中考数学提高题专题复习一元二次方程组练习题含答案解析

中考数学提高题专题复习一元二次方程组练习题含答案解析一、一元二次方程2 2.已知关于x的一元二次方程x-(2k-1)x+k-3=0有两个实数根.(1)求k的取值范围；(2)设方程两实数根分别为Xi,X2,且满足x2+x；=23,求k的值.13【答案】(1)k宅一；(2)k=—2.4【解析】【分析】(1)根据方程有实数根得出U=[-(2k—1『-4x1x(k2-3)=-8k+5>0,解之可得.(2)利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.【详解】2 2斛：(1)*关于x的一兀一次万程x—(2k—1)x+k-3=0有两个实数根，二[20,即[―(2k—1]2-4x1x(k2-3)=-4k+13>0,解得kM—.42 _(2)由根与系数的关系可得x[+x2=2k—1,x1x2=k-3,2 2 2_ _ 2_2__2\x1+x2=(x1+x2)—2x1x2=(2k—1)-2(k—3)=2k—4k十7,-x2x2-23xx1x2—23,二2k2-4k+7=23，解得k=4,或k=—2,13*kw—,4二k=4舍去，二k=-2.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0,a,b,c为常数)根的判别式.当L>0,方程有两个不相等的实数根；当[=0,方程有两个相等的实数根；当|_1<0,方程没有实数*H.以及根与系数的关系.2,已知关于x的二次函数y=x2-(2k—Dx+k2+1的图象与x轴有2个交点.(1)求k的取值范围；(2)若图象与x轴交点的横坐标为",*2,且它们的倒数之和是-3,求k的值.2【答案】(1)kv-3；(2)k=T4【解析】试题分析：(1)根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△=b2-4ac的范围可求解出k的值；(2)利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到 k的值.试题解析：(1)二.二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有两交点，・・・当y=0时，x2-(2k-1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根.• =b2-4ac=[-(2k-1)]2-4X1gk2+1)>0.解得kv-3；4(2)当y=0时，x2-(2k-1)x+k2+1=0.贝Uxi+x2=2k-1,xi?x2=k2+1,3TOC\o"1-5"\h\z一= =X】x2盯，工2k2+l 2'一 八 1解得：k=-1或k=一一(舍去)，3••k=-13.图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF,其中/B=90；/A=45°,BC=、2,/F=90；/EDF=30；EF=2将△DEF的斜边DE与^ABC的斜边AC重合在一起，并将4DEF沿AC方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).(1)请回答李晨的问题：若CD=10,则AD=_；(2)如图2,李晨同学连接FG编制了如下问题，请你回答：①/FCD的最大度数为一;当FC//AB时，AD=_;当以线段AD>FCBC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC为斜边时，AD=_;④4FCD的面积s的取值范围是_.2【答案】(1)2;(2)①60°;②9一/;③'；④2\户式"*6/.【解析】试题分析：(1)根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.(2)①当点E与点C重合时，/FCD的角度最大，据此求解即可.过点F作FH，AC于点H,应用等腰直角三角形的判定和性质，含 30度角直角三角形的性质求解即可.过点F作FHI±AC于点H,AD=x,应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.设AD=x,把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：(1).••/B=90°,/A=45,BC=V7, AC=12.•.CD=10,..AD=2.(2)①•./F=90°,/EDF=30, /DEF=60.••・当点E与点C重合时，/FCD的角度最大，FCD的最大度数=/DEF="60."②如图，过点F作FHLAC于点H,・./EDF=30,EF=2..DF=0..DH=3,FH=\^.1.FC//AB,/A=45,. FCH="45."•.HC=V“...DC=DH+HC=+/.•.AC=12, AD=.③如图，过点F作FH,AC于点H,设AD=x,由②知DH=3,FH=V1/s=_。(？"月=_(12-嵬)飞阳二二02-幻而,3 1/s=_。(？"月=_(12-嵬)飞阳二二02-幻而,3 p-^-(12-0)=6yf3 S-^-(12- -2yp当工—u时，上 ;当时，上在Rt^CFH中，根据勾股定理，得FC'FH'g=«4+(9-犷=/-血+日4•••以线段AD、FCBC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，2即必—18-84=必+(6/)［解得‘二？小儿…B0<x<12-4Rn0<x<8④设AD=x,易知 ，即 .FCD的面积s的取值范围是2m三*三考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质； 3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式； 7.求函数值.4.将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时，1y与工之间的函数关系式;.y与x的函数关系式为：y=1.7x(xwm);j= 一脸前或］'= +(X—掰)-(L7+ (x>m\) 2.已知关于x的一元二次万程x—(m+2)x+m=0(m为常数)(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根是2,求m的值及方程的另一个根.【答案】(1)见解析；(2)即m的值为0,方程的另一个根为0.【解析】【分析】(1)可用根的判别式，计算判别式得到 △=(m+2)2-4X?m=m2+4>0,则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论 m为何值，方程总有两个不相等的实数根；m2(2)设方程的另一个根为t,利用根与系数的关系得到 2+t=m-^,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2-4x?m=m2+4,,「无论m为何值时m2>Q.•.m2+4>^>0,即4>0,所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根 .(2)设方程的另一个根为t,2x-m2xm=0,,一1m一2根据题意得2+t=m^,2t=m,解得t=0,所以m=0,即m的值为0,方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题( 1)可用根的判别式进行判断，在判断过

程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题( 2)可先设另一个根为t,用根于系数关系列出方程组，在求解 ..观察下列一组方程： ①x2—x=0；②x2—3x+2=0；③x2—5x+6=0；④x2-7x+12=0;…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程(1)若x2+kx+56=0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；(2)请写出第n个方程和它的根.【答案】(1)x1=7,x2=8.(2)x1=n—1,x2=n.【解析】【分析】(1)根据十字相乘的方法和 连根一元二次方程”的定义，找到56是7与8的乘积，确定k值即可解题，(2)找到规律，十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k=—15,则原方程为x2—15x+56=0,则(x—7)(x—8)=0,解得x1=7,x2=8._ 2(2)第n个万程为x—(2n—1)x+n(n-1)=0,(x-n)(x—n+1)=0,解得x1=n—1,x?=n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程 ，与十字相乘联系密切，连根一元二次方程是特殊的十字相乘，中等又t度，会用十字相乘解题是解题关键..如图，在rLaBC中，/B=90'，AC=10cm,BC=6cm,现有两点P、Q的分别从点A和点B同时出发，沿边AB,BC向终点C移动.已知点P,Q的速度分别为2cm/s,1cm/s,且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设 P,Q两点移动时间为xs.问是否存在这样的x,使得四边形APQC的面积等于16cm2?若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由.3-。c【答案】假设不成立，四边形 APQC面积的面积不能等于16cm2,理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：:ZB=90°,AC=10,BC=6,

AB=8.BQ=x,PB=8-2x；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16cm2,…1 1 -则3M6父8_/(8一2*)=16,整理得：x2—4x+8=0,.[=16-32=-16<0,，假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.9.已知：如图，在R3ABC中，NC=90>AC=8cm,BC=6cm.直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E.同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(s)(0<t<5).(1)当t为何值时，四边形PFCE是矩形？(2)当AABC面积是APEF的面积的5倍时，求出t的值；【答案】(1)t=30；(2)t=5^/5。11 2【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示 PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.(2)根据面积相等列出方程，求解即可 .【详解】解：(1)在RtAABC中，'；/C=90：AC=8,BC=6,AB=AC2BC2=8262=10「PE//BC,PA_PE「PE//BC,PA_PE=AEABBCAC10-2t_PE_AE10TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 4二PE=—(10—2t),AE=—(10—2t),当PE=CF时，四边形PECF是矩形，5 5\o"CurrentDocument"3 30--(10-2t)=t解得t=——5 11- 24o24 11(2)由题息=—t2+—t=J-x-x6x825 5 5 2整理得t2—5t+5=0,解得t=5^Y52t=5士石,aabc面积是Apef的面积的5倍。2【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握 ^10.已知x=-1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值.【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=-1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1-2a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.试题解析：把x=-1代入x2+2ax+a2=0得-2a+a2=0,解得a〔=a2=1,所以a的值为1..已知X、x2是关于x的方程x2—2(m+1)x+m2+5=0的两个不相等的实数根.⑴求实数m的取值范围；(2)已知等腰&ABC的一边长为7,若为、x2恰好是AABC另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】(1)m>2；(2)17【解析】试题分析：(1)由根的判别式即可得；(2)由题意得出方程的另一根为 7,将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得.试题解析：解：(1)由题意得△=4(m+1)2-4(m2+5)=8m—16>0,解得：m>2；(2)由题意，.「x1次2时，，只能取x1=7或x2=7,即7是方程的一个根，将x=7代入得：49-14(m+1)+m2+5=0,解彳导:m=4或m=10.当m=4时，方程的另一个根为3,此时三角形三边分别为7、7、3,周长为17;当m=10时，方程的另一个根为15,此时不能构成三角形；故三角形的周长为17.点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键..若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根.（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解.【答案】（1）a」7；（2）x=1或x=24【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式 △加2-4ac>Q建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得 .【详解】（1）二.关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根，.1.△即（—3）2—4（a—2）>Q解得aw—；4（2）由（1）可知a<—,，a的最大整数值为4,此时方程为x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）^〉。?方程有两个不相等的实数根；（2）4=0?方程有两个相等的实数根；（3）Av。？方程没有实数根..已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p2=0.（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为 不、⑼且满足x12+x22=3x1x2,求实数p的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定 ^〉。，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2 2x1+x2=3x1x2变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于 p的一元二次方程,解方程即可求解.【详解】证明：（1）（x—3）（x—2）-p2=0,x2-5x+6-p2=0,△=（—5）2—4X126—p2）=25-24+4p2=1+4p2,:无论p取何值时，总有4p2>Q1+4p2>0,••・无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)Xi+X2=5,XiX2=6—p2,2 2-xi+X2=3xiX2,••(X1+X2)2—2XiX2=3xiX2,,-5=5(6-p),p=±1.考点：根的判别式；根与系数的关系.14.已知关于X的方程X2—(k+3)X+3k=0.(1)若该方程的一个根为1,求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根.【答案】(1)k=1;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)把x=1代入方程，即可求得k的值；(2)求出根的判别式是非负数即可 .【详解】(1)把x=1代入方程X2—(k+3)X+3k=0得1—(k—3)+3k=0,1-k-3+3k=0解得k=1；(2)证明：a=1,b=-(k3),c=3k=b2-4ac二△=(k+3)2—4?3k=(k-3)2>Q所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键15.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,/C=90lBC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P,Q分别从点t秒)D,C同时出发，当点P运动到点A时，点Qt秒)(1)当t=2时，求LlBPQ的面积;(2)若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间 t.(3)当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?【答案】(1)S=84;(2)t=5;(3)t=7或16.2 3【解析】【分析】①PQ=BQ,②BP=BQ,(1)过点P作PM_LBC于M