,根据折叠的性质，ZBCA=ZECA,再利用平行四边形的性质证明ND4C=30°,ZACD=90°,利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CC长，进而可得AB的长；(2)由(1)可知，ZACD=90°,由AB〃CO,推出/BAC=NACO=90°,再利用勾股定理求出AC即可；(3)利用三角函数值计算出AC,然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得Smcf=^Saacd，进而可得答案.【解答】解：(1)・・•△(7£)£为等边三角形，/.DE=DC=EC,ZD=ZCED=60°,根据折叠的性质，ZBCA=ZB'CA,四边形ABCD是平行四边形，J.AD//BC,AD=BC=6cm,AB=CD,：.ZEAC=ZBCA,：.ZEAC=ZECA：.EA=EC,：.ZDAC=30°,/.ZACD=90°,CD——AD=3cm,2AB=3cm；(2)结论：ACLBB',理由：由(1)可知，ZACD=90°,•：AB//CD,：.ZBAC=ZACD=90a,.".ACIBB',在RtAABC中，^C=^bc2_ab2=^62_32=373.(3)".'CD=3cm,ZACD=90°,ZDAC=30°,：.AC=3心m,•'•S^ACE=~S/\ACD=~-^-AC*CD=~y.3X3 (cw~).2 4 4 4B'B C【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半.5.如图，在四边形48c。中，AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,点E是40的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F.(I)试说明：LABEqADFE；(2)连接CE,当BE平分N4BC时，试说明：CE±BF.【分析】(1)直接利用全等三角形的判定方法得出答案；(2)直接利用全等三角形的性质得出BE=EF,再结合等腰三角形的性质得出答案.【解答】证明：(1)-：AB//CD,：.ZA=ZFDA,在△4BE和△£>/='£；中'/A=/FDEAE=DE，Zaeb=ZdefAABE^/\DFE(ASA)；'：/\ABE^/\DFE,：.NABE=NF,BE=EF,平分NA8C,:.NABE=NCBE,：.4CBE=NF,又：BE=EF,：.CE±BF.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确把握全等三角形的性质是解题关键..如图，在国ABCO中，对角线AC与8。相交于点。，ZCAB=ZACB.(1)求证：ACVBD-,(2)过点。作。凡LAB于点尺。尸交AC于点E,EF=3,E0=4,OC=10,求/ABC的度数.【分析】(1)由NCAB=NAC8,可得AB=BC,又由四边形ABCD是平行四边形，可得回ABCD是菱形，即可证得结论;(2)由E尸=3,E0=4,0C=10,易得£尸=上4尸，继而求得N8AC的度数，则可求得答2案.【解答】(1)证明："：ZCAB=ZACB,：.AB=BC,：.回ABC。是菱形,：.AC±BD；(2)解：•••四边形A8CC是菱形，：.OA=OC=10,'：EO=4,：.AE^OA-OE=6,,：DFLAB,：.ZAFE=9Q°,:EF=3,:.EF=—AF,2...NB4C=30°,二NBA£)=2NBAC=60°,NABC=180°-ZBAD=120°.【点评】此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及含30。角的直角三角形的性质.注意证得四边形4BCC是菱形是关键..如图，在平行四边形A8C3中，E,尸为对角线BD上的两点，且N8AE=N£)C凡求证:

BE=DF. yC【分析】由在平行四边形4BCC中，ZBAE=ZDCF,易证得AABE//XCDB(ASA),继而证得结论.【解答】证明：•.,在平行四边形ABC。中，AB//DC,AB=CD,；.NABD=NCDB,在AABE和△CDB中，'NBAE=NDCF<AB=CD,ZABD=ZCDB/.AABE^ACDB(ASA),：.BE=DF.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意证得C£)8是关键..如图，在ElABCQ中，AB=6cm,BC=\\cm,对角线AC,8。相交于点O,求△BOC与△AOB的周长的差.B C【分析】根据平行四边形的性质可知，△BOC与△AOB的周长的差=BC-AB,由此即可解决问题.【解答】解：•.•四边形A8CO是平行四边形，：.OA=OC,.♦.△BOC与△AOB的周长的差=8C+OC+OB-CAB+AO+OB)=BC-AB=\\-6=5cm..♦.△8OC与△AOB的周长的差为5cm.

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识，解题的关键是记住这些知识，灵活解决问题，属于中考常考题型..平行四边形ABCZ)中，CD=8,ZC=60°,点尸为边BC上一动点，连接。P,作NAOP的平分线交CB的延长线于F.(1)求证：PD=PF；(2)若 求OF的长.【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD//BC,得出再由角平分线定义证出NF=NPCF,即可得出P£)=PF；(2)由(1)得：PD=PF,由DP1CB,ZC=60°,得出/是等腰直角三角形，ZPCC=30。，得出CP=$X)=4,由勾股定理求出PF=PO=JcD2-Cp2=4,3,得出DF=V2/jD=4V6BP可.【解答】(1)证明：•••四边形ABCC是平行四边形，：.AD//BC,：.ZADF=ZF,,.•OF平分NAOP,:.2ADP=/PDF,:.NF=NPDF,：.PD=PF；(2)解：由(1)得：PD=PF,"."DPLCB,ZC=60",.♦.△尸。尸是等腰直角三角形，NPOC=90°-60°=30°,：.CP^—CD=4,2：.PF=PD=^/CD2_Cp2=4^3-，OF=V^P£）=4找.【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出PO是解决问题（2）的关键..在团ABCC中，的平分线交直线BC于点£,交直线0c于点入(1)在图I中证明CE=CF；(2)若N4BC=120°,FG//CE,FG=CE,分别连结08、DG(如图2),求NBOG的度数.【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD//BC,AB//CD.证出NDA/n/CE/，Z.BAF=NF,得出NCEF=NF,即可得出结论；(2)证出四边形CEG尸是菱形，得出EG=EC,ZGCF=ZGCE=—ZECF=60°.得出2△ECG是等边三角形.得出EG=CG,ZG£C=ZEGC=60",得出NGEC=NGCF,因此/BEG=NOCG,证出AB=BE.BE=DC,由SAS证明△BEGgZXOCG.得出BG=DG,Z1=Z2,求出NBGD,即可得出结果.【解答】(1)证明：：A尸平分NBAO,：.ZBAF=ZDAF,；四边形ABCD是平行四边形，J.AD//BC,AB//CD.:.NDAF=NCEF,NBAF=NF,:.NCEF=NF,；.CE=CF.(2)解：分别连接GB、GE、GC,如图2所示.'：AB//DC,ZABC=120°,：.ZECF=ZABC=120°,♦.•FG〃CE且FG=CE,四边形CEG尸是平行四边形.由(1)得CE=C凡四边形CEG尸是菱形，：.EG=EC,NGCF=NGCE=L/EC尸=60。.2.,.△ECG是等边三角形.：.EG=CG,ZGEC=ZEGC=60°,/.NGEC=NGCF,：.NBEG=NDCG,由AO〃BC及平分NB4。可得NBAE=ZAEB,：.AB=BE.在口48«)中，AB=DC.：.BE=DC,rE3=CG在ABEG和△OCG中，，ZBEG=ZDCG，be=dc:.△BEG^ADCG(SAS).：.BG=DG,NBGE=ZCGD,：.NBGD=NBGE+NDGE=NBGE+NDGE=NEGC=60°：.ZBDG=—(180°-NBGD)=60°.【点评】此题主要考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题(2)的关键..已知：如图，在I24BC。中，NBCD的平分线CE交4。于点E,/ABC的平分线BG交CE于点F,交AO于点G.(1)求证：AE=DG.(2)若BG将4。分成3：1的两部分，且40=20,求13ABec的周长.D【分析】(1)由在平行四边形ABC。中，NBCC的平分线CE交A。于E,N4BC的平分线BG交CE于F,证出△4BG与△£>€1£；是等腰三角形，得出AG=OE,则可证得结论；(2)由BG将A£)分成3：I的两部分，且AO=20,可求得AB的长，继而求得团A8CD的周长.【解答】(1)证明：•••四边形ABCC是平行四边形，；.AB=CD,AD//BC,：.ZAGB=NCBG,NDEC=ABCE,,：NBCD的平分线CE交AD于E,ZABC的平分线BG交CE于F,；.NABG=NCBG,ZDCE=ZBCE,：.ZABG=NAGB,NDCE=NDEC,：.AB=AG,CD=DE,：.AG=DE,：.AD-AG=AO-DE,：.AE=DG.(2)解：:BG将AO分成3：1的两部分，且AO=20,3：.AG=—AD=\5,4：.AB=AG=15,.,.回ABCO的周长为：2(4B+4O)=2X(15+20)=70.【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质.注意证得aASG与△OCE是等腰三角形是关键..如图，平行四边形中，AELBC于£4FLCO于F.(1)若NE4F=65°,求/BAO的度数：(2)若AE=3cm,BC=5cm,CD=4ctn,求A尸的长.

【分析】（1）由垂线的定义和四边形内角和求出/C=1I5°,再由平行四边形的性质得出（2）根据平行四边形的面积为定值计算即可...NB4O=NC=115°即可.【解答】解：（1） 于E,4F_LCZ）于尸,/.ZAEC=ZAFC=90°,VZAEC+ZC+ZEAF+ZAFC=360°,ZE4F=65°,.•.ZC=115",：四边形ABCD是平行四边形,：.ZBAD=^C=\\5°（2）•.•平行四边形的面积=CZ>"=8C・AE,,af=BC^E=5X3=15ACD【点评】本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的面积公式、四边形内角和；熟练掌握平行四边形的性质，熟记平行四边形的面积的计算方法是解决问题（2）的关键..如图，在12ABe。中，E,尸分别在A。，BC上，且AE=C尸，连结BE、DF.求证：BE=DF.BB【分析】根据平行四边形性质得出AO〃BC,AD=BC,求出。E=BF,DE//BF,得出四边形OE8厂是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可.【解答】证明：•.•四边形A8co是平行四边形,J.AD//BC,AD^BC,'：AE=CF,：.DE=BF,DE//BF,...四边形DEBF是平行四边形,：.BE=DF.【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定：熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形OE8F是平行四边形是解决问题的关键..如图所示，点E,F是平行四边形ABCO对角线8。上的点，BF=DE,求证：AE=CF.a n产【分析】根据平行四边形的性质可得A£)〃BC,AD=BC,根据平行线的性质可得NEDA=NFBC,再加上条件EC=B尸可利用SAS判定进而可得AE=CF.【解答】证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，：.AD//BC,AD=BC,；.NEDA=NFBC,在△/1££)和△CFB中，AD=BC<ZADE=ZCBF，,BF=DE：.4AED94CFB(SAS),：.AE=CF.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等.15.(1)如图在平行四边形ABCO中，PQ,MN分别平行。C、AD,PQ、MN交于O点，17其中S四边形a“op=3,S四边;kmbqo=4,S四边形ncqo=10，则△CM。的面积= .(2)已知正数a,b,c,d满足上虫■=%坐&=9,运=工，生邑=5，则a+c-6-dabc4ds=-5.一6一【分析】(1)先根据等高平行四边形的面积比等于底边的比求出平行四边形PON。的面积，然后求出三块空白部分的面积，再利用平行四边形48co的面积减去空白部分的面积即可；(2)首先将已知的4个式子相乘得出abcd=l,进而分别求出a,b,c,d的值即可求出答案.【解答】解：（1）设平行四边形尸ON。的面积为x,则#乎解得：x=7.5,SaMBQ="^"X4=2，SzscDO=±X(7.5+10)=-^-,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 4・・・三角形区域的面积=3+4+10+7.5-4-2-孚=?;4 4 2故答案为：W；2(2)根据题意将四个式子相乘可得：(abed)2=1,又如b,c,d为正数,所以abcd=1,则bcd=—,又bcd=4a,B|1—=4n,a a解得4=当2则acd=9b,cicd=,—ib故9/?——b解得:b=g,同理可求出：c=2,d=3,1 1 R故a+c-方-d=(a+c)-(b+d)=(—*-2)-(—^3)=~.2 3 6故答案为：-与.6【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及分式的混合运算，根据题意正确得出各三角形面积是解题关键.16.如图，平行四边形A8CO中，AC.80为对角线且相交于点。，8C=8,8C边上的高为4,求阴影部分的面积.【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可.【解答】解：由平行四边形的性质可知，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD面积的一半，即J_X8X4=16,因此，阴影部分的面积为：16.【点评】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质.17.在EL4BCC中，点。是对角线AC、8。的交点，AC垂直于BC,且A8=10c7〃，AO=8cv„.求：(1)4c的长；(2)求OB的长.【分析】根据平行四边形的性质得到BC=A£>=8cm,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：在13ABe。中BC=AO=8c〃i,垂直于BC,•\ZACB=90°,,ac=Vab2-bc2=6cm',：OC=—AC=3cm,2【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

18.如图，团ABC。中，£是8c的中点，连结AE并延长交。C的延长线于凡试问：AB与CF相等吗？请说明理由D C【分析】根据平行四边形的性质可得A8〃CC,根据平行线的性质可得NF,然后证明△ABEg△FCE可得AB=CF.【解答】解：AB与C尸相等；•；四边形ABCD是平行四边形，:.AB//CD,：.ZABE=ZF,是BC的中点，：.BE=CE,在△ABE和中，2baf=Nf在△ABE和中，.,.△ABEg△尸C£(ASA),：.AB=CF.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行.19.如图：平行四边形ABCO中，NABC的平分线交AO于E,NBCO的平分线交AD于尸，且AB=3,DE=2,(1)求平行四边形ABC。的周长.(2)求证：BE1CF(3)若CF=2,求BE的长.. £4D【分析】(1)由平行四边形4BCO中，NABC的平分线交4。于E,可得AABE是等腰三角形，即可求得AO的长，继而求得答案：

(2)由平行四边形ABC。中，NABC的平分线交A。于E,NBCO的平分线交AO于尸,易证得NCBE+N8CF=90°,继而证得结论；(3)首先过点E作硒〃CF,交BC的延长线于点N,然后由勾股定理求得BE的长.【解答】(1)解：•••四边形ABCO是平行四边形，J.AD//BC,：.NAEB=NCBE,；BE平分NABC,NABE=NCBE,：.NABE=ZAEB,：.AE=AB=3,：.AD^AE+DE=3+2=5,,平行四边形ABC。的周长为：2(AB+AD)=2X(3+5)=16；(2)证明：设BE与CF交于点M,:四边形ABCD是平行四边形，：.AB//CD,：.ZABC+ZBCD=180°,YBE平分NA8C,CF平分NBCQ,/.ZCBE=~ZABC,NBCF=L/BCD,2 2/.ZCBE+ZBCF=90°,/.ZBMC=90°,即BEJLCF；(3)解：过点、E作EN〃CF,交BC的延长线于点N,'：AD//BC,...四边形EFCN是平行四边形，：.CN=EF,EN=CF=2,"：AB=AE=3,同理：CD=DF=AB=3,：.EF=AE+DF-AD=3+3-5=1,：.CN=\,BN=BC+CN=5+1=6,在中，^=VbN2-EN2=4^2-【点评】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.20.已知，如图，E,F是回ABCO的对角线AC上的两点，AE=CF,试说明：△ABC9XCDF：BE//DF.【分析】(1)可由平行四边形的性质和已知条件证明△ABE丝△(7£)£(2)由(1)得出NAEBn/C"),即NBEC=/OE4,进而可求证OF与BE平行.【解答】证明：(1)•••四边形A8CO是平行四边形，：.AB=CD,AB//CD,:.NBAE=NDCF,JL'：AE=CF,rAB=CD-ZDCF=ZBAE-,AE=CF/. (SAS)；(2)VAABE^ACDF,，NAEB=NCFD,：.ZBEC=ZDFA,：.DF//BE.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，能够运用其性质解决一些简单的证明问题.21.如图，过平行四边形ABCD对角线交点。的直线交AO于E,交BC于F,若AB=5,BC=6,0E=2,求四边形EFC3周长.【分析】根据平行四边形性质得出4O=BC=6,AB=CD=5,OA=OC,AD//BC,推出NEAO=NFCO,证△AE。丝△CFO,推出AE=CF,OE=OF=2,求出QE+CF=£)E+AE=AD=6,即可求出答案.【解答】解：•••四边形48CD是平行四边形，：.AD=BC=6,AB=CD=5,OA=OC,AD//BC,：.ZEAO=ZFCO,在△AE。和△C/。中，rZA0E=ZC0F<OA=OC，,ZEAO=ZFCO.♦.△AEO丝△(7“)(ASA),:.AE=CF,OE=OF=2,：.DE+CF=DE+AE=AD=6,：.四边形EFCD的周长是EF+FC+CD+DE^2+2+6+5=15.【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE+CF的长和求出。尸长..如图，在平行四边形ABCO中，E、F分别是BC、AO上的点，且AE〃CF,求证：AE=CF.. £ D【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明AF=EC,A尸〃EC即可.【解答】证明：•.•四边形A8CO是平行四边形，且E、尸分别是BC、AO上的点，：.AF=EC,又；四边形ABCD是平行四边形，：.AD//BC,BPAF//EC.：.四边形AFCE是平行四边形，：.AE=CF.【点评】本题考查了平行四边形的判断方法，平行四边形可以从边、角、对角线三方面进行判定，在选择判断方法时，要根据题目现有的条件，选择合理的判断方法..如图：在12ABe。中，CA±BA,AB=3,AC=4,求回ABCD的周长及面积.【分析】由平行四边形的性质得出AB=CC,AD=BC,由勾股定理求出8C,即可得出四边形ABCC的周长以及面积.【解答】解："：CALBA,48=3,AC=4,BC=Q32+q2=5,四边形ABCD是平行四边形，：.AD=BC=5,AB=OC=3,...团ABCO的周长为：2X（5+3）=16；回ABC。的面积为：4X3=12.【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出BC是解决问题的关键..如图，平行四边形ABC。中，E与产分别是40,BC上一点,在：（l）AE=CF,②BE//DF,③N1=N2,④NA+NC=180°中，请选择一个适合的条件，证明：BE=DF.（1）你选择的条件是①或②或③）（只需填写序号）；（2）证明：BFC【分析】(1)①或②或③.(2)@AE=CF,根据SAS证明△ABE/△CCF即可.@BE//DF,只要证明四边形BE。/是平行四边形即可.③Nl=N2,根据44s证明△ABE丝ZXC。尸即可【解答】解：(1)①或②或③.(2)理由：®AE=CF,•..四边形A8CO是平行四边形，：.AB=CD,NA=NC,在△ABE和△<?£)/中，AE=CF<NA=/C，,AB=CD/.LABE刍ACDF,：.BE=DF.@BE//DF.,:BE〃DF,DE//BF,四边形BEDF是平行四边形，：.BE=DF.③N1=N2.•••四边形ABCD是平行四边形，：.AB=CD,ZA=ZC,在△ABE和中,Z1=Z2■ZA=ZC)kAf|=CDLABE冬ACDF,：.BE=DF.故答案为①或②或③.

bbrc【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型..我们知道平行四边形的一条对角线把这个平行四边形分成两个全等的三角形.如图，请你用“丝”表示这两个全等三角形，并写出图中相等的边和相等的角.【分析】利用平行四边形的性质得出对角、对边的关系，进而利用全等三角形的判定方法得出即可.【解答】解：•••四边形ABCC是平行四边形，:.AB=CD,AC=AC,BC=AD；ZBAC=ZDCA,ZACB=ZDAC,NB=ND,ZBAD=NBCD.在△ABC和△CD4中，'AB=DC，ZB=ZD>kBC=AD/.(SAS),全等三角形：△ABC四△CD4,相等的边：AB=CD,AC=AC,BC=AD；相等的角：ZBAC=ZDCA,ZACB=ZDAC,NB=ND,NBAD=NBCD.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确应用平行四边形的性质是解题关键..如图，在团ABC。中，NABC的平分线交AO于点E,交8的延长线于点凡(1)请写出图中的等腰三角形，并证明其中一个三角形是等腰三角形；(2)若E恰好是AO的中点，A8长为4,ZABC=60°,求△BCF的面积.B C【分析】（1）由在团ABC。中，NABC的平分线交AO于点E,易证得等腰三角形有：△£/%）、△ABE、ABCF；（2）首先过点4作AHLBC于点H,可求得AH与AD的长，易证得△ABE刍△OFE（AAS）,即可得S^bcf=Ssabcd-【解答】解：（1）等腰三角形有：4EFD、△4BE、/XBCF.理由：•.•四边形ABCO是平行四边形，：.AD//BC,：.ZAEB=ZCBE,尸平分NABC,:.NABE=NCBE,：.ZABE=ZAEB,，A8=AE,即aABE是等腰三角形；（2）过点A作4/TLBC于点H,'：AB=4,/A8c=60°,：.AH=2\p^AO=24E=2AB=8,在团ABC。中，AB//CD,：.ZA=ZADF,NABE=N凡又恰好是AO的中点，：.AE=DE,在△ABE和△OFE中，rZA=ZADF<ZABE=ZF>AE=DE/.AABE^ADFE(AAS),，S&BCF=Szabcd=8x2 16Vs【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.注意掌握辅助线的作法.27.如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成.△ABC中，A点坐标为（2,3）、B（-2,0）、C（0,-1）.（1）AB的长为5,ZACB的度数为90° ；（2）若以A、B、C及点。为顶点的四边形为平行四边形，试画出其中一个平行四边形，并写出所画平行四边形中D点的坐标答案不唯一：如（0,4）或（4,案或（-4,4）（填一个即可）..【分析】（1）由勾股定理即可求得AB,BC,4c的值，然后由勾股定理逆定理，可判定△A8C是直角三角形；（2）首先根据题意画出图形，然后根据图可求得平行四边形中。点的坐标.【解答】解：（1）根据题意得：48=籽彳=5；.,.AB2=25,BC1=\2+?2=5,AC2=22+42=2O,.,.BC2+AC^^AB2,.♦.△ABC是直角三角形，且NACB=90°；（2）如图，D,（0,4）或。2（4,2）或A（-4,4）（填一个即可）.故答案为：（1）5,90°；（2）答案不唯一：如（0,4）或（4,2）或（-4,4）（填一个即可).【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理与逆定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.28.如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段OA、84的延长线上，S.BD=BN=DM,连接BM、ON并延长交于点P.(1)求证：ZP=90°-—ZC；2(2)当NC=90°,ND=NP时,判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明.【分析】(1)首先过点8作B尸，尸。于点凡过点。作OG_L8尸于点G,8尸与力G交于点H,由可得8F与£>G是NOBN、NMOB的平分线，又由四边形内角和为360°,可得NP+N尸〃G=I8O°,继而可得N£)〃B=N/7/G=180°-NP=90°+—2NC,则可证得结论；(2)首先过点P作PSJ_C。于点S,PR上BC于点、R,易证得△PKQgZ\PSD(/US),同理：△PKB咨APRB,然后延长8N交。S于点Q,则。为尸S的中点，设。S=PQ=x,即可求得答案.【解答】(1)证明：过点B作于点F,过点。作OGJ_BP于点G,BF与DG交于点”,.\ZF//G+ZP=180°,：.ZDHB+ZP=\SO°,；.NDHB=180°-ZP,<BD=BN=DM,:.BF与DG是NDBN、NMO8的平分线，二由四边形内角和为360°,可得//>+/尸以7=180°,VZD//B=180°-(NGDB+NFBD)=180°--(180°-ZDAB)=90°--ZDAB,2 2•••四边形ABCD是平行四边形，:.NDAB=NC，:.NDHB=90°--ZG2VZD//B=180°-NP,.•.180°-NP=90°+—ZC,2/.ZP=90°--ZC；2(2)MP：AM=\/5：2.理由：过点P作PS_LC。于点S,PRLBC于点R,当NC=90°时，贝ijNOP8=45°,'：BN//CD,：.4BND=NBDN=NSDN,同理：NPBD=NPBR,作PKLBD于点K,在△2/«>和△PS。中，2S=/PKD=90°<ZPDS=ZPDK，PD=PD：.£\PKD0工PSDCAAS),同理：APKB学APRB,：.PS=PR,，四边形PSCR是正方形，延长BN交QS于点Q,则。为PS的中点,设QS=FQ=x,则PS=CS=RC=2x,RB=KB=x,设SD=m,BD=x+m,贝U(x+/n)2=x2+(2x-m)/n：x=2：3,9 5:・DK=SD=。,BD=—3 32：・AM=DM-AD=BD-AD=-^x,3根据勾股定理得，AB=yjBP2-AD2="^"X，J在Rt^ABM中，BM=VaI2+AB2=：.PB=yf^c,：.PM=x,3：.MP：AM=y/5：2.【点评】此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度很大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.29.如图，在13ABe。中，N4OC的平分线OE交A8于E,若NAOE=25°,AD=3cm,EB=\ctn,求：NB,NC的度数；(2)回ABCO的周长.

【分析】(1)根据角平分线的定义可得N4OC=2NAOE,再根据平行四边形的对角相等N平行四边形的邻角互补可得NC=180°-ZADC：(2)根据角平分线的定义可得NADE=NCE。，再根据两直线平行，内错角相等可得NCDE=ZAED,然后求出NAOE=NAE。，根据等角对等边可得AO=A£再求出A8,然后根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍列式计算即可得解.【解答】解：(1)TOE是NAOC的平分线，AZADC=2ZADE=2X25°=50°,AZB=ZADC=50°,AZC=180°-ZADC=180°-50°=130°；TOE是NAOC的平分线，・・・/ADE=/CED,\'AB//CD,：.ZCDE=ZAED,：.ZADE=ZAEDf.\AD=AE=3cm,；・AB=3+1=4cm,・••团48C。的周长=2(AD+AB)=2X(3+4)=\4cm.【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长的计算，角平分线的定义，熟记各性质是解题的关键.30.己知：如图，在12ABe。中，BE、CE分别平分NABC、NBCD,E在AO上，BE=\2cm,CE=5cm.求见48C£)的周长和面积.【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CCE和直

角三角形BCE.根据直角三角形的勾股定理得到BC=13.根据等腰三角形的性质得到AB-CD-y-AD—^-BC=6.5,从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可2 2以求得平行四边形BC边上的高.【解答】解：:BE、CE分别平分NABC、ZBCD,/.Z1=Z3=—ZABC,NDCE=NBCE=L/BCD2 2\'AD//BC,AB//CDN2=N3,NBCE=NCED,NABC+NBCO=180°.,.Z1=Z2,NDCE=NCED,N3+NBCE=90°：.AB=AE,CD=DE,ZBEC=90°在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=\3根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD,AD=BC•••平行四边形的周长等于：13+13+13=39.作E尸，8C于凡根据直角三角形的面积公式得：后尸=吗笑=丝BC13所以平行四边形的面积=聆X13=60.即平行四边形的周长为39cm,面积为60cm2.B C【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，-一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.31.在回ABCO中，E是A。上一点，AE=AB,过点E作直线£凡在£尸上取一点G,使得NEGB=NEAB,连接AG.(1)如图1,当EF与AB相交时，若/E4B=60°,求证：EG=AG+BG；(2)如图2,当E尸与48相交时，若/E48=a(0°<a<90°),请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含a的式子表示)：(3)如图3,当EF与相交时，且N£48=90°,请你写出线段EG、AG,8G之间的数量关系，并证明你的结论.

图I 图2 图3【分析】(1)首先作/G4”=NE4B交GE于点H,易证得△4BG部△AEA,又由NEAB=60°,可证得△AG”是等边三角形，继而证得结论：(2)首先作NG4〃=NEAB交GE于点H.作AMJ_EG于点M,易证得又由NE48=c(,易得GA/=MH=AG・sin-^-,继而证得结论；(3)首先作NGA〃=NE4B交GE于点〃，易证得△ASGgzME”,继而可得△AG”是等腰直角三角形，则可求得答案.【解答】(1)证明：如图，作NGA”=NE4B交GE于点：・4GAB=/HAE.■:ZEAB=NEGB,ZAPE=/BPG,：.NABG=NAEH.在△ABG和中，rZGAB=ZHAE<Ab=AE，,ZABG=ZAEH:AABG乌/XAEH(ASA).工BG=EH,AG=AH.•・・NGA〃=N£43=60°,・・・△AG”是等边三角形.:・AG=HG.：・EG=AG^BG.(2)如图，作NG4//=NE43交GE于点”.作AM_LEG于点M,:・NGAB=NHAE.,:ZEAB=NEGB,ZAPE=/BPG,：.NABG=NAEH.在△ABG和△AE”中,ZGAB=ZHAE,Af-AE,,ZABG=ZAEH:・4ABGqAAEH(ASA).:・BG=EH,AG=AH.•:/GAH=NEAB=a,:・GM=MH=2gH,ZGAM=Z//AA/=—a,2 2,:GM=M"=AG・sinW-,2:・EG=GH+BG.(3)EG=V2AG-BG.如图，作NGA”=N£48交GE于点儿；・NGAB=NHAE.ZEGB=ZEAB=90°,・・・NABG+NAEG=NAEG+NA£”=1800.:.ZABG=NAEH.・•又A3=A£•・△ABGdAE”.工BG=EH,AG=AH.・・NGA〃=N£43=90°,・・XAGH是等腰直角三角形.：.\2AG=HG.EG=V2AG-BG.

图1【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.32.如图，平行四边形ABCO中，点E是AO的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F.(1)求证：XABE沿(2)连接CE,当BE平分NABC时，CE与8尸有怎样的位置关系？试说明理由.【分析】(1)根据平行线的性质可得再由对顶角相等及中点的性质，可利用A4S进行全等的判定.(2)证明BC=BF,再由(1)的结论得出BE=FE,从而利用等腰三角形三线合一的性质，可得出结论.【解答】(1)证明：•..四边形ABC。是平行四边形,J.AB//CD,：.NABE=NF,YE是AO的中点，：.AE=DE,在△ABE和△CFE中，rZABE=ZF<ZAEB=ZDEFkAE=DE:.4ABEmADFE(AAS).(2)CFLBF.证明：,:/XABE学工DFE,:.BE=EF,；BE平分NABC,NABE=NCBF,又,：NABE=NF,:.NCBF=NF,：.BC=FC,：.CE1BF.【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题需要掌握平行四边形的对边平行且相等及全等三角形的判定与性质..如图，分别延长EI4BC。的边CD,4B至UE,F,使DE=BF,连接EF,分别交AQ,BC于G,H,连结CG,AH.求证：CG//AH.【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA证得：4DEG迫ABFli,根据对应边相等证得DG=BH,从而得出AG=C〃，判断出四边形AGC”是平行四边形，继而得出结论.【解答】解：•.•四边形A8C£)是平行四边形，J.AB//CD,ZADC=ZABC,:.NE=NF,NEDG=NFBH,ZE=ZF在△DEG与△8F"中，V<DE=BF,ZDEG=ZBFH:.丛DEG沿丛BFH(ASA),：.DG=BH,：.AD-DG=BC-BH,即CH=AG,又,：AG〃CH,：.四边形AGCH为平行四边形，J.CG//AH.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，一般证明两直线平行都会寻找内错角、同位角或同旁内角，本题的解答确是利用的平行四边形，同学们注意掌握这一种思路..如图，在团ABCQ中，BD为对角线,EF垂直平分B。分别交A。、BC的于点E、F,交BD于点0.(1)试说明：BF=DE；(2)试说明：AABEgACDF；(3)如果在团A8CC中，AB=5,AD=10,有两动点P、Q分别从8、。两点同时出发，沿△BAE和△O/C各边运动一周，即点P自Afff8停止，点。自3f尸fCf。停止，点P运动的路程是胆，点。运动的路程是〃，当四边形BPOQ是平行四边形时，求，〃与〃满足的数量关系.(画出示意图)W【分析】(1)根据ASA证△E0。/△尸08即可；(2)推出。E=B尸，根据平行四边形性质求出乙4=NC,推出AE=CK根据SAS证△ABE二△C£>F即可；(3)分为三种情况，求出△OFC的周长，每种情况m+〃都等于的周长.【解答】解：(1)•.•四边形A8C。是平行四边形，J.AD//BC,：.ZODE=ZOBF,尸垂直平分83,:.OB=OD,在△OBF和△OOE中，rZ0BF=Z0DE<OB=OD,,ZBOF=ZDOE：.4BOFm丛DOE(ASA),；.BF=DE；•.•四边新ABC。是平行四边形，:.AB=CD,NA=NC,AD=BC,•；BF=DE,：.AE=CF,在△ABE和△CD尸中，AE=CD<NA=/C，,AE=CF:.△ABEWACDF(SAS),(3)解：,.•£尸垂直平分3。，；.BF=DF,'：△ABE/△CW,：.DF=BE,AE=CF,：.丛DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15,△ABE的周长也是15,①当尸在AB上，Q在CO上，"：AB//CD,：.ZBPO=NDQO,'：ZPOB=ZDOQ,OB=OD,:ABPO9ADQO,:・BP=DQ,=BP+DF+CF+CQ=DF+CF+CQ+DQ=DF+CF+CD=15②当P在AE上，。在C尸上，•:ND"BC,:・/PEO=/QFO,,:△EODWAFOB,oe=of9•；NPEO=NQFO,/EOP=/FOQ,：./\PEO^AQFO,：・PE=QF,VAE=CF,：.CQ=AP.m+n=AB+AP+DF+PQ=CD+CQ+DF+FQ=DF+CF+CD=15；③当尸在8E上，。在。尸上，9：AD=BCfAE=CF,:・DE=BF,,:DE〃BF,・♦・四边形BEDF是平行四边形，：・BE=DF,BE//DF,；・NPEO=NFQO,■:/EOP=/FOQ,OE=OF,：・4PE0@丛FQO,:・PE=FQ,••=AB+A£+PE+£)Q=CD+CF+QF+DQ=DF+CF+CD=15.(备用图D (备用图2)【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用.此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用.35.如图，已知团ABC。，AE平分NBA。，交OC于E,。尸_L8C于凡交AE于G,且。尸=AD.(1)试说明DE=BC；(2)试问AB与OG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.【分析】(1)4E平分NBAZ),则NBAE=ND4E；AB//CD,则NB4E=/OE4,从而有NDAE=ZDEA,所以，DE=DA,再根据平行四边形的对边相等，证明。E=BC；(2)结论：AB=DG+FC；将△C£＞尸平移到△AB”的位置，将△AOG顺时针旋转90°到444/的位置，证明N/=NAGO=NGA4=NB4/,即可.【解答】解：(1)•.•四边形48co是平行四边形，：.AD=BC,AB//DC.：.ZBAE^=ZDEA.；AE平分NBA。，二NBAE=ZDAE.：.ZDEA=ZDAE.：.AD=DE.：.DE=BC.AB=DG+FC■:四边形ABCD是平行四边形，：.AB=DC,AD=BC,AB//DC,AD//BC,：.ZABC+ZC=180°把△£»/＜沿射线OA方向平移，平移距离为AC,则。C与AB重合，记平移后的三角形为△ABH,则尸C=90°,NABH=NC,AH=DF,HB=FCV^ABH+ZABC=ZC+ZABC=\S0°,：.F,B,〃三点共线，：.BF+HB=BF+FC,从而FH=BC=AD=DF=AH.，四边形AHFO为正方形./.ZADF=90°,AH//DF.把△AOG绕点A顺时针旋转90°,则AO与A”重合，ZDAG=ZHAI,ZDGA=ZHIA,ZAHI=ZADG=90°,AZAHB+ZAHI=ZA/7B+ZADG=180°,：.I,H,B三点共线.平分NBA。，；.NBAG=NDAG,：.ZHAB+ZBAG=NHAB+NDAG=NHAB+NHAI.即N/MG=NA48.,CAH//DF,:.ZHAG=NDGA,：.ZBIA=ZDGA=ZBAI.：.AB=IB.'：IB=IH+HB=DG+FC,:.AB=DG+FC.TOC\o"1-5"\h\z• ： \ G\\/： \/ □......\ 0__AIHBFC【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判断，用平移，旋转的方法证明问题的能力..如图：团48CC中，/BCO的平分线CE交边AO于E,NA8C的平分线BG交CE于F,交AD于G,求证：AE=BG.AEg B2D c【分析】由平行四边形的性质得出A3=BC,AO〃BC,由平行线的性质得出NAGO=NCOG,NBEC=NDCE,再由角平分线的定义得出NAGO=NAOG,NBEC=NBCE,由等角对等边得出AG=AO,BE=BC,证出AG=BE,即可得出结论.【解答】证明：•••四边形A8CO是平行四边形，：.AD=BC,AD//BC,:.NAGD=NCDG,NBEC=NDCE,,：ZBCD的平分线CE交边AD于E,ZABC的平分线BG交CE于F,：.ZADG=NCDG,NBCE=NDCE,：.ZAGD=ZADG,NBEC=NBCE,：.AG=AD,BE=BC,：.AG=BE,：.AE=BG.【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键..在平行四边形ABCD中，AB=2BC,M是AB的中点，求证：DMLCM.【分析】首先根据题意画出图形，由在平行四边形ABC。中，AB=2BC,Af是AB的中点，易得AO=AM=BM=BC,继而证得£>M,CM分别是NADC与NBCO的角平分线，继而证得结论.【解答】证明：如图，・・•四边形A8CO是平行四边形,：.AB=BC,9：AB=2BC,M是A3的中点，：.AD=BC=AM=BM,：.ZADM=/AMD,NBCM=NBMC,■:AB//CD、：.ZCDM=ZAMD,NDCM=/BMC,：.ZADM=ZCDM,NBCM=NDCM,•:AD"BC,：.ZADC=ZBCD=180°,Z.ZCDA/+ZDCM=—ZADC+—ZBCD=90",2 2：.ZCMD=90°,即CM_LOM.【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线的性质.注意根据题意作出图形，结合图形求解是关键..如图，平行四边形ABCD中，CF_L8£),且CF=B。，连接4F,E为4尸中点，连接EB、ED,判断△EB。的形状，并证明你的结论.【分析】连AC交80于。，连0E,根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理证明即可.【解答】答：△E8O的形状是等腰三角形，理由如下：连AC交B。于O,连OE,•四边形4BCO是平行四边形，：.AO=CO,...OE为△ACF的中位线,OE//CFS.OE=^-CF,2•；CFLBD,：.OE1BD,'：BO=DO,，。£垂直平分8£>,:.BE=DE,：BO是平行四边形A8C。对角线，且C尸=8。：.OE=BO=OD,：.BE±DE:AEBD为等腰直角三角形.【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半..如图，在13ABe。中，对角线BO_LAB,G为8。延长线上一点且△CBG为等边三角形，NBCD、NABO的角平分线相交于点E,连接CE交BO于点尸，连接GE.(1)若CG的长为8,求团ABC。的面积;(2)求证：CE=BE+GE.【分析】(1)根据平行四边形性质推出CDLBD,根据等边三角形的性质得出GC=BC,推出8。=。。，根据勾股定理求出。C,根据面积公式求出即可；(2)证ACFBsACBE,推出型=旦，证△BFEs/SCFG,推出旦艮=上色，证△CGfsECBC BFCF△CEG,推出跑=四，得出里■险=及+工色，根据BC=CG=BG=BF+FG推出ECCGECECBCCGED+ES_=i即可.EC【解答】(1)解：•.•四边形ABC。是平行四边形，：.CD//AB,,：ABX.DB,J.CDLBD,•.•△BGC是等边三角形，:.BG=BC=CG=8,：.GD=DB=—BG=4(三线合一定理)，2在RtZXGQC中，由勾股定理得：CD=^g2_42=473.二平行四边形ABC。的面积是C£>XB£>=4j^X4=16j^(2)证明：•••△BCG为等边三角形，:.NGBC=NBGC=NGCB=6Q°,■:BDLDC,；.NBCD=30°.「EC是NBCQ的平分线，；.NBCE=NDCE=15°.：BE是NABO的平分线，N4BO=90°,：.ZEBD=45°,ZEBC=45°+60°=105°.则NBEC=180°-105°-15°=60°,:、NBEC=NFBC,•：NBCF=NBCE,:.△CFBs/^CBE,.EB_BF"ECBC,VZGCE=60°-15°=45°=NEBF,NBFE=/GFC,:.ABFEsACFG,.EF_FG••而方’,/NEFG=NBFC,：.4EFGs4BFC:.NGEF=NCBF=60°,而NBGC=60°,/.△CGF^ACEG,.EG_FG"ECCG,.EB+JEG_BF।FG**ECECBCCG'•.,△BCG为等边三角形，:.BC=CG=BG=BF+FG.EB+EG•• —1,EC：.CE=BE+GE.【点评】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用，本题综合性比较强，难度偏大.40.在团ABC。中，NA=NOBC,过点。作。E=QF,且NEC尸=N4B£）,连接EF、EC,N、P分别为EC、的中点，连接NP.（1）如图1,若点E在。P上，EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及NABO与NMNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2,若点例在线段E/上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.【分析】（1）由在回ABC£>中，NA=/OBC,易证得△3BC是等腰三角形，又由△£）£：尸是等腰三角形，利用三线合一的知识，可证得CO是EF的垂直平分线，然后由直角三角形的性质与三角形中位线的性质，证得结论；（2）首先分别连接BE、CF；可证得△BOE丝△（7£>£继而利用三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，证得结论.【解答】（1）答：NP=MN,ZABD+ZMNP=\SO°；证明：连接CF,•.•四边形ABCO是平行四边形，ZA=ZBCD,AB//CD,：.NABD=NBDC,'：ZA=ZDBC,:.4DBC=NBCD,NEDF=ZABD,：.DB=DC,NBDC=NEDF,是BC的中点，ADPLBC,NPDC=L/BDC,2：.ZPDC=—ZEDF,2,:DE=DF,J.DM1EF,EM=FM,：.FC=EC,,:EN=CN,:.MN〃FC,MN=—FC,2在RtZ\ECP中，N是EC的中点，：.NP=—EC,2:・NP=MN;•:NP=NC=%E,2:・NNPC=NNCP,:・/ENP=24NCP,°：EC=FC,EM=FM,:・NECF=2NECM,■:MNIIFC、：.NENM=NECF=2NECM,•:/EDF=2/EDC,：.ZABD+ZMNP=ZEDF+ZENP+ZENM=2ZEDC+2ZECP+2ZECM=2(ZEDC+ZECP+NECM)=2QEDC+NPCD)=2X90°=180°.（2）答：点M是线段E尸的中点.证明：如图，分别连接BE、CF.・・•四边形A8C0是平行四边形，：.\D//BC,AB//DC,NA=NDCB,：.NABD=NBDC.•:NA=NO3C,:・NDBC=NDCB.：.DB=DC.①■:/EDF=NABD,:・NEDF=/BDC.：.ZBDC-NEDC=NEDF-ZEDC.即N8OE=NCZ)F.②又DE=DF,(3)由①②③得△CDF.:・EB=FC,Z1=Z2.■:N、尸分别为EC、BC的中点,:.NP〃EB,NP*EB.同理可得MN//FC,MN.FG:.NP=NM.*：NP〃EB,:・/NPC=Z4.:./ENP=NNCP+NNPC=NNCP+N4.MN//FC,:.NMNE=NFCE=N3+N2