高等数学第三章习题课课件

习题课（第三章）习题课（第三章）1一、中值定理1.罗尔定理若函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使一、中值定理1.罗尔定理若函数f(x)满足22.拉格朗日定理若函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(b)－f(a)推论若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内恒有则函数f(x)在[a,b]上是一个常数.2.拉格朗日定理若函数f(x)满足:(1)在3则在(a,b)内至少有一点ξ,3.柯西定理如果函数f(x)、F(x)满足使等式成立（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,且在(a,b)内每一点处

均不为零，则在(a,b)内至少有一点ξ,3.柯西定理如果函数f4例1.设当时，f(x),g(x)连续，若f(a)=g(a),则当时必有____且当x>a时，设F(x)=f(x)-g(x),在[a,x]上利用拉格朗日定理，A例1.设当时，f(x),g(x5例2.设f(x)在连续，且当x>a时(K是正的常数），又证明方程f(x)=0在内必仅有一个实根。证由f(x)在连续，在可导,当x>a时，由拉格朗日定理由零点定理：存在，使

f(x)单增，故在内必仅有一个点ξ，使例2.设f(x)在连续，且当x>a时(K是正的常数），又6二、洛必达法则1.使用洛必达法则求极限时注意：(1)极限必须为或型。(2)f(x),g(x)必须在x0的去心邻域内可导(3)其导数之比的极限必须存在或为无穷大2.求极限时，要注意式子化简、利用等价无穷小3.其它未定式：二、洛必达法则(2)f(x),g(x7例3(1)极限的值为（）(2)极限的值为（）(3)设f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0,试求：例3(1)极限8高等数学第三章习题课课件9三、泰勒公式开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则如果函数f(x)在含有的1.泰勒(Taylor)中值定理(在与x之间)

其中(1)式称为f(x)按x-x0的幂展开的n阶泰勒公式

三、泰勒公式开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则如102.麦克劳林公式……2.麦克劳林公式……11例4若都n阶可导，当时证明时，证设例4若都n阶可导，当时证明时，证设12(在x0与x之间)

故当x>x0时，(在x0与x之间)故当x>x0时，13四、函数单调性与凹凸性1.单调性：函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)的导数恒为正（负），则f(x)在[a,b]上单增（减）。2.凹凸性：函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)的二阶导数恒为正（负），则y=f(x)在[a,b]凹（凸）。3.拐点：函数y=f(x)在(x0,f(x0))点两侧凹凸性相反，(x0,f(x0))点为y=f(x)的拐点。四、函数单调性与凹凸性14证设例5证明当x<1时,当x<0时，有f(x)单增

，当0<x<1时，有f(x)单减

，故当x<1时，证设例5证明当x<1时,当x<0时，有f(x)单增15例6设有三阶导数，且证明曲线必有拐点，其坐标为记计算得：若则例6设有三阶导数，且证明曲线必有拐点，其坐标为记计算得：若16即故存在当时，当时，函数f(x)凸，当时，函数f(x)凹，故点(x0,0)为曲线的拐点。即故存在当时174.极值（1）可导函数的极值点必为驻点。（2）连续函数求极值方法：方法一：通过讨论函数的单调性求极值方法二：对二阶可导函数，若驻点处二阶导数为正（负），则该驻点必为极小（大）点。（3）求[a,b]上函数最值的方法：比较函数不可导点、驻点和区间端点处函数值的大小。（4）应用题：列出目标函数，求最值。4.极值18当时，例7讨论方程lnx=ax(a>0)有几个实根。解设f(x)=lnx-ax,驻点：函数f(x)单增,当时，函数f(x)单减,当时，19为f(x)的最大值。当时，方程lnx=ax(a>0)有一个实根。当时，方程lnx=ax(a>0)没有实根。为f(x)的最大值。当时，方程lnx=20为f(x)的最大值。当时，方程lnx=ax(a>0)有二个实根。为f(x)的最大值。当时，方程l21例8求数列的最大项

设当x<10000时，函数f(x)单增,当x>10000时，函数f(x)单减,故n=10000时，为该数列的最大项。例8求数列的最大项设当x<10000时，22例9求椭圆上纵坐标最大的点解和纵坐标最小的点。例9求椭圆上23五、曲率1.平均曲率：2.一点处的曲率：3.曲率的计算公式：五、曲率24练习题1.设，则下列结论正确的是（）（A）该函数在x=1处取得极小值（B）该函数在x=1处取得极大值（C）点(1,8)为该曲线的拐点（D）该函数在x=1处既无极值又无拐点C2.极限的值为（）练习题1.设253.已知f(x)连续，且则f(0)=()4.设g(x)在(-∞,+∞)单调减少,f(x)在x=x0处有极大值，则必有（）（A）g(

f(x))在x=x0处有极大值（B）g(

f(x))在x=x0处有极小值（C）g(

f(x))在x=x0处有最小值（D）g(

f(x))在x=x0处既无极值也无最小值B3.已知f(x)连续，且265.若f(x)在x=0点取得极大值,则必有____D6.若y=f(x)在某邻域内满足则当时，在x点处有____B5.若f(x)在x=0点取得极大值,则必有____D277.若f(x)在x=0点的某邻域内连续,f(0)=0,则下列结论正确的是___(A)f(0)是f(x)的极小值(B)f(0)是f(x)的极大值(C)f(x)在x=0的某邻域内单增(D)f(x)在x=0的某邻域内单减8.已知常数a>0,证明当x>0时，9.讨论的增减性、凹凸性并求出其极值。A7.若f(x)在x=0点的某邻域内连续,f(0)28习题课（第三章）习题课（第三章）29一、中值定理1.罗尔定理若函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使一、中值定理1.罗尔定理若函数f(x)满足302.拉格朗日定理若函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(b)－f(a)推论若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内恒有则函数f(x)在[a,b]上是一个常数.2.拉格朗日定理若函数f(x)满足:(1)在31则在(a,b)内至少有一点ξ,3.柯西定理如果函数f(x)、F(x)满足使等式成立（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,且在(a,b)内每一点处

均不为零，则在(a,b)内至少有一点ξ,3.柯西定理如果函数f32例1.设当时，f(x),g(x)连续，若f(a)=g(a),则当时必有____且当x>a时，设F(x)=f(x)-g(x),在[a,x]上利用拉格朗日定理，A例1.设当时，f(x),g(x33例2.设f(x)在连续，且当x>a时(K是正的常数），又证明方程f(x)=0在内必仅有一个实根。证由f(x)在连续，在可导,当x>a时，由拉格朗日定理由零点定理：存在，使

f(x)单增，故在内必仅有一个点ξ，使例2.设f(x)在连续，且当x>a时(K是正的常数），又34二、洛必达法则1.使用洛必达法则求极限时注意：(1)极限必须为或型。(2)f(x),g(x)必须在x0的去心邻域内可导(3)其导数之比的极限必须存在或为无穷大2.求极限时，要注意式子化简、利用等价无穷小3.其它未定式：二、洛必达法则(2)f(x),g(x35例3(1)极限的值为（）(2)极限的值为（）(3)设f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0,试求：例3(1)极限36高等数学第三章习题课课件37三、泰勒公式开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则如果函数f(x)在含有的1.泰勒(Taylor)中值定理(在与x之间)

其中(1)式称为f(x)按x-x0的幂展开的n阶泰勒公式

三、泰勒公式开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则如382.麦克劳林公式……2.麦克劳林公式……39例4若都n阶可导，当时证明时，证设例4若都n阶可导，当时证明时，证设40(在x0与x之间)

故当x>x0时，(在x0与x之间)故当x>x0时，41四、函数单调性与凹凸性1.单调性：函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)的导数恒为正（负），则f(x)在[a,b]上单增（减）。2.凹凸性：函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内f(x)的二阶导数恒为正（负），则y=f(x)在[a,b]凹（凸）。3.拐点：函数y=f(x)在(x0,f(x0))点两侧凹凸性相反，(x0,f(x0))点为y=f(x)的拐点。四、函数单调性与凹凸性42证设例5证明当x<1时,当x<0时，有f(x)单增

，当0<x<1时，有f(x)单减

，故当x<1时，证设例5证明当x<1时,当x<0时，有f(x)单增43例6设有三阶导数，且证明曲线必有拐点，其坐标为记计算得：若则例6设有三阶导数，且证明曲线必有拐点，其坐标为记计算得：若44即故存在当时，当时，函数f(x)凸，当时，函数f(x)凹，故点(x0,0)为曲线的拐点。即故存在当时454.极值（1）可导函数的极值点必为驻点。（2）连续函数求极值方法：方法一：通过讨论函数的单调性求极值方法二：对二阶可导函数，若驻点处二阶导数为正（负），则该驻点必为极小（大）点。（3）求[a,b]上函数最值的方法：比较函数不可导点、驻点和区间端点处函数值的大小。（4）应用题：列出目标函数，求最值。4.极值46当时，例7讨论方程lnx=ax(a>0)有几个实根。解设f(x)=lnx-ax,驻点：函数f(x)单增,当时，函数f(x)单减,当时，47为f(x)的最大值。当时，方程lnx=ax(a>0)有一个实根。当时，方程lnx=ax(a>0)没有实根。为f(x)的最大值。当时，方程lnx=48为f(x)的最大值。当时，方程lnx=ax(a>0)有二个实根。为f(x)的最大值。当时，方程l49例8求数列的最大项

设当x<10000时，函数f(x)单增,当x>10000时，函数f(x)单减,故n=10000时，为该数列的最大项。例8求数列的最大项设当x<10000时，50例9求椭圆上纵坐标最大的点解和纵坐标最小的点。例9求椭圆上51五、曲率1.平均曲率：2.一点处的曲率：3.曲率的计算公式：五、曲率52练习题1.设，则下列结论正确的是（）