极限的性质与四则运算法则课件

§2.4极限的性质与四则运算法则一、性质性质1(唯一性)若极限limf(x)存在，则极限唯一。注此定理对数列也成立。性质2(局部有界性)注1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。11/16/20220§2.4极限的性质与四则运算法则一、性质性质1(唯一性)若性质3(局部保号性)性质4注性质511/16/20221性质3(局部保号性)性质4注性质511/10/20221二、四则运算法则根据极限的定义,只能验证某个常数A是否为某个函数ƒ(x)的极限,而不能求出函数ƒ(x)的极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。定理11/16/20222二、四则运算法则根据极限的定义,只能验推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3推论4推论511/16/20223推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3推注⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；⑵定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。如(3)参加求极限的函数应为有限个。11/16/20224注⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非况)时可直接代入。例利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。

1、代入法答案注意代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。11/16/20225况)时可直接代入。例利用极限的运算性质和一些简单例1解11/16/20226例1解11/10/20226例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得11/16/20227例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得11/10/22、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例计算过程11/16/202282、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10x-20=x2(x+2)-3x

(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意从高次幂到低次幂依次配项．11/16/2022x3-x2-16x-2011/10/2022例3解11/16/202210例3解11/10/2022103、消最大公因子法练习答案

0同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、分母除以最高次数的项。例计算过程很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数以及(次数相等时)最高次项的系数有关。11/16/2022113、消最大公因子法练习答案0同样都是多项式，若分子、分子、分母同除以最高次幂11/16/2022分子、分母同除以最高次幂11/10/2022例5解例4解11/16/202213例5解例4解11/10/202213例6解先变形再求极限.11/16/202214例6解先变形再求极限.11/10/202214备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。例计算过程注11/16/202215备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。例计算过程注分子、分母同除以“最大项”11/16/2022分子、分母同除以“最大项”11/10/20224、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之有理化。例计算过程练习答案当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞时极限不存在11/16/2022174、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)11/16/2022平方差公式立方差公式11/10/2022例7解11/16/202219例7解11/10/2022195、通分法例答案练习答案-111/16/2022205、通分法例答案练习答案-111/10/2022206、变量代换法例方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之改变)。练习答案不存在。计算过程提示取t满足xt=1，则x→0-时t→-∞；x→0+时t→+∞。11/16/2022216、变量代换法例方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势为把两个根号同时去掉,做变量代换当x→1时t→1，因此消零法。例如对分子：-tm+1=-tm+tm-1–tm-1

+tm-2

-…–t+1=(-tm-1

–tm-2-…–1)(t-1)本题也可以用有理化法计算11/16/2022为把两个根号同时去掉,做变量代换当x→1时t→1，因此消零法7、其他必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。例答案1练习答案111/16/2022237、其他必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。例答案计算极限思考题11/16/202224计算极限思考题11/10/20222411/16/202211/10/2022§2.4极限的性质与四则运算法则一、性质性质1(唯一性)若极限limf(x)存在，则极限唯一。注此定理对数列也成立。性质2(局部有界性)注1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。11/16/202226§2.4极限的性质与四则运算法则一、性质性质1(唯一性)若性质3(局部保号性)性质4注性质511/16/202227性质3(局部保号性)性质4注性质511/10/20221二、四则运算法则根据极限的定义,只能验证某个常数A是否为某个函数ƒ(x)的极限,而不能求出函数ƒ(x)的极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。定理11/16/202228二、四则运算法则根据极限的定义,只能验推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3推论4推论511/16/202229推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3推注⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；⑵定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。如(3)参加求极限的函数应为有限个。11/16/202230注⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非况)时可直接代入。例利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。

1、代入法答案注意代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。11/16/202231况)时可直接代入。例利用极限的运算性质和一些简单例1解11/16/202232例1解11/10/20226例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得11/16/202233例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得11/10/22、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。例计算过程11/16/2022342、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10x-20=x2(x+2)-3x

(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意从高次幂到低次幂依次配项．11/16/2022x3-x2-16x-2011/10/2022例3解11/16/202236例3解11/10/2022103、消最大公因子法练习答案

0同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、分母除以最高次数的项。例计算过程很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数以及(次数相等时)最高次项的系数有关。11/16/2022373、消最大公因子法练习答案0同样都是多项式，若分子、分子、分母同除以最高次幂11/16/2022分子、分母同除以最高次幂11/10/2022例5解例4解11/16/202239例5解例4解11/10/202213例6解先变形再求极限.11/16/202240例6解先变形再求极限.11/10/202214备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。例计算过程注11/16/202241备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。例计算过程注分子、分母同除以“最大项”11/16/2022分子、分母同除以“最大项”11/10/20224、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之有理化。例计算过程练习答案当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞时极限不存在11/16/2022434、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)11/16/2022平方差公式立方差公式11/10/2022例7解11/16/202245例7解11/10/2022195、通分法例答案练习答案-111/16/2022465、通分法例答案练习答案-111/10/2022206、变量代换法例方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之改变)。练习答案不存在。计算过程提示取t满足xt=1，则x→0-时t→-∞；x→0+时t→+∞。11/16/2022476、变量代换法例方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势为把两个根号同时去掉,做变量代换当x→1时t→1，因此消零法。例如对分子：-tm+1=-tm+tm-1–tm-1

+tm-2

-…–t+1