三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

8/8三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(,0)(1)(2,0)余弦函数x[0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1)(,0)(1)(,0)(2,1)2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质：函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴例作下列函数的简图(1)，x∈[0，2π]，(2)，x∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：3、周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意：周期T往往是多值的（如2,4,…24,…都是周期）周期T中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）,的最小正周期为2（一般称为周期）正弦函数、余弦函数：。正切函数：例求下列三角函数的周期：1()22x33(+)43x例求下列函数的定义域和值域：（1）（2）（3）例5求函数的单调区间例不求值，比较大小(1)(－)、(－)；(2)(－)、(－)．解：(1)∵－＜－＜－＜．(2)(－)＝＝且函数y＝，x∈［－，］是增函数(－)＝＝∴(－)＜(－)∵0＜＜＜π即(－)－(－)＞0且函数y＝，x∈［0，π］是减函数∴＜即－＜0∴(－)－(－)＜04、函数的图像：（1）函数的有关概念：=1\*3①振幅：；=2\*3②周期：；=3\*3③频率：；=4\*3④相位：；=5\*3⑤初相：．(2)振幅变换①，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的②它的值域[,A]最大值是A,最小值是③若A<0可先作的图象，再以x轴为对称轴翻折A称为振幅，这一变换称为振幅变换(3)周期变换①函数ωx,xR(ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换(4)相位变换一般地，函数y＝(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y＝(x＋)和y＝的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换5、小结平移法过程（步骤）作（长度为2作（长度为2的某闭区间）得(φ)得ωx得(ωφ)得(ωφ)得(ωφ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。沿x轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短沿x轴平移个单位纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短图e6、函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．图e例如图e，是f（x）＝（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则f（x）的表达式为例如图b是函数y＝(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()＝3，Ｔ＝，φ＝－＝1，Ｔ＝，φ＝－＝1，Ｔ＝，φ＝－＝1，Ｔ＝，φ＝－例画出函数y＝3(2x＋)，x∈R的简图解：(五点法)由T＝，得T＝π列表：x–20π2π3(2)030–30例求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性解：由得，所求定义域为值域为R，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数例已知函数222(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象(2)求这个函数的周期和单调区间(3)求函数图象的对称轴方程(4)说明图象是由的图象经过怎样的变换得到的解：222=2(2)-2(1)列表x02-20-2-4-2其图象如图示(2)=π由2kπ≤2≤+2kπ，知函数的单调增区间为［-πππ］∈Z由+2kπ≤2≤π+2kπ，知函数的单调减区间为［π,ππ］∈Z(3)由2π得π∴函数图象的对称轴方程为π,(k∈Z)(4)把函数y1的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y2()的图象；再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来