应用数理统计课件-chp

X

取各个值的概率，即事件X

的概率，为一、离散型随定义2.1：设随第二节

离散型随

量及其分布律量的分布量X

的可能取值为

x1,x2…(2.1)k

1,2;2。是分布律的特征性质，用以判断

(2.1)式是否是概率分布。1。称(2.1)式为离散型随k量X

的分布律(或概率分布，概率函数)PX

xk

pk

,且满足也可以用表格形式表示(也叫分布列)n

1

2

x1,

x2

xn

X

~

p

,

p

p(2)

pk

1kk

1,2满足(1)pk

0X

x1

x2

xn

pk

p1

p2

pn

也可用矩阵形式表示X

分布律可用图示表示p2

p3

pnp1xx

x3

xn21PX注意：量X

表示的由试验E

根据所研究的问题，一定要说明随含义。由试验E

预知出

X

的所有可能取值。求出X

取值(事件)概率。写出X

的分布律(或分布列)。例1.甲、乙二名篮球队员，甲投中篮的概率是0.9，乙投中的概率是0.8。两人独立地各自投篮一次，其投篮投中次数X

是随量，（1）写出X

的分布率（2）用图示表示（3）求二人至少投中一次的概率。解：（1）易知X

可能取值是0、1、2，用A,B

分别表示甲、乙投中篮事件，且P(A)=0.9,P(B

)=0.8P（X

0）

P（AB）

P（A）P（B）

0000.2.独立

AB)BP)(A)(P)(B)(PA

000.206.90.2.1.

独立互斥0.9

0.8

0.72P(X

2)

P(AB)独立P(

A

)P(B)（2）故Xpk00.0210.2620.72检查条件：12

1

pkk图示法(3)P{甲、乙二人投篮至少投中一次}=P（X

1）=P（X

=1）+

P（X

=2）=0.26

+

0.72=0.980pk

k

0,1,2pk120.720.260.020x例2

.设随量X

的分布律为：试确定常数

a解：由分布律的特征性质知道mk

1mmP{X

k}

a

m

a

a

1k

1

m得a

1ma,P{X

k}

，

k

0，1，2，，m例3.袋中装有5个白球。3个黑球。从中任取一个，若取出黑球则不回而另外放入一个白球，这样下去，直到取到白球停止试验。取到白球所需的抽取次数是随量X

，写出

X

的分布列。解：易知随量X

的所有可能取值是1，2，3，4.设

Ak表示事件

第k次取到白球

K

=1，2，3，418P（X

1）

P（A）

5P（X

2）

P（A1

A2）

P（A1）P（A2

|

A1）

3

6

98

8

32P（X

3）

P（A1

A2

A3）

P（A1）P（A2

|

A1）P（A3

|A1

A2）

3

2

7

218

8

8

256P（X

4）

P（A1

A2

A3

A4）

P（A1）P（A2

|

A1）P（A3

|

A1

A2）P（A4

|

A1

A2

A3）3

3

2

1

8

8

8

8

8

256故X

的分布列为25632562132958Xpk1234检查条件：1pk

0，k

1，2，3，424

pk

11二、常见的几种分布（一）（0—1）分布1.定义2.2

设随X量X

只可能取两个值0或1，它的分布列为0

1pk

1-p

p则称X

服从参数为P

的（0—1）分布，记为X

~

b（1，p）或B（1，p）（0—1）分布的分布律为：P（X

K）

p（K

1

p）1K，K

0，1.

（2.2）2.典型应用（模型）：试验E

只有两种完全对立的结果。可将一种结果叫做“成功”A=

，另一种结果称做“失败”=A若随量X

表示成功的次数，则X～b（1，p）且P（

A）

p（

0

p

1）,称E为试验。P

(

A

)

1

p

q该试验E

是试验。例2.E：从一批产品中任取一件，观察其“正品”和“次品”情况。“是正品”=

A，“是次品”=

A

，且

P(

A)

0.8,

P(

A)

0.21X

0A

发生A

发生X

的分布列为01XPk0.20.8则X～b（1，0.8）如果随量X

表示任取一件产品的正品个数即如果随量Y

表示任取一件产品的次品个数，即则Y～b（1，0.2）Y

0,A

发生1

,A

发生Y的分布列为Y010.80.2pk（二）n重伯（贝）努利试验，二项分布1.

将试验E

在相同条件下，独立地重复进行n次。称这一串重复的独立试验为

n

重试验，记为

En注：1

“相同条件下，重复进行”的含义是:每次试验只有两个结果A与A且每次

P（A）

p，P（A）

1

p

q

都相同2独立进行的含义是：各次试验的结果互不影响，即各次试验的结果是相互独立的。2.

定义2.3

在n重试验中事件A

发生的次数是随量X

。

nkqpCk3X）.knkk

，（其分布律为：

）（n且称X

服从参数为n，p

的二项分布，记为X

~

b（n，p）或B（n，p）先取n=4，k=2说明令Ai

{事件A在第i次试验中发生}

i

1，2，3，4.Ai

{事件A在第i次试验中未发生}（X

2）（4次试验中，A恰好发生2次）

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

A1

A2A3

A4

A1

A2

A3

A41

2

3

4

1

2

3

4

p2q2

p2q42P（A

A

A

A

）

P（A）P（A

）P（A

）P（A

）由En可知且上述6个事件的概率相同：P（A1

A2

A3

A4）

P（A1

A2

A3

A4）

P（A1

A2

A3A4）

p2q42又由上述6个事件是互不相容的，因此P（X

2）

P（A1

A2

A3

A4）

P（A1

A2

A3

A4）

P（A1

A2

A3

A4）

6

p2q42

c2

p2q4241一般P（X=K）计算公式：n次独立重复试验中，事件在某k

次发生而在其余n-k

次不发的概率为23易检查上式满足条件：pk

qnkn事件A在n

次试验中发生k

次的不同情况（方式）是

Ck

种nC

k个事件是互斥的，故可，（k

0，1，

n）nP（X

K）

Ck

pk

qnk因为各种不同情况（方式）相应的推导出：pk

0n，可知（2.3）是分布律k

k

nk

nk

0C p

q

（p

q）n

112分析试验E：每次抽取一件产品只有二个可能结果：“次品”=A

，“正品”=，是

试验。1A且

P（A）

0.05

，P（A）

0.95例3

.设某车间产品的次品率为0.05，现从大批产品中抽取20件，求20件中至少有二件次品的概率？2由于是大批产品，

认为在一次试验中抽取到次品与否不影响下一次试验结果，因此各次抽取（试验）是独立的。所以该试验是20重

试验。解：设抽取20件产品中次品个数是随量X由题意知，X~

B（20，

0.05）即k

210

，20.90520k20P

X

K

Ck

.0k20

0.31585

0.3774

0.2641注：类似题.参考书P43页例2所求的概率是P（X

2）

1

P（X

0

1（0.95）20

C1（0.05）（

0.95）193.二项分布图形参考 P44页随

量X

~

b（20

，0.2）0

1

2

3

4

5

6

7

8

9P(X=K)K1看出当k

增加时,P(X=K)先是随之增加,直至达到最大值。(本例是K

=4时达最大值)。随后单调减少。2一般对固定的n，p，二项分布b(n,p)都具有此性质，且最大值与n,p有关，在m

=[(n+1)p

]处达到最大，例4:某种产品有

N

件,其中次品有M

件,每次从中任取一件有放回抽取n件,其中次品数是随

量X

,写出X

的分布律。分析试验模型:（1）

每件抽取一件只有二个可能结果,“正品”或“次品”=A，且P（A）

M

，

P（A）

N

M

1

MN

N

N（2）由于是有放回地抽样，故每次

P（A）

M

，

P（A）

都相同。N各次抽取是独立的。所以该试验是n

重试验解：由题意知：XNM~

b（n，

）所以(k

1,2n)M

）（k

1

M

）nkN

NnX

~

P{X

K}

C（k问题：如果本例是“不放回抽取”，X

还是服从二项分布吗？参见第一章例题同一人独立射击400次，是400重A “不中靶”=A试验400X

~

P（X

K）

Ck（0.02）（k

0.98）400k

，k

01，，，400所求的概率为P（X

2）1

P（X（0.918）400

99720.（0.0420）0（0.98）399例5

.

参考书

P44页

例3进行射击，设每次射击中率为0.02，独立射击400次，试求至少

两次的概率。解：由于每次射击只有两个结果“中靶”=故射击400次靶的次数为X

，且

X

~

b（400

，0.02）在一次试验中发生概率很小的事件，独立重复很多次试验，则发生的概率很大。告诉

：小概率事件决不能轻视。说明：12为解决此类的计算问题，要寻求近似计算方法。先介绍泊松近似，第五章将介绍正态近似。二项分布n很大，p很小，计算量大。其中

0

是常数，则称

X

服从参数为

的泊松（Poission）分布。，

k

0

，1，2

且取各个值的概率为P{X

K}k！kekX

~

()（三）泊松分布1.

定义2.4：设随量X

所有可能取的值为

0，1，2，记为2.

定理一：设有一列二项分布

Xn~

b（n

，pn）

，

n

1，2，如果nlim

n

pn

，则对任意固定的非负整数

k

，都有

kek！n

n

n

nn

nlim

P{X

K}

lim

Ck

p（k

1

p

）nk证明：记n

nnn

pn

n

，则pknnnn

kk！

）]（

1

n

）（

1

n

）k

11n）（1

n

[1（

1e

，

k

0

，1，2

，k！nk

k

nklim

Cn

p（n

1

p

）

n所以上式极限knlim（1

n

）－k＝1n－＝en）

n

n

n（

）

nnlim（1nnlim

knCknpn（1

p

）nk

n（

k！nn（

n

）k

（

1

n

）nk3.

重要性：1

泊松分布是1837年由法国数学家泊松（Poission）引入的。在现实世界中，很多随机现象所产生的随 量是或近似服从泊松分布。例如：

在某时间段内，某

总机收到用户呼叫

次数；在某时间段内，某商场购物的顾客数；在某时间段内，一放射性物质放射出的

粒子数；在某时间段内，一台纺纱机的断头数；一匹布上疵点个数等等。共同特点：（1）在某时间段或单位内（2）事件发生是可数个等n由定理一.条件.lim

npn

可知故对于二项分布X~

b(n,

p)k

0

，1，2

，其中np

实用上:一般

n

20p（1

p）

ek！P（X

K）

Cn

pkkn当n

很大，p

很小，np适中，有如下近似公式k满足一定条件可以作为二项分布的近似。2，

0.1

np

10，

p

0.05可用上述近似.当

n

100

,

p

0.01应用上述近似,精度较高,

0.1

np

10

时(2)查表看清表头(条件)有不同表形3

泊松分布有表可查,请参见其他 或数学统计表注意:(1)

表中

最大值是5

,若

>5

可查

=5

表中值?k!有的表形是

（

KX)

P

?k!krk

ek

e大部分书给出的表形是如前

例5

射击一枪p=0.02,独立射击n=400枪,命中靶数X

~

b（400，0.02）由于

n

很大

,p小而np400

0.02

8

适中故近似X

~

（8）

0.899178kP（X

2）8

e8

e8k

2e

1

P（X

0）

P（X

1）k！

或直接查表

0.9596k

2

k

400说明:

以上二个方法结果误差较大,是由于泊松分布表.

8查

5近似造成的.解

:

设该种商品每月的销售量是X

,

由题意知道X

~

（3）又设商场在月底前进这种商品

m

件,要求的问题是满足P（X

m）

0.96的最小m进货数是未知常量销售数是r.v上式即P{X

m}

0.04即

0.043k

e3k

m1k！查泊松分布表:

0.0335

0.043k

e3k

7k！

0.08

0.043k

e3k

6k！于是m

1

7得m

6答:需要进货至少6件例6.某超市根据商场过去的销售记录知道,某种商品每月的销售量可用参数的泊松分布来描述.为了以96%以上的把握保证不脱销,问商场在月底至少应进多少件这种商品?

3例7.为保证设备正常工作,需要配备一些维修工,若各台设备发生故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01。试问：若用一名维修工负责维修20台设备,求设备发生故障时不

维修的概率

是多少?若有300台设备,需要配备多少名工人,才能使得不到及时维修的概率不超过0.01？分析:

1

由于每台设备只有两个结果:“发生故障”=

A“无故障”=

A

故是

试验E又n

台设备是否有故障是相互独立,故n台设备发生故障问题是n重试验。2

n台设备同时发生故障的台数是随

量X且知X

~

b（n，p）3

解题时只需将所求问题转化成X在某范围取值问题即可解:(1)

设X为20台设备中同时发生故障的台数,由题意知,X

~

b（20

，0.01）

且X近似~

（0.2）故

P20

(一名工人不维修)=P（X

2）

1

e0.2

0.2e0.2

0.0175e

1

P（X

0）

P（X

1）或0.2k

20.2kk！(2)设Y

为300台设备中同时发生故障的台数由题意知,Y

~

b（300

，0.01），

np

3用泊松近似

Y～（３）令N

为所需配备的维修工的人数.N

应满足下列等式

:P（Y

N

1）3k3e

0.01300k

N

1k！查泊松表可知N

1

9

N

8故当N

8时满足要求。二个结果:

“发芽”=

A

“不发芽”=

A概型发芽粒数是

r.v.

服从二项分布，但3

100粒p

0.99大，不易用泊松近似，计算麻烦。4

100粒不发芽粒数是

r.v.X服从二项分布b（100

，0.01）。满足条件，可用泊松近似。如果二项分布中n很大,p也大,能否用泊松分布计算呢?可将问题加以转换,使之满足条件,有时仍然可以用泊松近似,见下例例8.从发芽率为99%的一批农作物

中任取100粒,求发芽粒不数少于97粒的概率?都相同，且发芽与否是独立的，故是n重，

P（A）

0.01概型分析题意:1每粒是2批量大,任取100粒,每粒P（A）

0.99解:设100粒的不发芽粒数是

r、v由题意知，

X

~

b（100

，0.01）记又由于n

100

，p

0.01

100

0.01

1近似故

X

~

（1）所求概率

0.981k

41k

e1

查表P（X

3）

1

P（X

4）

1

k！

1

0.01899量，在解应小结：前面介绍了实际问题中常见的三种离散型随用题时要注意：概型。由试验E

先判断该问题是否是

概型

，n重从而可知道是否服从二点分布，二项分布。若是二项分布检查n，p

是否满足条件，以判断能否用泊松分布近似将所求问题写成r.v.在某范围的形式求解。123一、概念为了研究P{x1

X

x2}定义3.1

：设

X

是一个随“X

x”的概率随着F（x）

Px

变化而变化，则称为

X

的分布函数注：（1）上述定义并没有限定r.v.X

是离散的还是连续取值.故二者都可用分布函数描述。又由于

P(x1

X

x2

)

F(x2

)

F(x1)故分布函数可以全面描述

r.v.X

的统计特性，又可用数学分析工具描述

r.v.。X

x第三节

随量的分布函数P{X

x2}

P{X

x1}量，对任意实数

x

，事件（2）若将

X

看作数轴上的随机点，则F（

x

）值等于X

落在(,x

]上概率，其值与

x

有关。故

F（x）是X的普通函数xx（3）

F（x）的自变量

x

是（

，

）上任一实数，它与

r.v.X的取值

xi

是不同的概念，xi

是由试验决定其取值。二、离散型随量X

可写出其分布函数已知

P（X

xi）

pi

i

1，2F（x）

P（X

x）

P（X

xi）xi

x

x

01（0

正）（1

次）设X表示任取一产品的次品的个数S例1.已知r.v.X

服从参数为p

的（0—1）分布。写出X

的分布函数q

1

pXPk0q1p10

,

x

0, 0

x

1,

x

1故X

~

F

(x)

q1q1

0x当x

0

时，P（X

x）

P（）

0x

x当0

x

1

时，P(X

x)

P(0

)

P(X

0)

q当

x

1

时，P(X

x)

P(

)

P(X

0)

P(X

1)

p

q

10

1x写出

X的分布函数kPX10211584802218-114058X例2.已知

X

分布列PkX当x

1时，P(X

x)

P(

)0当1

x

0时，P(X

x)

P(X

1)

1当0

x

28

4

88时，P(X

x)

P(X

1)

P(X

0)

1

1

3当x

2

时，P(X

x)

P(X

1)

P(X

0)

P(X

2)

1xx-1

xx所以

81310

，

x

1,

1

x

0, 0

x

2,

x

2F（x）

818138-1

02xF（x）易看出:离散型随

量已知i

1，2X

~

P（X

xi）

pi分布函数xi

xF（x）

P（X

x）①图形是阶梯形的曲线②F（x）有间断点,对应是X的取值ix是点xi③间断点对应F（xi）

F（xi

0）

pi的跃度,且是P（X故已知

X

~

F（x）X的分布律见学习指导有练习三、性质F（x）

是不减函数，即对任x1

x2

，有F（x2）

F（x1）

0对任实数

x

，有0

F（x）

1且有为方便

P（X

x0）

F（

0上述三个性质是

F（x）的特征性质。即某个函数具有上述性质，则定是某个r.v.的分布函数，反之，分布函数一定有上述性质。此练习题见学习指导4.

若F（x）在X

x0

处连续，则

P（X

x0）

0xlim

F（x）

F（

）

1，

lim

F（x）

F（

）

0x3.对任

x

，F（x）右连续，即0lim

F（xx5.

P（a

X

b）

F

(b)

F

(a)注意：离散型随量F（x）

间断点P（a

X

b）

F

(b)[]abF(a)F(b)P（a

X

b）

F

(b)

F

(a)

P（X

a）()abF(a)F(b)如：例

2.已知1813X～F（x）

80

，

x

1, 0

x

2,

x

2,

1

x

0②8

8

8

8

422

3

3

(3

1)

1P（0

X

3）

F

(

3)

F

(0)

P（X

0）实际对离散型

r.v.

此类问题不必这样计算.

可由F

(

x)

写出

X

的分布律。求解问题更方便。PkX1

1

58

4

81

0

22P（

3

X

3）

P（X

2）

58143P（0

X

）

P（X

0）2P（

3

X

3）

F

(3)

F

(

3)

1

3

52

2

8

8①利用三个特征性质可以求F（x）中未知常数例

3

.

已知随量

X

分布函数为F（x）

A

B

arctg

x

x

试求

（1）常数A，B的值.（2）

P(0

X

1)解：（1）由)

0F

()

A

B(

22F

()

A

B(

)

121B

1A

,2

()xF

1

1

x（2）

P(0

X

1)

arctg

1

arctg

0

0

4

4例2.参考材料P50页.例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设

靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶。以X

表示弹着点与圆心的距离，试求随量X

的分布函数.解：①由题意知当x

0

时F

(x)

P(

X

x)

P()

0②若0

x

2

有P(0

X

x)

kx2

,求k

?③

又由条件

设射击都能中靶

即知02xP(0

X

2)

22

k

1

k

14④当x

1

时，有PxSXF((P)易看出：1

F（x）

的图形是一条连续曲线。2本例的分布函数

F（x），对任意xx可以写成如下形式：f（t）dtF（x）其中0f（t）

2

t，

0

t

2，其他F（x）恰好是非负函数在区间（

，x]上的积分f（t）在这种情况下，称X

为连续型随量

4

1 ,

x

2

0 ,

x

0

x2F

(x)

,

0

x

2210F（x）故有F（x）图形叫累积分布曲线图0F(x)f（x）图形叫分布曲线图f(x)0一、概念1.定义：设随量X

的分布函数

F（x），存在非负函数

f（x），使对于任意实数

x

，均有量，其中函数则称

X

为连续型随函数，简称函数密度。2.

图形f（x）

称为

X

的概率密度F（x）xf（t）dtF(x0

)f(x0

)x0F(x

)01第四节

连续型随

量及其概率密度x0二、性质1.非负性.2.规范性3.对任意实数

x,x2

，且

x1

x2P{x1

X

x2}

F

(x2

)

F

(x1

)且P{x1

X

x2}

P{x1

X

x2}

P{x1

X

x2}

P{x1

X

x2}4.若f（x）在点

x

处连续，则有

F

'(x)

f

(x)f（x）

0f（x）dx

1特征性质xx

x

2

x112f

(t)

dt

f

(t)

dtf(t)

dt

f（x）x1

2x

x05.在f（x）的连续点

x

处，当

x

0

很小，有f

(t)

dt

f

(x)

dxxxP（x

X

x

x）

x量X

落x0由该性质知道①f（x）的实际意义：反映随邻域概率的大小。②

概率密度的定义与物理学中质量的“线密度”有相似之处。反映随

量

X

取值在

x0

附近“密积”

程度。③f（x）x

在连r续.型v.理论中所起的作用与

P（X

xk）

pk

在离散型

r.v.理论中作用相类似。6.连续型随量X

其分布函数F（x）是连续函数且P（X

x0）

0又

F

'

(x)

lim

F

(x

x)

F

(x)

lim

Px

X

x

xf

(x)

x

f

(x)

limx0x0xx

xx0例3.判断下列函数哪些是某随量的密度函数1

x，

0

x

30

，其他f（1

x）

2，

0

x

10

，其他f（x）

1

x2

2x

，

0

x

10

，其他f（3

x）

02e2

xf（4

x）

，

x

0，

x

0不是非负函数，由于

f（1

x）21102f（x）dx

1故f（1

x）

，f（2x）不是概率密度函数且x）是密度函数f（3 x）

010（2

2x）dx

1

f（3f（x）

04故f（4且04

2

xf（x）dx

2e dx

1x）也是密度函数。解：（1）由规范性

1

f

(x)dx

0

Asin

xdx0

A（

cos

x）

2A得到

A

12，其他0，

0

x

Asin

xf（x）

（1）确定A

的值；（2）写出X

的分布函数F（x）；3（3）求

P{1

X

}例4.已知连续型r.v.X

的概率密度函数为0xf（x）当x

0

时,F（x）

0当0

x

时,2121sin

xdx12000f（t）dtF（x）x

cos

x

|

(1

cos

x)x 0dx

xxxx当时,

F（x）x

xx

1sin

xdx

00

12f（t）dt00F（x）xf（t）dt(2)321 (1

cos

)102

14

(cos

x)

310

，

x

01F（x）

2

(1

cos

x)

，

0

x

所以1

03xf（x）(3)

P{1

X

}

31f

(x)dx,

x

3

3

01

02 0

1sin

xdx12F（x）

Ax例5.已知连续随0量X

的分布函数为x

0，

0

x

1，

x

1求（1）系数A（3）概率密度f（x）2（2）P{1

X

2}解（1）由连续型r.v.的分布函数是连续的故有lim

F(x)

lim

Ax2

A

1x1

x12

421

1

2

3

(1))

F2(}2()（2）

P{1

X

F2（3）f

(x)

2x

,

o

x

1dx

0

,

其他dF(x)处导数是不存在的，由于被积函数在个别点的注意到F（x）

在x

1值不会影响积分结果的性质，可以在

F（'

x）

无意义的点处，任定

F（'的值。x）三、重要的分布（一）均匀分布1.定义4.2：设连续型随量X

具有概率密度

0f

(x)

b

a,

a

x

b,

其他1则称

X

在区间上服从均匀分布，记为[a,

b]X

~

U[a，b]且易知f（x）满足条件

①

f（x）

0②

f

(x)dx

1b

a1f（x）xa

x

b

x(1)F（x)

x当x

ax时F

(x)

0

0当a

x

b时x

1

dx

x

bF

(x)

0

0当

x

b

时10

F

(x)

xbbaa

b

a b

adx

0

1a

b

aF（x）x1ab1b

a

x

a

F

(x)

0,

x

a

;,

a

x

b

;,

x

b

.x2.已知

r

.v

.X

~

U[a,b](1)写出X

的分布函数F（x）

(2)求P{

X

}(a

b)解:已知

0f

(t)dtX

~

f

(x)

b

a,

a

x

b,

其他1结果表明:若

X

~

U[a，b],则X在

[a,

b]内任一子区间上取值的概率与此子区间的长度

成正比,而与子区间的位置无关。可粗略的认为:

X

取

[a,

b]

中任一点的可能性都一样。1均匀分布在实际问题中是常见的，凡符合上述特点的随机现象，可考虑其是否可用均匀分布描述。如：在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差如：

线

，乘客的候车时间等在（0，1）区间上的均匀分布在计算机模拟中起着重要作用。23f（x）ba

dx

b

a b

a

xf

(t)dt

(2)

P{

X

}

1

一般地，设

D

是

x

轴上一些不相交的区间之和若X

~

f

(x)

D的长度，

x

D0

其他1则称X

在D

上服从均匀分布例如：设

r.v.X

在区间[2，3],[5，6]上均匀分布122X

~

f（x）

，

5

x

60

，其他1，

2

x

32

35

6x21f（x）例6.某地铁从上午7时起每15分钟来一辆车，即7：00，7：15，7：30，7：45……等时刻有车到达此站。如果某乘客到达此站的时间是7：00到7：30之间均匀分布的随

量。试求他等候少于5分钟就能乘车的概率。（设车一到站乘客必能上车）注意：

分清哪些量是定数，哪些是随

量？车到站是定数7：007：157：307：45乘客到站时间是随量X解：设乘客7：00时过

X

分钟到达此站由题意知~

fXx

）（30

1，

0

x

30,0

其他以A

表示事件“乘客等候时间少于5分钟”P(

A)

p{(10

X

15)

(25

X

30)}

p(10

X

15)

p(25

X

30)25

3010

30

13

1

dx

1

dx15

307：007：107：157：257：30

0f

(x)

1

1

xe

,

x

0,

x

0其中

0

是常数则称

X

为服从参数为

的指数分布。（二）指数分布1.定义4.3：设连续型随量X

的概率密度为易检查，满足：①f（x）

0

②有的参考书写为0,

x

0f（x）x

f

(x)dx

1e

，

x

0

0

是常数也称X

服从参数为的指数分布

1f（x）x0X

的分布函数当时x

0

t

x

e

|x

1

e

xe

dt

tF

(x)

f

(t)dt

0

x

1000故F

(x)

01

e

,

x

0,

x

0

1

x

F（x）

1x0例7.某种电子元件的使用的指数分布。X

服从参数

2000（单位：h）从这种元件中任取一个使用，求能正常使用1000

h以上的概率；有一个这种电子元件，已能正常使用1000

h，问还能使用1000h以上的概率。解：0

2000X

~

f

(x)

12000e

,

x

0,

x

0

x

e0.5

0.6072000

|1000200011000

20001000)

e